方法5 命题转换
所谓命题转换，就是变换问题，通过一再改变问题的叙述和形式，改变观察和分析问题的角度，使问题呈现出新的面貌，引发新的思考、新的联想，从而使问题获得解答.
命题转换的核心是变形，转换的方法多种多样，通常通过分解与重组、强化与弱化、变量代换、增设辅助元等方法实现已知与未知、数与形、实际问题与数学问题的转换.
本文只讨论“若p，则q”这种形式的命题，有时只需转换命题的条件p，有时只需转换命题的结论q，有时则需要同时转换命题的条件与结论.
【例1】 （转换条件）设关于x的方程x2－ax－2＝0和x2－x－1－a＝0的实数根分别为x1，x2和x3，x4，若x1＜x3＜x2＜x4，则实数a的取值范围为 .
训练1 （2024·宁波模拟）已知函数f（x）＝2x＋log2x，g（x）＝（ ）x－log2x，h（x）＝x3＋log2x的零点分别为a，b，c，则（ ）
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.c＞a＞b D.b＞c＞a
【例2】 （转换结论）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，则｜a＋b｜＋｜a－b｜的最小值是 ，最大值是 .
训练2 已知函数g（x）＝x＋－2（x≠0）.若关于x的方程g（｜2x－1｜）＋－3k＝0有三个不同的实数根，求实数k的取值范围.
【例3】 （转换条件与结论）已知a，b∈R＋，c＞－1，且满足lg a＋a＋c＝0，ln b＋b＋c＝0，则（ ）
A.acos a＞bcos b B.acos a＜bcos b
C.asin b＞bsin a D.asin b＜bsin a
训练3 已知函数f（x）＝ax2＋（2b＋1）x－a－2，若a≠0，f（x）在[3，4]上至少有一个零点，则a2＋b2的最小值为 .
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所谓命题转换，就是变换问题，通过一再改变问题的叙述和形式，改变观察和分析问题的角度，使问题呈现出新的面貌，引发新的思考、新的联想，从而使问题获得解答.
命题转换的核心是变形，转换的方法多种多样，通常通过分解与重组、强化与弱化、变量代换、增设辅助元等方法实现已知与未知、数与形、实际问题与数学问题的转换.
本文只讨论“若p，则q”这种形式的命题，有时只需转换命题的条件p，有时只需转换命题的结论q，有时则需要同时转换命题的条件与结论.
【例1】 （转换条件）设关于x的方程x2－ax－2＝0和x2－x－1－a＝0的实数根分别为x1，x2和x3，x4，若x1＜x3＜x2＜x4，则实数a的取值范围为（－1，1）.
解析：条件转换为x1，x2是抛物线y＝x2与动直线y＝ax＋2的两个交点的横坐标，x3，x4是抛物线y＝x2与动直线y＝x＋a＋1的两个交点的横坐标，数形结合（如图）易知－1＜a＜1.
训练1 （2024·宁波模拟）已知函数f（x）＝2x＋log2x，g（x）＝（ ）x－log2x，h（x）＝x3＋log2x的零点分别为a，b，c，则（ ）
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.c＞a＞b D.b＞c＞a
解析：D 分别作出y＝log2x，y＝－2x，y＝（ ）x，y＝－x3的大致图象，如图，由图知b＞c＞a.故选D.
【例2】 （转换结论）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，则｜a＋b｜＋｜a－b｜的最小值是4，最大值是2.
解析：设＜a，b＞＝θ，则｜a＋b｜＋｜a－b｜＝＋，（｜a＋b｜＋｜a－b｜）2＝10＋2，转换为函数最值问题.易知所求最小值为4，最大值为2.
训练2 已知函数g（x）＝x＋－2（x≠0）.若关于x的方程g（｜2x－1｜）＋－3k＝0有三个不同的实数根，求实数k的取值范围.
解：令t＝｜2x－1｜＞0，
函数t＝｜2x－1｜的图象如图，
方程g（｜2x－1｜）＋－3k＝0可化为t＋－2＋－3k＝0，
即t2－（2＋3k）t＋1＋2k＝0（t＞0），
因为方程g（｜2x－1｜）＋－3k＝0有三个不同的实数根，由函数t＝｜2x－1｜的图象可知，方程t2－（2＋3k）t＋1＋2k＝0有两个不等实根t1，t2，
不妨设t1＜t2，则0＜t1＜1，t2≥1，令h（t）＝t2－（2＋3k）t＋1＋2k，
则此时解得k＞0，
或此时k无解，
综上所述，实数k的取值范围是（0，＋∞）.
【例3】 （转换条件与结论）已知a，b∈R＋，c＞－1，且满足lg a＋a＋c＝0，ln b＋b＋c＝0，则（ ）
A.acos a＞bcos b B.acos a＜bcos b
C.asin b＞bsin a D.asin b＜bsin a
解析：D 条件转换为lg a＝－a－c，ln b＝－b－c，可视为a是y＝lg x与y＝－x－c图象的交点的横坐标，b是y＝ln x与y＝－x－c图象的交点的横坐标.数形结合易得0＜a＜b＜1.
法一 选项D为asin b＜bsin a，即＜，转换为分析函数y＝，x∈（0，1）的单调性.因为y'＝＝＜0对x∈（0，1）恒成立，所以y＝在（0，1）上单调递减，又a＜b，故D正确.
法二 将y＝＝转换为y＝sin x，x∈（0，1）图象上的一点（x，sin x）与原点O（0，0）连线的斜率，在（0，1）上，斜率在变小，故D正确.
训练3 已知函数f（x）＝ax2＋（2b＋1）x－a－2，若a≠0，f（x）在[3，4]上至少有一个零点，则a2＋b2的最小值为.
解析：令直线l：ax2＋（2b＋1）x－a－2＝（x2－1）a＋2xb＋x－2＝0，则原点O（0，0）到l的距离的平方为d2＝，即有a2＋b2≥d2＝（ ）2.设g（x）＝，x∈[3，4].令x－2＝μ，μ∈[1，2]，则＝＝，易知φ（μ）＝μ＋在[1，2]上是减函数，故当μ＝1时，φ（μ）max＝6，所以≥＝，此时x＝3，故a2＋b2的最小值为.
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