方法7 局部处理
整体和局部是同一事物的两个方面.有些数学问题从整体上处理难以解决，就必须先分析研究问题的某一部分，得出初步结论后，再进一步研究，从而使数学问题获得解决.这种分析问题和解决问题的思维方法称为局部处理法.
【例1】 （局部固定法）若a＞0，b＞0，2ab＋a＋2b＝3，则a＋2b的最小值是（ ）
A. B.1 C.2 D.
解析：C a＞0，b＞0，3＝2ab＋a＋2b≤（ ）2＋（a＋2b），当且仅当a＝2b时取等号，因此（a＋2b）2＋4（a＋2b）－12≥0，即（a＋2b＋6）·（a＋2b－2）≥0，解得a＋2b≥2，所以当a＝2b＝1时，a＋2b取得最小值2.故选C.
训练1 已知函数f（x）＝a（2x－2－x）＋bx＋1，若f（2）＝5，则f（－2）＝－3.
解析：令g（x）＝a（2x－2－x）＋bx， x∈R，g（－x）＝a（2－x－2x）－bx＝－[a（2x－2－x）＋bx]＝－g（x），所以g（x）为奇函数，则有g（－2）＝－g（2），因为f（2）＝g（2）＋1＝5，所以g（2）＝4，则g（－2）＝－g（2）＝－4，所以f（－2）＝g（－2）＋1＝－3.
【例2】 （局部突破法）如图，在三棱台DEF-ABC中，平面ADFC⊥平面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，CD＝2BC.
证明：EF⊥DB.
证明：作DH⊥AC于点H，连接BH（图略）.
因为平面ADFC⊥平面ABC，而平面ADFC∩平面ABC＝AC，所以DH⊥平面ABC，从而DH⊥BC.
因为∠ACB＝∠ACD＝45°，所以CD＝CH＝2BC，则CH＝BC.
取三棱锥D-HBC，如图，在△CBH中，
BH2＝CH2＋BC2－2CH·BCcos 45°＝BC2，即BH2＋BC2＝CH2，所以BH⊥BC.
由棱台的定义可知，EF∥BC，所以DH⊥EF，BH⊥EF，
又BH∩DH＝H，所以EF⊥平面BHD，而DB 平面BHD，所以EF⊥DB.
训练2 （1）若双曲线x2－＝1的两条渐近线与椭圆M：＋＝1（a＞b＞0）的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为（ ）
A.－1 B.－1
C. D.
解析：B 由题意知，双曲线x2－＝1的一条渐近线是y＝x，记它与椭圆M在第一象限的交点为A，椭圆M的左、右焦点记为F1，F2，则根据正六边形的性质知△AF1F2是直角三角形，且∠F1AF2＝90°，∠AF2F1＝60°，｜F1F2｜＝2c，所以｜AF1｜＝c，｜AF2｜＝c.由椭圆的定义｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a，得出c＋c＝2a，所以椭圆M的离心率e＝＝＝－1.故选B.
（2）求证：对于一切x＞0，都有xln x≥－.
证明：先证明局部问题：xln x≥－，记f（x）＝xln x，f'（x）＝ln x＋1＝0，即x＝，
故f（x）在（ 0，）单调递减，（ ，＋∞）单调递增，则f（x）min＝f（ ）＝－，xln x≥－，
同理记g（x）＝－，则g（x）≤－，原不等式即证.
2 / 2方法7 局部处理
整体和局部是同一事物的两个方面.有些数学问题从整体上处理难以解决，就必须先分析研究问题的某一部分，得出初步结论后，再进一步研究，从而使数学问题获得解决.这种分析问题和解决问题的思维方法称为局部处理法.
【例1】 （局部固定法）若a＞0，b＞0，2ab＋a＋2b＝3，则a＋2b的最小值是（ ）
A. B.1
C.2 D.
训练1 已知函数f（x）＝a（2x－2－x）＋bx＋1，若f（2）＝5，则f（－2）＝ .
【例2】 （局部突破法）如图，在三棱台DEF-ABC中，平面ADFC⊥平面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，CD＝2BC.
证明：EF⊥DB.
训练2 （1）若双曲线x2－＝1的两条渐近线与椭圆M：＋＝1（a＞b＞0）的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为（ ）
A.－1 B.－1
C. D.
（2）求证：对于一切x＞0，都有xln x≥－.
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