中档题保分练1
（时间：50分钟 满分：87分）
一、单项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为（ ）
A. B.
C. D.
解析：C 从正六边形的6个顶点中任取3个共有＝20种情况，如图，要想构成直角三角形其中两个顶点一定是正六边形一条边的两个端点，有＝6种情况，直角三角形的另一个顶点一定是这条边所对边两个端点中的一个，有＝2种情况，所以共有12个直角三角形，因此概率为＝，故选C.
2.已知｜a｜＝1，｜b｜＝，a＋b＝（，1），则a＋b与a－b的夹角是（ ）
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析：C 由a＋b＝（，1）可得｜a＋b｜＝＝2，则｜a＋b｜2＝4，∴a2＋2a·b＋b2＝4，即得1＋2a·b＋3＝4，故a·b＝0，则｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝4，∴｜a－b｜＝2，故cos＜a＋b，a－b＞＝＝＝＝－，由于0°≤＜a＋b，a－b＞≤180°，故＜a＋b，a－b＞＝120°，故选C.
3.已知函数f（x）＝，在正项等比数列{an}中，a1 013＝1，则f（ai）＝（ ）
A.1 013 B.1 012
C.2 025 D.2 026
解析：C 由题意知f（x）＋f（）＝＋＝＋＝2，由等比数列性质可得a1a2 025＝a2a2 024＝…＝ana2 026－n＝（a1 013）2＝1，所以an＝，f（an）＋f（a2 026－n）＝2，f（ai）＝[f（a1）＋f（a2 025）]＋[f（a2）＋f（a2 024）]＋…＋f（a1 013）＝2×1 012＋1＝2 025.故选C.
4.已知一个玻璃酒杯盛酒部分的轴截面是抛物线，其通径长为1，现有一个半径为r（r＞0）的玻璃球放入该玻璃酒杯中，要使得该玻璃球接触到杯底（盛酒部分），则r的取值范围是（ ）
A.（0，2] B.［，2］ C.（0，］ D.（0，］
解析：C 以轴截面抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立平面直角坐标系，当玻璃球能够与杯底接触时，该玻璃球的轴截面的方程为x2＋（y－r）2＝r2（r＞0）.因为抛物线的通径长为1，则抛物线的方程为y＝x2，代入圆的方程消元得：x2[x2＋（1－2r）]＝0，所以原题等价于方程x2[x2＋（1－2r）]＝0在[－r，r]上只有实数解x＝0.因为由x2[x2＋（1－2r）]＝0，得x＝0或x2＝2r－1，所以需2r－1≤0或2r－1＞r2，即r≤或（r－1）2＜0.因为r＞0，所以0＜r≤，故选C.
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
5.函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，f（）＝f（）＝0，f（）＝－，则下列选项中正确的有（ ）
A.φ＝
B.A＝
C.将f（x）的图象向右平移个单位长度所得函数为奇函数
D.f（x）的单调递增区间为［－＋，＋］（k∈Z）
解析：BC 根据图象可得T＝－＝，解得T＝，因为ω＞0，所以＝，解得ω＝3，f（）＝Acos（＋φ）＝Acos（－＋φ）＝0，因为A＞0，所以cos（－＋φ）＝0，即φ－＝kπ＋，φ＝kπ＋，k∈Z，因为－＜φ＜，所以φ＝－，故f（x）＝Acos（3x－），所以f（）＝Acos（－）＝－A＝－，解得A＝，A错误，B正确；C选项，f（x）＝cos（3x－），将f（x）的图象向右平移个单位长度所得函数的解析式为g（x）＝cos（3x－－）＝cos（3x－）＝sin 3x，为奇函数，C正确；D选项，令3x－∈[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，解得x∈［－＋，＋］，k∈Z，故f（x）的单调递增区间为［－＋，＋］，k∈Z，D错误.故选B、C.
6.已知a＝（，b＝log3，c＝（log23，则满足关系式f（b）＜f（a）＜f（c）的函数f（x）可以为（ ）
A.f（x）＝－ B.f（x）＝x｜x｜
C.f（x）＝x2 D.f（x）＝cos（＋x）
解析：BCD 由于0＜log2＜1，所以a＝（∈（，1）.由于（）6＝＞（）6＝，所以＞，因此b＝log3＞log3＝－，所以b∈（－，0）.因为1＜log23＜2，所以c＝（log23∈（1，），又＜＜，所以－＜－＜b＜0＜＜a＜1＜c＜.选项A：若f（x）＝－，则f（b）＞0，f（a）＜f（c）＜0，不满足f（b）＜f（a）＜f（c），故A选项错误；选项B：若f（x）＝x｜x｜＝易知f（x）在R上单调递增，所以f（b）＜f（a）＜f（c），满足题意，故B选项正确；选项C：若f（x）＝x2，则f（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，但由于－＜b＜0＜＜a＜1＜c＜，所以f（b）＜f（a）＜f（c），满足题意，故C选项正确；选项D：若f（x）＝cos（＋x），则f（x）＝cos（＋x）＝sin x，而y＝sin x在［－，］上单调递增，－＜－＜b＜0＜＜a＜1＜c＜，所以f（b）＜f（a）＜f（c），满足题意，故D选项正确.故选B、C、D.
三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
7.如图，高度均为3的封闭玻璃圆锥和圆柱容器内装入等体积的水，此时水面高度均为h，若h＝2，记圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，则＝.
解析：如图，作出圆锥的轴截面SAB，设CD为水面，O为圆锥底面中心，O1为水面中心，则SO＝3，OO1＝2，∴SO1＝1，则△SDC∽△SAB，故＝，∴O1D＝R，故圆锥内水的体积为V1＝πR2·SO－π·（O1D）2·SO1＝πR2－πR2＝πR2，圆柱内水的体积为V2＝πr2h＝2πr2，由V1＝V2，得πR2＝2πr2，故＝.
8.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（1643—1727）给出了牛顿法——用“作切线”的方法求方程的近似解，如图，方程f（x）＝0的根就是函数f（x）的零点r，取初始值x0处的切线与x轴的交点为x1，f（x）在x1处的切线与x轴的交点为x2，一直这样下去，得到x0，x1，x2，…，xn，它们越来越接近r.若f（x）＝x3－x＋1，x0＝－1，则用牛顿法得到的r的近似值x2约为－1.35（结果保留两位小数）.
解析：由f（x）＝x3－x＋1 f'（x）＝3x2－1，f'（x0）＝f'（－1）＝2，f（x0）＝f（－1）＝1，所以在x0处的切线方程为：y－1＝2（x＋1），令y＝0 x1＝－1.5，可得：f'（x1）＝f'（－1.5）＝5.75，f（x1）＝f（－1.5）＝－0.875，所以在x1处的切线方程为：y＋0.875＝5.75（x＋1.5），令y＝0 x2≈－1.35.
四、解答题（本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
9.（本小题满分15分）如图，现有三棱锥A-BCD和E-BCD，其中三棱锥A-BCD的棱长均为2，三棱锥E-BCD有三个面是全等的等腰直角三角形，一个面是等边三角形，现将这两个三棱锥的一个面完全重合组成一个组合体ABCDE.
（1）求这个组合体ABCDE的体积；
（2）若点F为AC的中点，求二面角E-BC-F的余弦值.
解：（1）因为三棱锥E-BCD有三个面是全等的等腰直角三角形，△BCD是等边三角形，所以BE＝DE＝CE＝＝，
所以VE-BCD＝S△CDE·BE＝×（××）×＝；
因为三棱锥A-BCD的棱长均为2，
所以正三棱锥A-BCD体积为一个棱长为的正方体减去四个三棱锥，
即VA-BCD＝（）3－4××（××）×＝，
VABCDE＝VA-BCD＋VE-BCD＝＋＝.
（2）如图所示，以E为坐标原点，EC，ED，EB所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系E-xyz，
则E（0，0，0），B（0，0，），C（，0，0），F（，，），＝（，0，－），
＝（，，－），
设平面EBC的法向量为n1，易得n1＝（0，1，0），
设平面BCF的法向量为n2＝（x，y，z），
由得
取x＝1，可得n2＝（1，－1，1），
设二面角E-BC-F的平面角大小为θ，由图易知，二面角E-BC-F为钝角，
则cos θ＝－｜｜＝－＝－，
故二面角E-BC-F的余弦值为－.
10.（本小题满分15分）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下数据：
序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩xi（分） 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，s2.
（1）求；
（2）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列；
（3）经统计，高中生体质测试成绩x近似服从正态分布N（μ，σ2），用，s2的值分别作为μ，σ2的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的人数为Y，求Y的数学期望E（Y）.
附：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）≈0.682 7，P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）≈0.954 5，P（μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ）≈0.997 3.
解：（1）＝×（38＋41＋44＋51＋54＋56＋58＋64＋74＋80）＝56.
（2）因为体质测试不合格的学生有3名，所以X的可能取值为0，1，2，3.
因为P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
（3）因为＝56，s2＝×（182＋152＋122＋52＋22＋02＋22＋82＋182＋242）＝169，
所以μ＝56，σ＝13.
因为P（30≤x≤82）＝P（μ－2σ≤x≤μ＋2σ）≈0.954 5，
所以学生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]得概率约为0.954 5，
因为100名学生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的人数Y～B（100，0.954 5），
所以E（Y）＝100×0.954 5＝95.45.
11.（本小题满分15分）以双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F为圆心作圆，与C的一条渐近线相切于点Q（，）.
（1）求C的方程；
（2）在x轴上是否存在定点M，过点M任意作一条不与坐标轴垂直的直线l，当l与C交于A，B两点时，直线AF，BF的斜率之和为定值？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由.
解：（1）双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
圆F与直线y＝x切于点Q（，），所以代入得＝， ①
设F（c，0）（c＞0），直线FQ有斜率kFQ，则kFQ·＝－1，即·＝－1， ②
又c2＝a2＋b2， ③
由①②③解得c＝3，a＝2，b＝，
所以双曲线C的方程为－＝1.
（2）假设存在满足条件的定点M（t，0），因为直线l不与坐标轴垂直，
故设l的方程为x＝my＋t（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）.
由消去x整理得（5m2－4）y2＋10mty＋5t2－20＝0，
则即（*）
且
因为F（3，0），所以直线AF，BF的斜率为kAF＝，kBF＝.
设kAF＋kBF＝λ（λ为定值），即＋＝λ，
即y1（x2－3）＋y2（x1－3）＝λ（x1－3）（x2－3），
即y1（my2＋t－3）＋y2（my1＋t－3）＝λ（my1＋t－3）（my2＋t－3），
整理得（2m－λm2）y1y2＋（1－λm）（t－3）（y1＋y2）－λ（t－3）2＝0，
所以（2m－λm2）·－（1－λm）（t－3）·－λ（t－3）2＝0，
所以λ（5t2－30t＋20）m2＋10（3t－4）m＝5λ（t－3）2m2－4λ（t－3）2.
因为t，λ为定值，且上式对任意m恒成立，
所以解得t＝，λ＝0.
将t＝代入（*）式解得m＜－或m＞且m≠±.
综上，存在满足条件的定点M（，0）.
6 / 6中档题保分练1
（时间：50分钟 满分：87分）
一、单项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为（ ）
A. B. C. D.
2.已知｜a｜＝1，｜b｜＝，a＋b＝（，1），则a＋b与a－b的夹角是（ ）
A.30° B.60° C.120° D.150°
3.已知函数f（x）＝，在正项等比数列{an}中，a1 013＝1，则f（ai）＝（ ）
A.1 013 B.1 012
C.2 025 D.2 026
4.已知一个玻璃酒杯盛酒部分的轴截面是抛物线，其通径长为1，现有一个半径为r（r＞0）的玻璃球放入该玻璃酒杯中，要使得该玻璃球接触到杯底（盛酒部分），则r的取值范围是（ ）
A.（0，2] B.［，2］
C.（0，］ D.（0，］
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
5.函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示，f（）＝f（）＝0，f（）＝－，则下列选项中正确的有（ ）
A.φ＝
B.A＝
C.将f（x）的图象向右平移个单位长度所得函数为奇函数
D.f（x）的单调递增区间为［－＋，＋］（k∈Z）
6.已知a＝（，b＝log3，c＝（log23，则满足关系式f（b）＜f（a）＜f（c）的函数f（x）可以为（ ）
A.f（x）＝－ B.f（x）＝x｜x｜
C.f（x）＝x2 D.f（x）＝cos（＋x）
三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
7.如图，高度均为3的封闭玻璃圆锥和圆柱容器内装入等体积的水，此时水面高度均为h，若h＝2，记圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，则＝ .
8.人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿（1643—1727）给出了牛顿法——用“作切线”的方法求方程的近似解，如图，方程f（x）＝0的根就是函数f（x）的零点r，取初始值x0处的切线与x轴的交点为x1，f（x）在x1处的切线与x轴的交点为x2，一直这样下去，得到x0，x1，x2，…，xn，它们越来越接近r.若f（x）＝x3－x＋1，x0＝－1，则用牛顿法得到的r的近似值x2约为 （结果保留两位小数）.
四、解答题（本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
9.（本小题满分15分）如图，现有三棱锥A-BCD和E-BCD，其中三棱锥A-BCD的棱长均为2，三棱锥E-BCD有三个面是全等的等腰直角三角形，一个面是等边三角形，现将这两个三棱锥的一个面完全重合组成一个组合体ABCDE.
（1）求这个组合体ABCDE的体积；
（2）若点F为AC的中点，求二面角E-BC-F的余弦值.
10.（本小题满分15分）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下数据：
序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩xi（分） 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，s2.
（1）求；
（2）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列；
（3）经统计，高中生体质测试成绩x近似服从正态分布N（μ，σ2），用，s2的值分别作为μ，σ2的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的人数为Y，求Y的数学期望E（Y）.
附：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ－σ≤ξ≤μ＋σ）≈0.682 7，P（μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ）≈0.954 5，P（μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ）≈0.997 3.
11.（本小题满分15分）以双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F为圆心作圆，与C的一条渐近线相切于点Q（，）.
（1）求C的方程；
（2）在x轴上是否存在定点M，过点M任意作一条不与坐标轴垂直的直线l，当l与C交于A，B两点时，直线AF，BF的斜率之和为定值？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说明理由.
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