中档题保分练3
（时间：50分钟 满分：87分）
一、单项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在△ABC中，AB＝3，cos∠BAC＝－，AD⊥AC，且AD交BC于点D，AD＝3，则sin C＝（ ）
A. B.
C. D.
2.已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A. B.
C. D.
3.已知某圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r2＝2r1，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知数列{an}满足a1＝a2＝1，an＋2＝（k∈N*），若Sn为数列{an}的前n项和，则S50＝（ ）
A.624 B.625
C.626 D.650
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
5.已知函数f（x）＝sin nxcos nx＋cos2nx（n∈N*），则下列说法正确的有（ ）
A.若n＝1，则f（x）在［0，］上的最小值为0
B.若n＝2，则点（，0）是函数f（x）的图象的一个对称中心
C.若函数f（x）在［，］上单调递减，则满足条件的n值有3个
D.若对任意实数x0，方程f（x）＝在区间（x0，x0＋）内的解的个数恒大于4且小于10，则满足条件的n值有7个
6.设a＞1，b＞0，且ln a＝2－b，则下列关系式可能成立的是（ ）
A.a＝b B.b－a＝e
C.a＝2 024b D.ab＞e
三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
7.某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W（单位：克）与脉搏率f（单位：心跳次数/分钟）的对应数据（Wi，fi）（i＝1，2，…，8），根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f＝cWk（c，k为参数）.令xi＝ln Wi，yi＝ln fi，计算得＝8，＝5，＝214.由最小二乘法得经验回归方程为＝x＋7.4，则k的值为 ；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值（i＝1，2，…，8），若残差平方和（yi－）2≈0.28，则决定系数R2≈ .（参考公式：决定系数R2＝1－）
8.设点A（－2，0），B（－，0），C（0，1），若动点P满足｜PA｜＝2｜PB｜，且＝λ＋μ，则λ＋2μ的最大值为 .
四、解答题（本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
9.（本小题满分15分）已知圆x2＋y2－x－2y＋m＝0与x轴交于点P（1，0），且经过椭圆G：＋＝1（a＞b＞0）的上顶点，椭圆G的离心率为.
（1）求椭圆G的方程；
（2）若点A为椭圆G上一点，且在x轴上方，B为A关于原点O的对称点，点M为椭圆G的右顶点，直线PA与MB交于点N，△PBN的面积为，求直线PA的斜率.
10.（本小题满分15分）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同.某人做摸球答题游戏.规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题.若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐.此人答对每一道题目的概率均为.当甲罐内无球时，游戏停止.假设开始时乙罐无球.
（1）求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率；
（2）设第n（n∈N*，n≥5）次答题后游戏停止的概率为an.
①求an；
②an是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由.
11.（本小题满分15分）已知f（x）＝ln x＋ax2＋x，a∈R.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若 x∈（0，＋∞），f（x）＋ax＋1≤x（e3x＋ax＋1），求a的取值范围.
2 / 2中档题保分练3
（时间：50分钟 满分：87分）
一、单项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在△ABC中，AB＝3，cos∠BAC＝－，AD⊥AC，且AD交BC于点D，AD＝3，则sin C＝（ ）
A. B.
C. D.
解析：B 由cos∠BAC＝－，AD⊥AC，得sin∠BAD＝sin（∠BAC－）＝－cos∠BAC＝，而∠BAD为锐角，则cos∠BAD＝＝，在△ABD中，由余弦定理得BD＝＝，所以sin C＝cos∠ADC＝－cos∠ADB＝－＝.故选B.
2.已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A. B.
C. D.
解析：C 设双曲线－＝1的半焦距为c，因为双曲线－＝1的离心率为，所以e＝＝，解得c＝a，由a2＋b2＝c2，得b2＝c2－a2＝（a）2－a2＝a2，所以b＝a，所以渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x，所以两条渐近线的倾斜角分别为和，因为－＝，所以两条渐近线所夹的锐角为π－＝，即双曲线的两条渐近线的夹角为，故选C.
3.已知某圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r2＝2r1，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ）
A. B.
C. D.
解析：C 如图，设圆台上、下底面圆心分别为O1，O2，则圆台内切球的球心O一定在O1O2的中点处，设球O与母线AB切于M点，所以OM⊥AB，所以OM＝OO1＝OO2＝2，所以△AOO1与△AOM全等，所以AM＝r1，同理BM＝r2，所以AB＝r1＋r2＝3r1，过A作AG⊥BO2，垂足为G，则BG＝r2－r1＝r1，AG＝O1O2＝4，所以AG2＝AB2－BG2，所以16＝（3r1）2－＝8，所以r1＝，所以r2＝2，所以该圆台的体积为×（2π＋8π＋4π）×4＝.故选C.
4.已知数列{an}满足a1＝a2＝1，an＋2＝（k∈N*），若Sn为数列{an}的前n项和，则S50＝（ ）
A.624 B.625
C.626 D.650
解析：C 数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝（k∈N*），当n＝2k－1，k∈N*时，an＋2－an＝2，即数列{an}的奇数项构成等差数列，其首项为1，公差为2，则a1＋a3＋a5＋…＋a49＝25×1＋×2＝625；当n＝2k，k∈N*时，＝－1，即数列{an}的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为－1，则a2＋a4＋a6＋…＋a50＝＝1，所以S50＝（a1＋a3＋a5＋…＋a49）＋（a2＋a4＋a6＋…＋a50）＝626.故选C.
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
5.已知函数f（x）＝sin nxcos nx＋cos2nx（n∈N*），则下列说法正确的有（ ）
A.若n＝1，则f（x）在［0，］上的最小值为0
B.若n＝2，则点（，0）是函数f（x）的图象的一个对称中心
C.若函数f（x）在［，］上单调递减，则满足条件的n值有3个
D.若对任意实数x0，方程f（x）＝在区间（x0，x0＋）内的解的个数恒大于4且小于10，则满足条件的n值有7个
解析：AC f（x）＝sin nxcos nx＋cos2nx＝sin 2nx＋cos 2nx＋＝sin（2nx＋）＋，对于A，当x∈［0，］时，2x＋∈［，］，sin（2x＋）∈［－，1］，f（x）min＝0，A正确；对于B，函数f（x）图象的对称中心的纵坐标应为，B错误；对于C，x∈［，］时，2nx＋∈［＋，＋］，由k∈Z，解得n∈［，2］∪［，5］，因此n＝1，2，5，C正确；对于D，方程f（x）＝等价于sin（2nx＋）＝，方程的解即函数g（x）＝sin（2nx＋）和直线y＝图象的交点，如图，
函数g（x）的最小正周期T＝｜A1A3｜，设｜A1A2｜＝dT，｜A2A3｜＝DT（其中D＝1－d），显然0＜＜sin，由下图可知＜d＜＜D＜，2＜6d＜3＜6D＜4，
因为在区间（x0，x0＋）内的解的个数m∈[5，9]，所以区间长度应满足：（2＋D）T＜≤（4＋d）T，由T＝，则（2＋D）＜≤（4＋d），化简得12＋6D＜n≤24＋6d，所以n∈[16，26]，正整数n的值有11个，D错误.故选A、C.
6.设a＞1，b＞0，且ln a＝2－b，则下列关系式可能成立的是（ ）
A.a＝b B.b－a＝e
C.a＝2 024b D.ab＞e
解析：AC 由于ln a＝2－b，知b＝2－ln a，又a＞1，b＞0，则b＝2－ln a＞0，解得1＜a＜e2，对A、B，b－a＝2－ln a－a，设函数f（a）＝2－ln a－a，1＜a＜e2，f'（a）＝－－1＜0，故f（a）在（1，e2）上单调递减，则－e2＝f（e2）＜f（a）＜f（1）＝1，即－e2＜b－a＜1，故A对，B错；对C，由于1＜a＜e2，＝，设g（a）＝，1＜a＜e2，g'（a）＝＜0，故g（a）在（1，e2）上单调递减，则0＝g（e2）＜g（a）＜g（1）＝2，故∈（0，2），若a＝2 024b，＝∈（0，2），故C对；对D，ab＝a（2－ln a），设h（a）＝a（2－ln a），a∈（1，e2），h'（a）＝2－（ln a＋1）＝1－ln a，令h'（a）＝0，则a＝e，则a∈（1，e），h'（a）＞0，a∈（e，e2），h'（a）＜0，则h（a）在（1，e）上单调递增，在（e，e2）上单调递减，h（a）max＝e，h（1）＝2，h（e2）＝0，故h（a）∈（0，e]，即0＜ab≤e，故D错误.故选A、C.
三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
7.某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W（单位：克）与脉搏率f（单位：心跳次数/分钟）的对应数据（Wi，fi）（i＝1，2，…，8），根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f＝cWk（c，k为参数）.令xi＝ln Wi，yi＝ln fi，计算得＝8，＝5，＝214.由最小二乘法得经验回归方程为＝x＋7.4，则k的值为－0.3；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值（i＝1，2，…，8），若残差平方和（yi－）2≈0.28，则决定系数R2≈0.98.（参考公式：决定系数R2＝1－）
解析：因为f＝cWk，两边取对数可得ln f＝ln c＋kln W，又xi＝ln Wi，yi＝ln fi，依题意经验回归直线＝x＋7.4必过样本中心点（，），所以5＝8＋7.4，解得＝－0.3，所以k＝－0.3.又R2＝1－＝1－≈1－＝0.98.
8.设点A（－2，0），B（－，0），C（0，1），若动点P满足｜PA｜＝2｜PB｜，且＝λ＋μ，则λ＋2μ的最大值为.
解析：设P（x，y），则＝（－2－x，－y），＝（－－x，－y），由｜｜＝2｜｜，得＝2，整理，得x2＋y2＝1，又＝（x＋2，y），＝（，0），＝（2，1），代入＝λ＋μ 有x＋y＋2＝λ＋3μ＝（λ＋2μ），所以λ＋2μ＝（x＋y＋2），由1＝x2＋y2≥2xy，得xy≤，当且仅当x＝y＝时等号成立，所以（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2≤1＋1＝2，得x＋y≤，所以λ＋2μ＝（x＋y＋2）≤（＋2）＝，即λ＋2μ的最大值为.
四、解答题（本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
9.（本小题满分15分）已知圆x2＋y2－x－2y＋m＝0与x轴交于点P（1，0），且经过椭圆G：＋＝1（a＞b＞0）的上顶点，椭圆G的离心率为.
（1）求椭圆G的方程；
（2）若点A为椭圆G上一点，且在x轴上方，B为A关于原点O的对称点，点M为椭圆G的右顶点，直线PA与MB交于点N，△PBN的面积为，求直线PA的斜率.
解：（1）∵圆x2＋y2－x－2y＋m＝0过（1，0），∴m＝0，
又∵圆x2＋y2－x－2y＝0过（0，b），∴b＝2，
又∵∴a2＝9，
∴椭圆G的方程为＋＝1.
（2）设A（x0，y0）（y0＞0），则B（－x0，－y0），
由题知x0≠1且x0≠－3，则PA：y＝（x－1），MB：y＝（x－3），
由
解得
∴N（－x0，－），
又∵S△PBN＝S△PBM－S△PNM＝×｜PM｜×y0＝y0＝，∴y0＝，
又∵＋＝1，∴x0＝±2，
∴直线PA的斜率kAP＝＝－或.
10.（本小题满分15分）有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同.某人做摸球答题游戏.规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题.若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐.此人答对每一道题目的概率均为.当甲罐内无球时，游戏停止.假设开始时乙罐无球.
（1）求此人三次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各1个的概率；
（2）设第n（n∈N*，n≥5）次答题后游戏停止的概率为an.
①求an；
②an是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由.
解：（1）记M＝“此人三次答题后，乙罐内恰有红、黑各一个球”，
Ai＝“第i次摸出红球，并且答题正确”，i＝1，2，3；
Bj＝“第j次摸出黑球，并且答题正确”，j＝1，2，3；
Ck＝“第k次摸出红球或黑球，并且答题错误”，k＝1，2，3，
所以M＝A1B2C3＋B1A2C3＋A1C2B3＋B1C2A3＋C1A2B3＋C1B2A3.
又P（A1）＝×＝，P（B2｜A1）＝×＝，P（C3｜A1B2）＝1×＝，
所以P（A1B2C3）＝P（A1B2）·P（C3｜A1B2）＝P（A1）·P（B2｜A1）·P（C3｜A1B2）＝××＝.
同理：P（B1A2C3）＝P（A1C2B3）＝P（B1C2A3）＝P（C1A2B3）＝P（C1B2A3）＝，
所以P（M）＝P（A1B2C3）×6＝×6＝.
（2）①第n次后游戏停止的情况是：前n－1次答题正确恰好为4次，答题错误n－5次，且第n次摸出最后一球时答题正确.
所以an＝（）4（）n－5×＝（）n.
②由①知an＝（）n，
所以＝＝＝.
令≥1，解得n≤8；＜1，解得n＞8.
所以a5＜a6＜a7＜a8＝a9＞a10＞a11＞…，
所以an的最大值是a8＝a9＝.
11.（本小题满分15分）已知f（x）＝ln x＋ax2＋x，a∈R.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若 x∈（0，＋∞），f（x）＋ax＋1≤x（e3x＋ax＋1），求a的取值范围.
解：（1）由题意知f（x）定义域为（0，＋∞）且f'（x）＝＋ax＋1＝.
令h（x）＝ax2＋x＋1，
①当a≥0时，h（x）＞0，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增.
②当a＜0时，Δ＝1－4a＞0，记h（x）＝0的两根为x1，x2，
则x1＝，x2＝，且x1＞0＞x2.
当0＜x＜x1时，f'（x）＞0，f（x）在（0，x1）上单调递增，
当x＞x1时，f'（x）＜0，f（x）在（x1，＋∞）上单调递减.
综上所述：当a≥0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增；
当a＜0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，＋∞）上单调递减.
（2）法一 f（x）＋ax＋1≤x（e3x＋ax＋1），化简得ln x＋ax＋1≤xe3x＝eln x＋3x.
设g（x）＝ex－x－1，则g'（x）＝ex－1，
当x＞0时，g'（x）＞0，函数g（x）在（0，＋∞）上单调递增，
当x＜0时，g'（x）＜0，函数g（x）在（－∞，0）上单调递减，
又g（0）＝0，所以ex≥x＋1，当且仅当x＝0取等号.
令t（x）＝ln x＋3x，因为y＝ln x，y＝3x在（0，＋∞）上单调递增，
所以t（x）在（0，＋∞）上单调递增.
又因为t（1）＝3＞0，t（）＝1－ln 3＜0，
所以存在唯一x0∈（，1），使得t（x0）＝3x0＋ln x0＝0， ①
所以xe3x＝eln x＋3x≥ln x＋3x＋1，当且仅当x＝x0时取等号.
当a≤3时，xe3x＝eln x＋3x≥ln x＋3x＋1≥ln x＋ax＋1成立；
当a＞3时，由①知x0＝＝e0＝1，ln x0＋ax0＋1＞ln x0＋3x0＋1＝1，
所以x0＜ln x0＋ax0＋1与ln x＋ax＋1≤xe3x恒成立矛盾，不符合题意.
综上a≤3.
法二 不等式f（x）＋ax＋1≤x（e3x＋ax＋1），可化为ln x＋ax＋1≤xe3x，
所以a≤e3x－－.
令m（x）＝e3x－－，
则m'（x）＝3e3x－＋＝.
令h（x）＝3x2e3x＋ln x，则h'（x）＝3xe3x（2＋3x）＋＞0.
所以h（x）在（0，＋∞）上单调递增.
又h（1）＝3e3＋ln 1＝3e3＞0，h（）＝e＋ln＝（ln ee－ln 33）＜0，
所以 x0∈（，1），使h（x0）＝0，
所以m（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，＋∞）上单调递增.
由h（x0）＝0得3＋ln x0＝0，
即3x0＝－＝ln.
设φ（x）＝xex，x∈（0，＋∞），则φ'（x）＝ex＋xex＝（1＋x）ex＞0，
所以φ（x）＝xex在（0，＋∞）上单调递增.
由3x0＝ln，得φ（3x0）＝φ（ln），所以3x0＝ln，
即有＝－3，且＝，
所以m（x）min＝m（x0）＝－－＝3，所以a≤3.
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