压轴题抢分练3
（时间：45分钟 满分：66分）
一、单项选择题（本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在△ABC中，已知＝nsin C，＝ncos C.若tan（A＋）＝－3，则n＝（ ）
A.无解 B.2 C.3 D.4
解析：A 由tan（A＋）＝＝－3，即tan A＝2，则cos A≠0，由＝nsin C，＝ncos C，知cos C≠0，则＝tan C，则tan A＝tan B·tan C＝2，又tan A＝tan（π－B－C）＝－tan（B＋C）＝－＝tan B＋tan C，故tan B＋tan C＝2，设tan B＝t，则tan C＝2－t，有t（2－t）＝2，即t2－2t＋2＝0，Δ＝4－8＝－4＜0，即该方程无解，故不存在这样三角形，即n无解.故选A.
2.已知圆锥MO的底面半径为，高为1，其中O为底面圆心，AB是底面圆的一条直径，若点P在圆锥MO的侧面上运动，则·的最小值为（ ）
A.－ B.－
C.－2 D.－1
解析：A 圆锥MO的底面半径为，高为1，其中O为底面圆心，AB是底面圆的一条直径，则有＝－，｜｜＝｜｜＝，点P在圆锥MO的侧面上运动，则·＝（－）·（－）＝·－（＋）·＋＝－（）2，故｜｜最小时，·有最小值，｜｜的最小值为O点到圆锥母线的距离，Rt△MOA中，OA＝，OM＝1，则AM＝2，O点到MA的距离OD＝＝，则｜｜的最小值为，·的最小值为（）2－（）2＝－.故选A.
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
3.已知函数f（x）＝sin x＋，则下列说法正确的是（ ）
A.函数f（x）的一个周期为2π
B.函数f（x）的图象关于x＝对称
C.函数f（x）在区间（，2π）上单调递增
D.函数f（x）的最小值为2
解析：ABC f（x＋2π）＝sin（x＋2π）＋＝sin x＋＝f（x），所以选项A正确；f（π－x）＝sin（π－x）＋＝f（x），所以选项B正确；当x∈（，2π）时，sin x＜0，所以f（x）＝sin x－，令t＝sin x，t∈（－1，0），易知t＝sin x在（，2π）上单调递增，y＝t－在（－1，0）上单调递增，根据复合函数单调性可得函数f（x）在区间（，2π）上单调递增，所以选项C正确；因为f（x）＝sin x＋＝当0＜sin x≤1时，sin x＋≥2，当且仅当sin x＝1时等号成立；当－1≤sin x＜0时，令t＝sin x，t∈[－1，0），y＝t－在[－1，0）上的值域为[0，＋∞），所以函数f（x）的值域为[0，＋∞），所以选项D错误.故选A、B、C.
4.阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求得抛物线弓形（抛物线与其弦AB所在直线围成的图形）面积等于此弓形的内接三角形（内接三角形ABC的顶点C在抛物线上，且在过弦AB的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上）面积的.现已知直线y＝－x＋p与抛物线E：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，且A为第一象限的点，E在A处的切线为l，线段AB的中点为D，直线DC∥x轴所在的直线交E于点C，下列说法正确的是（ ）
A.若抛物线弓形面积为8，则其内接三角形的面积为6
B.切线l的方程为2x－2y＋p＝0
C.若4n－1·An＝S△ABC（n∈N*），则弦AB对应的抛物线弓形面积大于A1＋A2＋…＋An－1＋An（n≥2）
D.若分别取AC，BC的中点V1，V2，过V1，V2且垂直y轴的直线分别交E于C1，C2，则＋＝S△ABC
解析：ABD A选项：内接三角形的面积为8×＝6，正确；B选项：解得又A为第一象限的点，∴A（，p），y＝，y'＝，y'＝1，故切线方程为y－p＝x－，即2x－2y＋p＝0，正确；C选项：由4n－1·An＝S△ABC（n∈N*），得A1＝4A2，令n＝2，S△ABC＝4·A2，弓形面积为S△ABC＝A2＝4A2＋A2＝A1＋A2，所以不等式不成立，错误；D选项：由A（，p），B（，－3p）知D（，－p），DC∥x轴，C（，－p），又AC，BC的中点V1，V2，易求V1（，0），V2（，－2p），C1（0，0），C2（2p，－2p），＝×C1V1×2p＝，＝×C2V2×2p＝，S△ABC＝×CD×4p＝4p2，因此＋＝S△ABC成立，正确.故选A、B、D.
三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
5.已知实数x，y，z，满足y＋z－2＝0，则＋＋＋的最小值为2＋2.
解析：如图，设正方体的边长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，设P（x，y，z）为空间任意一点，因为y＋z－2＝0，则P在平面ABC1D1所在的平面内运动，＋表示P与点A1（0，0，0）和点B1（2，0，0）的距离之和，因为A1关于平面ABC1D1的对称点为D，故PA1＋PB1≥DB1＝2，当且仅当P为DB1中点即P为正方体中心时等号成立；＋表示P与点M（1，0，2）和点N（1，2，0）的距离之和，则PM＋PN≥MN＝2，当且仅当P在MN所在直线上时等号成立，故＋＋＋≥2＋2，当且仅当P为正方体中心时等号成立.
6.根据统计数据，某种植物感染病毒之后，其存活日数X满足：对于任意的n∈N*，X＝n＋1的样本在X＞n的样本里的数量占比与X＝1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于，即P（X＝n＋1｜X＞n）＝P（X＝1）＝，则P（X＞n）＝（）n 5－（n＋5），设an＝nP（X＝n），{an}的前n项和为Sn，则Sn＝（）n.
解析：P（X＝n＋1｜X＞n）＝P（X＝1）＝，因为P（X＝n＋1｜X＞n）＝＝，所以P（X＝n＋1）＝P（X＞n），将n换成n－1，此时P（X＝n）＝P（X＞n－1），两式相减可得P（X＝n）－P（X＝n＋1）＝P（X＞n－1）－P（X＞n）＝P（X＝n），即＝（n≥2），又P（X＝2）＝P（X＞1）＝×（1－P（X＝1））＝P（X＝1），所以＝对任意n∈N*都成立，此时{P（X＝n）}是首项为，公比为的等比数列，所以P（X＝n）＝×（）n－1，故P（X＞n）＝5P（X＝n＋1）＝5××（）n＝（）n，an＝nP（X＝n）＝×n（）n－1，Sn＝［1×（）0＋2×（）1＋…＋（n－1）（）n－2＋n（）n－1］，Sn＝［1×（）1＋2×（）2＋…＋（n－1）×（）n－1＋n（）n］，两式作差得Sn＝［1＋（）1＋（）2＋…＋（）n－1－n（）n］，Sn＝－n（）n＝5－（n＋5）×（）n.
四、解答题（本题共2小题，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
7.（本小题满分17分）已知集合A＝{a1，a2，a3，…，an} N*，其中n∈N且n≥3，a1＜a2＜a3＜…＜an，若对任意的x，y∈A（x≠y），都有｜x－y｜≥，则称集合A具有性质Mk.
（1）集合A＝{1，2，4，m}具有性质M5，求m的最小值；
（2）已知A具有性质M20，求证：－≥；
（3）已知A具有性质M20，求集合A中元素个数的最大值，并说明理由.
解：（1）不妨设m≥3，
①当m＝3时，由4－3＜，不满足题意；
②当m≥5时，由性质M定义知：
m≥20，且m∈N*，
所以m的最小值为20；经检验符合题意.
（2）证明：由题设｜ai－ai＋1｜≥（i＝1，2，3，…，n－1），且a1＜a2＜…＜an，
所以ai＋1－ai≥ －≥（i＝1，2，3，…，n－1），
所以－＋－＋…＋－＝－≥，得证.
（3）由（2）知： ＜1 n＜21，
同（2）证明得－≥且i＝1，2，3，…，n－1.
故＞，又ai≥i，
所以＞ i（n－i）＜20在i＝1，2，3，…，n－1上恒成立，
当n≥9，取i＝4，则4（n－4）＜20，解得n＜9，矛盾；
当n≤8，则i（n－i）≤＝＜20 n＜，即n≤8.
综上，集合A中元素个数的最大值为8.
8.（本小题满分17分）设a，b∈R，函数f（x）＝｜xex－2x＋a｜＋｜xex－x2＋b｜，g（x）＝2xex－x2－2x＋a＋b，h（x）＝x2－2x＋a－b，f（x），g（x），h（x）的定义域都为.
（1）求g（x）和h（x）的值域；
（2）用max{m，n}表示m，n中的最大者，证明：f（x）＝max{｜g（x）｜，｜h（x）｜}；
（3）记f（x）的最大值为F（a，b），求F（a，b）的最小值.
解：（1）g'（x）＝2（x＋1）ex－2x－2＝2（x＋1）（ex－1），
因为当x∈（－，0）时，g'（x）＜0；当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，
所以g（x）在（－，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，
又g（－）＝－＋＋a＋b，g（1）＝2e－3＋a＋b，g（－）＜g（1），
所以g（x）的值域为[g（0），g（1）]，即[a＋b，2e－3＋a＋b].
因为h（x）＝x2－2x＋a－b＝（x－1）2＋a－b－1，x∈是减函数，
所以h（x）的值域为，即［a－b－1，a－b＋］.
（2）证明：当｜m＋n｜≥｜m－n｜时，｜m＋n｜2≥｜m－n｜2，即mn≥0，
从而｜m｜＋｜n｜＝｜m＋n｜；
当｜m＋n｜＜｜m－n｜时，｜m＋n｜2＜｜m－n｜2，即mn＜0，
从而｜m｜＋｜n｜＝｜m－n｜，
所以｜m｜＋｜n｜＝max{｜m＋n｜，｜m－n｜}，
所以f（x）＝max{｜（xex－2x＋a）＋（xex－x2＋b）｜，｜（xex－2x＋a）－（xex－x2＋b）｜}＝max{｜2xex－x2－2x＋a＋b｜，｜x2－2x＋a－b｜}＝max{｜g（x）｜，｜h（x）｜}.
（3）由（1），得｜g（x）｜max＝max{｜g（0）｜，｜g（1）｜}，
｜h（x）｜max＝max，
再结合（2），得F（a，b）＝[f（x）]max＝max{｜g（x）｜max，｜h（x）｜max}
＝max，
所以F（a，b）≥｜g（0）｜，F（a，b）≥｜g（1）｜，
所以F（a，b）≥≥＝＝，
又当g（0）＝a＋b＝－，g（1）＝2e－3＋a＋b＝，
｜h（1）｜＝｜a－b－1｜≤，｜h（－）｜＝｜a－b＋｜≤（可取a＝2－e，b＝－）时，F（a，b）＝，
所以F（a，b）的最小值为.
2 / 5压轴题抢分练3
（时间：45分钟 满分：66分）
一、单项选择题（本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在△ABC中，已知＝nsin C，＝ncos C.若tan（A＋）＝－3，则n＝（ ）
A.无解 B.2
C.3 D.4
2.已知圆锥MO的底面半径为，高为1，其中O为底面圆心，AB是底面圆的一条直径，若点P在圆锥MO的侧面上运动，则·的最小值为（ ）
A.－ B.－
C.－2 D.－1
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
3.已知函数f（x）＝sin x＋，则下列说法正确的是（ ）
A.函数f（x）的一个周期为2π
B.函数f（x）的图象关于x＝对称
C.函数f（x）在区间（，2π）上单调递增
D.函数f（x）的最小值为2
4.阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求得抛物线弓形（抛物线与其弦AB所在直线围成的图形）面积等于此弓形的内接三角形（内接三角形ABC的顶点C在抛物线上，且在过弦AB的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上）面积的.现已知直线y＝－x＋p与抛物线E：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，且A为第一象限的点，E在A处的切线为l，线段AB的中点为D，直线DC∥x轴所在的直线交E于点C，下列说法正确的是（ ）
A.若抛物线弓形面积为8，则其内接三角形的面积为6
B.切线l的方程为2x－2y＋p＝0
C.若4n－1·An＝S△ABC（n∈N*），则弦AB对应的抛物线弓形面积大于A1＋A2＋…＋An－1＋An（n≥2）
D.若分别取AC，BC的中点V1，V2，过V1，V2且垂直y轴的直线分别交E于C1，C2，则＋＝S△ABC
三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
5.已知实数x，y，z，满足y＋z－2＝0，则＋＋＋的最小值为 .
6.根据统计数据，某种植物感染病毒之后，其存活日数X满足：对于任意的n∈N*，X＝n＋1的样本在X＞n的样本里的数量占比与X＝1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于，即P（X＝n＋1｜X＞n）＝P（X＝1）＝，则P（X＞n）＝ ，设an＝nP（X＝n），{an}的前n项和为Sn，则Sn＝ .
四、解答题（本题共2小题，共34分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
7.（本小题满分17分）已知集合A＝{a1，a2，a3，…，an} N*，其中n∈N且n≥3，a1＜a2＜a3＜…＜an，若对任意的x，y∈A（x≠y），都有｜x－y｜≥，则称集合A具有性质Mk.
（1）集合A＝{1，2，4，m}具有性质M5，求m的最小值；
（2）已知A具有性质M20，求证：－≥；
（3）已知A具有性质M20，求集合A中元素个数的最大值，并说明理由.
8.（本小题满分17分）设a，b∈R，函数f（x）＝｜xex－2x＋a｜＋｜xex－x2＋b｜，g（x）＝2xex－x2－2x＋a＋b，h（x）＝x2－2x＋a－b，f（x），g（x），h（x）的定义域都为.
（1）求g（x）和h（x）的值域；
（2）用max{m，n}表示m，n中的最大者，证明：f（x）＝max{｜g（x）｜，｜h（x）｜}；
（3）记f（x）的最大值为F（a，b），求F（a，b）的最小值.
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