方法8 均值代换
所谓均值代换，是指利用若干个变量的平均值和一个字母重新定义原来变量之间的关系，从而便于计算.当n个变量xi（i＝1，2，…，n）的和为定值a时，可设xi＝＋ti，其中t1＋t2＋…＋tn＝0，这种代换叫作均值代换.均值代换以问题中某些变量的平均值为基点，对这些变量进行线性变换，从而引入新的变量，以达到简化问题与解决问题的目的，是换元法的一种特殊形式.
【例1】 （两个变量和为定值的均值代换设法）已知a，b∈R，a＋b＝4，则＋的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
训练1 （1）已知a＋b＝2，＋＝－4，则ab＝ ；
（2）设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则的最小值为 .
【例2】 （三个变量和为定值的均值代换设法）设实数x，y，z满足则当z为何值时，x2＋y2取最大值？最大值为多少？
训练2 已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值为 .
1 / 1方法8 均值代换
所谓均值代换，是指利用若干个变量的平均值和一个字母重新定义原来变量之间的关系，从而便于计算.当n个变量xi（i＝1，2，…，n）的和为定值a时，可设xi＝＋ti，其中t1＋t2＋…＋tn＝0，这种代换叫作均值代换.均值代换以问题中某些变量的平均值为基点，对这些变量进行线性变换，从而引入新的变量，以达到简化问题与解决问题的目的，是换元法的一种特殊形式.
【例1】 （两个变量和为定值的均值代换设法）已知a，b∈R，a＋b＝4，则＋的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
解析：D 因为a＋b＝4.令a＝2＋t，b＝2－t，则＋＝＋＝＋＝，令u＝5＋t2，则u≥5，上式可化为g（u）＝＝≤＝，当且仅当u＝，即u＝4时取等号.
训练1 （1）已知a＋b＝2，＋＝－4，则ab＝－1；
（2）设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则的最小值为.
解析：（1）令a＝1＋t，b＝1－t，则原式可化为＋＝t2·＝－4，可得t2＝2，所以ab＝1－t2＝－1.
（2）令x＝2－t，2y＝2＋t，t∈（－2，2），则＝＝2（ 1－），t2－4∈[－4，0），故≥2×（ 1－）＝，当且仅当t＝0，即x＝2，y＝1时取等号.
【例2】 （三个变量和为定值的均值代换设法）设实数x，y，z满足则当z为何值时，x2＋y2取最大值？最大值为多少？
解：由x＋y＝1－z，
设x＝＋t，y＝－t，
则xy＝（ ）2－t2＝z2－7z＋14，
整理得3z2－26z＋55＝－4t2≤0，
即（3z－11）（z－5）≤0，
解得≤z≤5，
且x2＋y2＝（x＋y）2－2xy
＝（z－1）2－2（z2－7z＋14）
＝－（z－6）2＋9，
当z＝5时，（x2＋y2）max＝8.
训练2 已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值为.
解析：由题意知b＋c＝－a，令b＝－＋t，c＝－－t，则a2＋（ －＋t）2＋（ －－t）2＝1，即＋2t2＝1，＝1－2t2≤1，故a2≤，－≤a≤.
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