压轴题抢分练1
（时间：45分钟 满分：66分）
一、单项选择题（本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若cos α，cos（α－），cos（α＋）成等比数列，则sin 2α＝（ ）
A. B.－
C. D.－
2.已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为（ ）
A.π B.π
C.π D.π
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
3.2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮.若波状涌潮的图象近似函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω∈N*，｜φ｜＜）的图象，而破碎的涌潮的图象近似f'（x）（f'（x）是函数f（x）的导函数）的图象.已知当x＝2π时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（ ）
A.ω＝2
B.f（）＝＋
C.f'（x－）是偶函数
D.f'（x）在区间（－，0）上单调
4.定义在R上的函数f（x）与g（x）的导函数分别为f'（x）和g'（x），若g（x）－f（3－x）＝2，f'（x）＝g'（x－1），且g（－x＋2）＝－g（x＋2），则下列说法中一定正确的是（ ）
A.g（x＋2）为偶函数
B.f'（x＋2）为奇函数
C.函数f（x）是周期函数
D.g（k）＝0
三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
5.已知函数f（x）＝x3－ax＋1（a∈R）的两个极值点为x1，x2（x1＜x2），记A（x1，f（x1）），C（x2，f（x2））.点B，D在f（x）的图象上，满足AB，CD均垂直于y轴.若四边形ABCD为菱形，则a＝ .
6.如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特·梵高用夸张的手法，生动地描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆O的一段圆弧E，且弧E所对的圆心角为.设圆C的圆心C在点O与弧E中点的连线所在直线上.若存在圆C满足：弧E上存在四点满足过这四点作圆O的切线，这四条切线与圆C也相切，则弧E上的点与圆C上的点的最短距离的取值范围为 .（参考数据：cos＝）
四、解答题（本题共2小题，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
7.（本小题满分17分）在直角坐标系xOy中，已知曲线C：y＝ax2＋c过点（0，－1），且与x轴的两个交点为A，B，｜AB｜＝4.
（1）求C的方程；
（2）已知直线l与C相切.
①若l与直线y＝－1的交点为M，证明：l⊥OM；
②若l与过原点O的直线相交于点P，且l与直线OP所成角的大小为45°，求点P的轨迹方程.
8.（本小题满分17分）设x∈R，y是不超过x的最大整数，且记y＝[x]，当x≥1时，[x]的位数记为f（x）.例如：f（1.6）＝1，f（）＝2，f（996.2）＝3.
（1）当10n－1≤x＜10n（n∈N*）时，记由函数y＝f（x）的图象，直线x＝10n－1，x＝10n以及x轴围成的平面图形的面积为an，求a1，a2及a1＋a2＋…＋an；
（2）是否存在正数M，对 x∈[M，＋∞），f（3x）＞f（2x），若存在，请确定一个M的值，若不存在，请说明理由；
（3）当x≥1，n∈N*时，证明：f（x）＋f（x）＋f（1x）＋…＋f（x）＝f（10nxn）－1.
2 / 2压轴题抢分练1
（时间：45分钟 满分：66分）
一、单项选择题（本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若cos α，cos（α－），cos（α＋）成等比数列，则sin 2α＝（ ）
A. B.－
C. D.－
解析：B 由cos α，cos（α－），cos（α＋）成等比数列，得cos2（α－）＝cos αcos（α＋），即［1＋cos（2α－）］＝cos α（cos α－sin α）＝·－sin 2α，＋cos 2α＋sin 2α＝＋cos 2α－sin 2α，所以sin 2α＝－.故选B.
2.已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为（ ）
A.π B.π
C.π D.π
解析：C 如图，圆锥顶点为P，底面圆心为C，底面圆周与顶点均在球心为O的球面上，OA＝OP＝3，记PA＝l，CA＝r，则圆锥侧面积为S＝×l×2π×r＝πlr，若r相同时，l较大才能取得最大值，由截面圆的对称性知，圆锥侧面积最大时P，C两点位于球心O两侧，此时l2＝r2＋（3＋OC）2，r2＋OC2＝9，∴OC＝－3，∴r2＋（－3）2＝9，∴r2＝l2－，而－3≥0，l≥3，又l＜OP＋OA＝6，故l2r2＝l2（l2－）（3≤l＜6），令t＝l2∈[18，36），f（t）＝l2r2＝t2－t3，f'（t）＝2t－t2＝0，t＝24，当18≤t＜24时，f'（t）＞0，f（t）单调递增；当24＜t＜36时，f'（t）＜0，f（t）单调递减，故当t＝24时，f（t）最大，圆锥侧面积最大，此时l＝2，r＝2，此时圆锥体积V＝·π·r2·＝·π··＝π.
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
3.2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮.若波状涌潮的图象近似函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω∈N*，｜φ｜＜）的图象，而破碎的涌潮的图象近似f'（x）（f'（x）是函数f（x）的导函数）的图象.已知当x＝2π时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则（ ）
A.ω＝2
B.f（）＝＋
C.f'（x－）是偶函数
D.f'（x）在区间（－，0）上单调
解析：BC f（x）＝Asin（ωx＋φ），则f'（x）＝Aωcos（ωx＋φ），由题意得f（2π）＝f'（2π），即Asin φ＝Aωcos φ，故tan φ＝ω，因为ω∈N*，｜φ｜＜，所以tan φ＝ω＜，所以φ＝，ω＝1，故选项A错误；因为破碎的涌潮的波谷为－4，所以f'（x）的最小值为－4，即－Aω＝－4，得A＝4，所以f（x）＝4sin（x＋），则f（）＝4sin（＋）＝4（sincos＋cossin）＝4（×＋×）＝＋，故选项B正确；因为f（x）＝4sin（x＋），所以f'（x）＝4cos（x＋），所以f'（x－）＝4cos x为偶函数，故选项C正确；f'（x）＝4cos（x＋），由－＜x＜0，得－＜x＋＜，因为函数y＝4cos x在（－，0）上单调递增，在（0，）上单调递减，所以f'（x）在区间（－，0）上不单调，故选项D错误.故选B、C.
4.定义在R上的函数f（x）与g（x）的导函数分别为f'（x）和g'（x），若g（x）－f（3－x）＝2，f'（x）＝g'（x－1），且g（－x＋2）＝－g（x＋2），则下列说法中一定正确的是（ ）
A.g（x＋2）为偶函数 B.f'（x＋2）为奇函数
C.函数f（x）是周期函数 D.g（k）＝0
解析：BCD 对A：由g（－x＋2）＝－g（x＋2），故g（x＋2）为奇函数，故A错误；对B：由g（x）－f（3－x）＝2，则g'（x）＋f'（3－x）＝0，又f'（x）＝g'（x－1），即f'（x＋1）＝g'（x）＝－f'（3－x），即f'（x＋2）＝－f'（2－x），又f'（x＋2）定义在R上，故f'（x＋2）为奇函数，故B正确；对C：由g（－x＋2）＝－g（x＋2），则－g'（－x＋2）＝－g'（x＋2），即g'（－x＋2）＝g'（x＋2），又f'（x）＝g'（x－1），则f'（－x＋3）＝g'（－x＋2），f'（x＋3）＝g'（x＋2），故f'（－x＋3）＝f'（x＋3），又f'（x＋2）＝－f'（2－x），则f'（x＋3）＝－f'（1－x）＝f'（－x＋3），即－f'（x＋1）＝f'（x＋3），则－f'（x＋3）＝f'（x＋5）＝f'（x＋1），故函数f'（x）是周期为4的周期函数，则函数f（x）是周期为4的周期函数，故C正确；对D：由g（x）－f（3－x）＝2，即g（x）＝f（3－x）＋2，又函数f（x）是周期为4的周期函数，故g（x）是周期为4的周期函数，由g（－x＋2）＝－g（x＋2），令x＝0，则g（2）＝－g（2），即g（2）＝0，令x＝1，则g（1）＝－g（3），即g（1）＋g（3）＝0，由g'（x）＋f'（3－x）＝0，f'（－x＋3）＝g'（－x＋2），则g'（x）＝－g'（－x＋2），则g'（x）关于（1，0）对称，则g（x）关于x＝1对称，又g（x＋2）为奇函数，即g（x）关于（2，0）中心对称，故g（x）关于x＝3对称，则g（4）＝g（2）＝0，则g（k）＝506[g（1）＋g（2）＋g（3）＋g（4）]＝506×0＝0，故D正确.故选B、C、D.
三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
5.已知函数f（x）＝x3－ax＋1（a∈R）的两个极值点为x1，x2（x1＜x2），记A（x1，f（x1）），C（x2，f（x2））.点B，D在f（x）的图象上，满足AB，CD均垂直于y轴.若四边形ABCD为菱形，则a＝.
解析：函数f（x）＝x3－ax＋1（a∈R），f'（x）＝3x2－a，若a≤0，f'（x）≥0恒成立，f（x）在R上单调递增，不合题意；a＞0时，f'（x）＝3x2－a＝0，得x1＝－，x2＝，则f（x1）＝1＋，f（x2）＝1－，四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，kAC＝＝－，故kBD＝＝，xB－xD＝，＝＝0，则xB＝，xD＝－，由f（xB）＝f（x1），化简得－－2＝0，令t＝＞0，则t3－3t－2＝0，即（t－2）（t＋1）2＝0，解得t＝2，故＝2，a＝.
6.如图为世界名画《星月夜》，在这幅画中，文森特·梵高用夸张的手法，生动地描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆O的一段圆弧E，且弧E所对的圆心角为.设圆C的圆心C在点O与弧E中点的连线所在直线上.若存在圆C满足：弧E上存在四点满足过这四点作圆O的切线，这四条切线与圆C也相切，则弧E上的点与圆C上的点的最短距离的取值范围为（0，）.（参考数据：cos＝）
解析：如图，设弧E的中点为M，弧E所对的圆心角为，圆O的半径｜OM｜＝1，在弧E上取两点A，B，则∠AOB≤，分别过点A，B作圆O的切线，并交直线OM于点D，当过点A，B的切线刚好是圆O与圆C的外公切线时，劣弧AB上一定还存在点S，T，使过点S，T的切线为两圆的内公切线，则圆C的圆心C只能在线段MD上，且不包括端点，过点C，分别向AD，BD作垂线，垂足为R，P，则CR即为圆C的半径，设线段OC交圆C于点N，则弧E上的点与圆C上的点的最短距离即为线段MN的长度.在Rt△AOD中，｜OD｜＝＝≤＝＝＋1，则｜MN｜＝｜OC｜－｜OM｜－｜CN｜＝｜OC｜－1－｜CR｜＜｜OD｜－1－0≤＋1－1＝，即弧E上的点与圆C上的点的最短距离的取值范围为（0，）.
四、解答题（本题共2小题，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
7.（本小题满分17分）在直角坐标系xOy中，已知曲线C：y＝ax2＋c过点（0，－1），且与x轴的两个交点为A，B，｜AB｜＝4.
（1）求C的方程；
（2）已知直线l与C相切.
①若l与直线y＝－1的交点为M，证明：l⊥OM；
②若l与过原点O的直线相交于点P，且l与直线OP所成角的大小为45°，求点P的轨迹方程.
解：（1）因为曲线C：y＝ax2＋c过点（0，－1），所以c＝－1，
由ax2－1＝0，可得x＝±，
因为｜AB｜＝4，所以＝4，解得a＝，
所以曲线C的方程为y＝x2－1.
（2）①证明：设直线l与C相切的切点为（m，－1），
因为y'＝x，所以kl＝，
则直线l的方程为y－＋1＝（x－m），
即y＝x－－1，所以M（，－1），
由题意可知m≠0，所以kOM＝－，
可得kOM·kl＝－1，所以l⊥OM.
②设P的坐标为（x，y），则＝（x，y），
因为l与直线OP所成角的大小为45°，且l的一个方向向量为v＝（1，），
所以cos 45°＝＝｜｜＝，
可得（4－m2）x2＋8mxy＋（m2－4）y2＝0，
即[（2－m）x＋（m＋2）y][（2＋m）x＋（m－2）y]＝0，
所以（2－m）x＋（m＋2）y＝0或（2＋m）x＋（m－2）y＝0，
当（2－m）x＋（m＋2）y＝0时，m＝，
因为y＝x－－1，所以y＝×x－（）2－1，
可得x3＋xy2－y3－x2y＝2（x2＋y2），
即x（x2＋y2）－y（x2＋y2）＝2（x2＋y2），
因为x2＋y2≠0，所以x－y＝2；
当（2＋m）x＋（m－2）y＝0时，m＝，
因为y＝x－－1，同理x＋y＝－2，
所以点P的轨迹方程为x－y＝2或x＋y＝－2.
8.（本小题满分17分）设x∈R，y是不超过x的最大整数，且记y＝[x]，当x≥1时，[x]的位数记为f（x）.例如：f（1.6）＝1，f（）＝2，f（996.2）＝3.
（1）当10n－1≤x＜10n（n∈N*）时，记由函数y＝f（x）的图象，直线x＝10n－1，x＝10n以及x轴围成的平面图形的面积为an，求a1，a2及a1＋a2＋…＋an；
（2）是否存在正数M，对 x∈[M，＋∞），f（3x）＞f（2x），若存在，请确定一个M的值，若不存在，请说明理由；
（3）当x≥1，n∈N*时，证明：f（x）＋f（x）＋f（1x）＋…＋f（x）＝f（10nxn）－1.
解：（1）当n＝1，100≤x＜101时，f（x）＝1，
由y＝1，x＝1，x＝10以及x轴围成的平面图形的面积为a1＝9；
当n＝2，101≤x＜102时，f（x）＝2，
由y＝2，x＝10，x＝102以及x轴围成的平面图形的面积为a2＝180；
当10n－1≤x＜10n时，f（x）＝n，
an表示y＝n，x＝10n－1，x＝10n以及x轴围成的平面图形的面积，
所以an＝n×（10n－10n－1）＝9n×10n－1，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，
则Sn＝9＋18×101＋27×102＋…＋9n×10n－1， ①
所以10Sn＝9×10＋18×102＋27×103＋…＋9n×10n， ②
由①－②得－9Sn＝9＋9×10＋9×102＋9×103＋…＋9×10n－1－9n×10n
＝－9n×10n＝（1－9n）10n－1，
所以Sn＝，即a1＋a2＋…＋an＝.
（2）存在.
记g（x）＝＝（）x，易知g（x）在定义域上单调递增，
令（）x≥10，则x≥lo10，
取M≥lo10，对 x∈[M，＋∞）都有（）x≥M≥10，即3x≥10·2x，
所以f（3x）＞f（2x）.
所以存在M＝lo10，对 x∈[M，＋∞），f（3x）＞f（2x）.
（3）证明：当x∈［，），m∈N，i＝1，2，3，…，n－1时，
10m＋1≤x＜，10mn＋2n－i≤10nxn＜10mn＋2n＋1－i，
此时10m≤x＜x＜…＜x＜10m＋1，
10m＋1≤x＜x＜…＜x＜10m＋2，
所以f（x）＝f（x）＝…＝f（x）＝m＋2，
f（x）＝f（x）＝…＝f（x）＝m＋1，f（10nxn）＝mn＋2n＋1－i，
所以f（x）＋f（x）＋f（x）＋…＋f（x）
＝i（m＋1）＋（n－i）（m＋2）＝mn＋2n－i，
所以f（x）＋f（x）＋f（x）＋…＋f（x）＝f（10nxn）－1.
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