基础题满分练6
（时间：45分钟 满分：80分）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到直线x＝－2的距离为4，则p＝（ ）
A.1 B.2
C.4 D.8
2.若随机变量ξ～N（3，σ2），且P（ξ＞4）＝0.2，则P（2＜ξ＜3）＝（ ）
A.0.2 B.0.3
C.0.4 D.0.5
3.国内首个百万千瓦级海上风电场——三峡阳江沙扒海上风电项目，宣布实现全容量并网发电，为粤港澳大湾区建设提供清洁能源动力.风速预测是风电出力大小评估的重要工作，通常采用威布尔分布模型，有学者根据某地气象数据得到该地的威布尔分布模型：F（x）＝1－，其中k为形状参数，x为风速.已知风速为1 m/s时，F≈0.221，则风速为4 m/s时，F≈（ ）
（参考数据：ln 0.779≈－，e－4≈0.018）
A.0.920 B.0.964
C.0.975 D.0.982
4.在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，＝3，＝，AE，CF交于点D，则｜｜＝（ ）
A. B.
C. D.
5.将函数f（x）＝sin（2x＋）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度得到函数g（x）的图象，若x＝－为g（x）图象的一条对称轴，则φ的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
6.在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：（x＋4）2＋（y－1）2＝r2（r＞0）上存在点P，且点P关于直线y＝x＋1的对称点Q在圆C2：（x－4）2＋y2＝4上，则r的取值范围是（ ）
A.（3，7） B.[3，7]
C.（3，＋∞） D.[3，＋∞）
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则（ ）
A.A，M，N，B四点共面
B.平面ADM⊥平面CDD1C1
C.直线BN与B1M所成的角为60°
D.BN∥平面ADM
8.已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为R.若a＝1，且sin A－bsin B＝（c＋b）sin C，则（ ）
A.sin A＝
B.△ABC面积的最大值为
C.R＝
D.BC边上的高的最大值为
三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
9.已知函数f（x）＝exln x，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 .
10.已知（x2＋1）（x－2）2 023＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a2 025（x－1）2 025，则a1＋a2＋…＋a2 025＝ .
四、解答题（本题共2小题，共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
11.（本小题满分13分）已知函数f（x）＝x（a－）（a＞0）.
（1）讨论f（x）的最值；
（2）若a＝1，且f（x）≤，求k的取值范围.
12.（本小题满分15分）已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆E的离心率为，椭圆E上的点到右焦点的最小距离为1.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过右焦点F2的直线l与椭圆E交于B，C两点，E的右顶点记为A，AB∥CF1，求直线l的方程.
1 / 2基础题满分练6
（时间：45分钟 满分：80分）
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到直线x＝－2的距离为4，则p＝（ ）
A.1 B.2 C.4 D.8
解析：C 抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（，0），则有＋2＝4，解得p＝4.故选C.
2.若随机变量ξ～N（3，σ2），且P（ξ＞4）＝0.2，则P（2＜ξ＜3）＝（ ）
A.0.2 B.0.3
C.0.4 D.0.5
解析：B 由随机变量ξ～N（3，σ2），根据正态分布性质可知，P（ξ＞3）＝0.5，因为P（ξ＞4）＝0.2，可得P（3＜ξ≤4）＝P（ξ＞3）－P（ξ＞4）＝0.5－0.2＝0.3，再根据正态分布曲线的对称性可知，P（2＜ξ＜3）＝P（3＜ξ＜4），所以P（2＜ξ＜3）＝P（3＜ξ＜4）＝P（3＜ξ≤4）＝0.3，故选B.
3.国内首个百万千瓦级海上风电场——三峡阳江沙扒海上风电项目，宣布实现全容量并网发电，为粤港澳大湾区建设提供清洁能源动力.风速预测是风电出力大小评估的重要工作，通常采用威布尔分布模型，有学者根据某地气象数据得到该地的威布尔分布模型：F（x）＝1－，其中k为形状参数，x为风速.已知风速为1 m/s时，F≈0.221，则风速为4 m/s时，F≈（ ）
（参考数据：ln 0.779≈－，e－4≈0.018）
A.0.920 B.0.964
C.0.975 D.0.982
解析：D 因为F（1）≈0.221，所以≈0.779，≈－ln 0.779，2k≈4，得k≈2，所以F（x）＝1－，所以F（4）＝1－e－4≈0.982.故选D.
4.在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，＝3，＝，AE，CF交于点D，则｜｜＝（ ）
A. B.
C. D.
解析：C 由题可建立如图所示坐标系，由图可得，A（0，0），B（3，0），又＝3，＝ F（1，0），C（1，），E（2，），故直线AE的方程：y＝x，可得D（1，），所以｜｜＝＝，故选C.
5.将函数f（x）＝sin（2x＋）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度得到函数g（x）的图象，若x＝－为g（x）图象的一条对称轴，则φ的最小值为（ ）
A. B. C. D.
解析：B 由题意得：g（x）＝sin［2（x＋φ）＋］＝sin（2x＋＋2φ），又因为x＝－是g（x）的一条对称轴，所以kπ＋＝2·（－）＋＋2φ，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，下面结合选项对整数k取值（显然k取负整数）：k＝－1时，φ＝；k＝－2时，φ＝；k＝－3时，φ＝；k＝－4时，φ＝－.故选B.
6.在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：（x＋4）2＋（y－1）2＝r2（r＞0）上存在点P，且点P关于直线y＝x＋1的对称点Q在圆C2：（x－4）2＋y2＝4上，则r的取值范围是（ ）
A.（3，7） B.[3，7]
C.（3，＋∞） D.[3，＋∞）
解析：B 圆C1：（x＋4）2＋（y－1）2＝r2（r＞0）的圆心为C1（－4，1），设C1（－4，1）关于直线y＝x＋1的对称点为C3（a，b），所以解得所以C3（0，－3），由题意得，以C3为圆心，以r为半径的圆与圆C2有公共点，所以｜r－2｜≤｜C2C3｜≤r＋2，解得3≤r≤7.故选B.
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则（ ）
A.A，M，N，B四点共面
B.平面ADM⊥平面CDD1C1
C.直线BN与B1M所成的角为60°
D.BN∥平面ADM
解析：BC 如图所示，对于A中，直线AM，BN是异面直线，故A，M，N，B四点不共面，故A错误；对于B中，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可得AD⊥平面CDD1C1，所以平面ADM⊥平面CDD1C1，故B正确；对于C中，取CD的中点O，连接BO，ON，则B1M∥BO，所以直线BN与B1M所成的角为∠NBO（或其补角）.易知△BON为等边三角形，所以∠NBO＝60°，故C正确；对于D中，因为BN∥平面AA1D1D，显然BN与平面ADM不平行，故D错误.
8.已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆半径为R.若a＝1，且sin A－bsin B＝（c＋b）sin C，则（ ）
A.sin A＝
B.△ABC面积的最大值为
C.R＝
D.BC边上的高的最大值为
解析：AD 在△ABC中，由sin A－bsin B＝（c＋b）sin C及正弦定理，得a－b2＝c2＋bc，而a＝1，则a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得cos A＝＝－，而0＜A＜π，解得A＝，对于A，sin A＝，A正确；对于B，显然1＝b2＋c2＋bc≥3bc，当且仅当b＝c时取等号，S△ABC＝bcsin A≤，B错误；对于C，R＝·＝＝，C错误；对于D，令BC边上的高为h，则ah＝S△ABC≤，解得h≤，D正确.故选A、D.
三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
9.已知函数f（x）＝exln x，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝e（x－1）.
解析：f（1）＝0，f'（x）＝ex（ln x＋），则f'（1）＝e，从而曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝e（x－1）.
10.已知（x2＋1）（x－2）2 023＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a2 025（x－1）2 025，则a1＋a2＋…＋a2 025＝2.
解析：由（x2＋1）（x－2）2 023＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a2 025（x－1）2 025，令x＝1，则a0＝（12＋1）（1－2）2 023＝－2，令x＝2，则a0＋a1＋a2＋…＋a2 025＝（22＋1）（2－2）2 023＝0，∴a1＋a2＋…＋a2 025＝－a0＝2.
四、解答题（本题共2小题，共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
11.（本小题满分13分）已知函数f（x）＝x（a－）（a＞0）.
（1）讨论f（x）的最值；
（2）若a＝1，且f（x）≤，求k的取值范围.
解：（1）因为f（x）＝x（a－）的定义域为（0，＋∞），可得f'（x）＝a－＝.
当a＞0时，令f'（x）＝0，可得x＝，
则当x∈（0，）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
故当x＝时，f（x）取得极小值，也是最小值，且最小值为f（）＝1＋ln a，无最大值.
（2）当a＝1时，由f（x）≤，可得x－ln x≤，
整理得kex≥x2＋x－xln x，即k≥，
令h（x）＝，
则h'（x）＝＝，
由（1）知，当a＝1时，f（x）＝x－ln x的最小值为f（1）＝1＞0，即x－ln x＞0恒成立，
所以当x∈（0，1）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；
当x∈（1，＋∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减.
故当x＝1时，h（x）取得最大值h（1）＝，即k≥，
故k的取值范围为［，＋∞）.
12.（本小题满分15分）已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆E的离心率为，椭圆E上的点到右焦点的最小距离为1.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过右焦点F2的直线l与椭圆E交于B，C两点，E的右顶点记为A，AB∥CF1，求直线l的方程.
解：（1）设焦距为2c，易知F2（c，0），
由题意得解得a＝2，c＝1，b＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
（2）设C（x1，y1），B（x2，y2），
因为AB∥CF1，所以｜CF1｜∶｜AB｜＝｜F1F2｜∶｜F2A｜＝2∶1，
所以y1＝－2y2， ①
设直线l的方程为x＝my＋1，联立得整理得（3m2＋4）y2＋6my－9＝0，
由根与系数的关系，得
把①式代入上式得得＝＝，
解得m＝±，
所以直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
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