中档题保分练2
（时间：50分钟 满分：87分）
一、单项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设O为坐标原点，圆M：（x－1）2＋（y－2）2＝4与x轴切于点A，直线x－y＋2＝0交圆M于B，C两点，其中B在第二象限，则·＝（ ）
A. B.
C. D.
解析：D 由题意A（1，0），圆心M（1，2），M（1，2）到直线x－y＋2＝0距离为，所以BC＝2＝，直线x－y＋2＝0的斜率为，则其倾斜角为，则与的夹角为，所以·＝｜｜｜｜cos＜，＞＝1××＝.故选D.
2.已知函数f（x）＝x3＋x2－2x＋1，若函数f（x）在（2a－2，2a＋3）上存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A.［－，） B.［－，）
C.（－，］ D.（－，］
解析：B f（x）＝x3＋x2－2x＋1，f'（x）＝x2＋x－2＝（x＋2）（x－1），当－2＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＜－2或x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x＝1处取得极小值，在x＝－2处取得极大值.令f（x）＝f（1），解得x＝1或x＝－，又∵函数f（x）在（2a－2，2a＋3）上存在最小值，∴－≤2a－2＜1＜2a＋3，解得－≤a＜，即a的取值范围是［－，）.
3.在棱长为2a（a＞0）的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别为棱AB，D1C1的中点.已知动点P在该正方体的表面上，且·＝0，则点P的轨迹长度为（ ）
A.12a B.12πa
C.24a D.24πa
解析：B 因为·＝0，故P点轨迹为以MN为直径的球，如图，易知MN中点即为正方体中心O，球心在每个面上的射影为面的中心，设O在底面ABCD上的射影为O1，又正方体的棱长为2a，所以MN＝2a，易知OO1＝a，O1M＝a，又动点P在正方体的表面上运动，所以点P的轨迹是六个半径为a的圆，轨迹长度为6×2πa＝12πa，故选B.
4. x∈R，f（x）＋f（x＋3）＝1－f（x）f（x＋3），f（－1）＝0，则f（2 024）＝（ ）
A.2 B.1 C.0 D.－1
解析：B 由题意知 x∈R，f（x）＋f（x＋3）＝1－f（x）f（x＋3），f（－1）＝0，令x＝－1，则f（－1）＋f（2）＝1－f（－1）f（2），∴f（2）＝1.显然f（x）＝－1时，－1＋f（x＋3）＝1＋f（x＋3）不成立，故f（x）≠－1，故f（x＋3）＝，则f（x＋6）＝＝f（x），即6为函数f（x）的周期，则f（2 024）＝f（337×6＋2）＝f（2）＝1，故选B.
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
5.已知复数z，下列说法正确的是（ ）
A.若z－＝0，则z为实数
B.若z2＋＝0，则z＝＝0
C.若｜z－i｜＝1，则｜z｜的最大值为2
D.若｜z－i｜＝｜z｜＋1，则z为纯虚数
解析：AC 设z＝a＋bi（a，b∈R），则＝a－bi，若z－＝0，即（a＋bi）－（a－bi）＝2bi＝0，即b＝0，则z为实数，故A正确；若z2＋＝0，即（a＋bi）2＋（a－bi）2＝0，化简可得a2－b2＋2abi＋a2－b2－2abi＝0，即a2＝b2，即a＝±b，当a＝b时，z＝a＋ai，＝a－ai，此时不一定满足z＝＝0，当a＝－b时，z＝a－ai，＝a＋ai，此时不一定满足z＝＝0，故B错误；若｜z－i｜＝1，即｜z－i｜＝1＝｜a＋（b－1）i｜＝＝1，所以a2＋（b－1）2＝1，即z表示以（0，1）为圆心，以1为半径的圆上的点，且｜z｜表示圆上的点到原点的距离，所以｜z｜的最大值为2，故C正确；若｜z－i｜＝｜z｜＋1，即｜z－i｜＝｜a＋（b－1）i｜＝＝｜z｜＋1＝＋1，即＝＋1，化简可得b＝－，则a＝0且b≤0，此时z可能为实数也可能为纯虚数，故D错误.故选A、C.
6.有n（n∈N*，n≥10）个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从i号盒子取出的球是白球”为事件Ai（i＝1，2，3，…，n），则（ ）
A.P（A1A2）＝ B.P（A1｜A2）＝
C.P（A1＋A2）＝ D.P（A10）＝
解析：BC 对A，P（A1A2）＝×＝，所以A错误；对B，P（A2）＝×＋×＝，故P（A1｜A2）＝＝，所以B正确；对C，P（A1＋A2）＝P（A1）＋P（A2）－P（A1A2）＝＋－＝，所以C正确；对D，由题意：P（An）＝P（An－1）＋[1－P（An－1）]，所以P（An）－＝［P（An－1）－］，P（A1）＝，P（A1）－＝－＝，所以P（An）－＝×（）n－1＝×（）n，所以P（An）＝×（1＋），则P（A10）＝×（1＋），所以D错误.故选B、C.
三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
7.已知O为坐标原点，点F为椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点，点A，B在C上，AB的中点为F，OA⊥OB，则C的离心率为.
解析：由椭圆的对称性可知，AB垂直于x轴，又OA⊥OB，所以∠AOF＝，所以△AOF为等腰直角三角形，故A（c，c），所以＋＝1，即a2c2＋b2c2＝a2b2，所以a2c2＋（a2－c2）c2＝a2（a2－c2），整理得e4－3e2＋1＝0，解得e2＝或e2＝（舍去），故e＝＝＝.
8.已知（＋x）n＝a0＋a1（x＋1）＋…＋an（x＋1）n，写出满足条件①②的一个n的值8，9，10或11（答案不唯一）.
①n≥3，n∈N*；②a3≥ai，i＝0，1，2，…，n.
解析：令x＋1＝t，得（1＋t）n＝a0＋a1t＋…＋antn，∴ai＝（）i，i＝0，1，2，…，n，由条件②知 8≤n≤11.又n∈N*，∴n的值可以为8，9，10或11（答案不唯一）.
四、解答题（本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
9.（本小题满分15分）在△ABC中，sin（B－A）＋sin A＝sin C.
（1）求B的大小；
（2）延长BC至点M，使得2＝.若∠CAM＝，求∠BAC的大小.
解：（1）在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以sin C＝sin（A＋B）.
因为sin（B－A）＋sin A＝sin C，所以sin（B－A）＋sin A＝sin（A＋B），
即sin Bcos A－cos Bsin A＋sin A＝sin Bcos A＋cos Bsin A，
化简得sin A＝2cos Bsin A.
因为A∈（0，π），所以sin A≠0，cos B＝.
因为0＜B＜π，所以B＝.
（2）法一 设BC＝x，∠BAC＝θ，则CM＝2x.
由（1）知B＝，又∠CAM＝，所以在△ABM中，∠AMC＝－θ.
在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝. ①
在△ACM中，由正弦定理得＝，即＝. ②
①÷②，得＝，即2sin θcos θ＝，所以sin 2θ＝.
因为θ∈（0，），2θ∈（0，），所以2θ＝或，故θ＝或.
法二 设BC＝x，则CM＝2x，BM＝3x.
因为∠CAM＝＝B，所以△ACM∽△BAM，因此＝，
所以AM2＝BM·CM＝6x2，AM＝x.
在△ABM中，由正弦定理得＝，即＝，
化简得sin∠BAM＝.
因为∠BAM∈（0，），所以∠BAM＝或，∠BAC＝∠BAM－，
故∠BAC＝或.
10.（本小题满分15分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1与BB1的距离为，AB＝AC＝A1B＝2，A1C＝BC＝2.
（1）证明：平面A1ABB1⊥平面ABC；
（2）若点N在棱A1C1上，求直线AN与平面A1B1C所成角的正弦值的最大值.
解：（1）证明：取棱A1A中点D，连接BD，因为AB＝A1B，所以BD⊥AA1，
因为三棱柱ABC-A1B1C1，所以AA1∥BB1，
所以BD⊥BB1，所以BD＝，
又因为AB＝2，所以AD＝1，AA1＝2.
因为AC＝2，A1C＝2，所以AC2＋A＝A1C2，所以AC⊥AA1，
同理AC⊥AB，
因为AA1∩AB＝A，且AA1，AB 平面A1ABB1，所以AC⊥平面A1ABB1，
因为AC 平面ABC，
所以平面A1ABB1⊥平面ABC.
（2）取AB中点O，连接A1O，取BC中点P，连接OP，则OP∥AC，
由（1）知AC⊥平面A1ABB1，所以OP⊥平面A1ABB1，
因为A1O 平面A1ABB1，AB 平面A1ABB1，
所以OP⊥A1O，OP⊥AB，
因为AB＝A1A＝A1B，则A1O⊥AB，
以O为坐标原点，OP，OB，OA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则A（0，－1，0），A1（0，0，），B1（0，2，），C（2，－1，0），
可设点N（a，0，）（0≤a≤2），
＝（0，2，0），＝（2，－1，－），＝（a，1，），
设平面A1B1C的法向量为n＝（x，y，z），得
取x＝，则y＝0，z＝2，所以n＝（，0，2），
设直线AN与平面A1B1C所成角为θ，
则sin θ＝｜cos＜n，＞｜＝＝×＝×＝×，
若a＝0，则sin θ＝；
若a≠0，则sin θ＝×≤×＝，
当且仅当a＝，即a＝2时，等号成立，
所以直线AN与平面A1B1C所成角的正弦值的最大值为.
11.（本小题满分15分）数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，a2＝4且当n≥2时，3Sn－1，2Sn，Sn＋1＋2n成等差数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在an和an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意，n∈N*，在数列{an}中，当n≥2时，3Sn－1，2Sn，Sn＋1＋2n成等差数列，所以3Sn－1＋Sn＋1＋2n＝4Sn，即Sn＋1－Sn＋2n＝3（Sn－Sn－1），
所以n≥2时，an＋1＋2n＝3an，
又由a1＝2，a2＝4知n＝1时，an＋1＋2n＝3an成立，
即对任意正整数n均有an＋1＝3an－2n，
所以an－2n＝3an－1－3·2n－1＝3（an－1－2n－1）＝…＝3n－1（a1－2）＝0，从而an＝2n（n∈N*），
即数列{an}的通项公式为an＝2n（n∈N*）.
（2）由题意及（1）得，an＝2n（n∈N*），所以dn＝＝.
假设数列{dn}中存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，则＝dmdp，
即（）2＝·，化简得＝，
因为m，k，p成等差数列，所以m＋p＝2k，所以（m＋1）（p＋1）＝（k＋1）2，化简得k2＝mp，
又m＋p＝2k，所以（m＋p）2＝4k2＝4mp，即（m－p）2＝0，所以m＝p，所以m＝p＝k，这与题设矛盾，所以假设不成立，
所以在数列{dn}中不存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列.
6 / 6中档题保分练2
（时间：50分钟 满分：87分）
一、单项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设O为坐标原点，圆M：（x－1）2＋（y－2）2＝4与x轴切于点A，直线x－y＋2＝0交圆M于B，C两点，其中B在第二象限，则·＝（ ）
A. B.
C. D.
2.已知函数f（x）＝x3＋x2－2x＋1，若函数f（x）在（2a－2，2a＋3）上存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A.［－，） B.［－，）
C.（－，］ D.（－，］
3.在棱长为2a（a＞0）的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别为棱AB，D1C1的中点.已知动点P在该正方体的表面上，且·＝0，则点P的轨迹长度为（ ）
A.12a B.12πa
C.24a D.24πa
4. x∈R，f（x）＋f（x＋3）＝1－f（x）f（x＋3），f（－1）＝0，则f（2 024）＝（ ）
A.2 B.1
C.0 D.－1
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
5.已知复数z，下列说法正确的是（ ）
A.若z－＝0，则z为实数
B.若z2＋＝0，则z＝＝0
C.若｜z－i｜＝1，则｜z｜的最大值为2
D.若｜z－i｜＝｜z｜＋1，则z为纯虚数
6.有n（n∈N*，n≥10）个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类推，记“从i号盒子取出的球是白球”为事件Ai（i＝1，2，3，…，n），则（ ）
A.P（A1A2）＝ B.P（A1｜A2）＝
C.P（A1＋A2）＝ D.P（A10）＝
三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
7.已知O为坐标原点，点F为椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点，点A，B在C上，AB的中点为F，OA⊥OB，则C的离心率为 .
8.已知（＋x）n＝a0＋a1（x＋1）＋…＋an（x＋1）n，写出满足条件①②的一个n的值 .
①n≥3，n∈N*；②a3≥ai，i＝0，1，2，…，n.
四、解答题（本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
9.（本小题满分15分）在△ABC中，sin（B－A）＋sin A＝sin C.
（1）求B的大小；
（2）延长BC至点M，使得2＝.若∠CAM＝，求∠BAC的大小.
10.（本小题满分15分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1与BB1的距离为，AB＝AC＝A1B＝2，A1C＝BC＝2.
（1）证明：平面A1ABB1⊥平面ABC；
（2）若点N在棱A1C1上，求直线AN与平面A1B1C所成角的正弦值的最大值.
11.（本小题满分15分）数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，a2＝4且当n≥2时，3Sn－1，2Sn，Sn＋1＋2n成等差数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在an和an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.
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