方法10 三角代换
所谓三角代换，是指利用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，使题目得以突破的解题方法，其实质是换元思想，体现了“三角”是数学中的工具的特征，恰当地利用三角代换有助于培养学生联想和类比的能力.
当三角代换可应用于去根号或问题变换成三角形式易求解时，应利用已知代数式与三角知识中的某些联系进行换元.例如，求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0，1]，设x＝sin2θ，θ∈［0，］，问题就变成了熟悉的求三角函数值域；当变量x，y满足条件x2＋y2＝r2（r＞0）时，可进行三角代换x＝rcos θ，y＝rsin θ，化为三角问题.当变量x，y满足条件＋＝1（a＞b＞0）可用化为三角问题处理.
【例1】 （直接代换，三角计算）已知x2＋4y2＝4x，则x＋y的取值范围是[2－，2＋].
解析：已知式可变形为（x－2）2＋（2y）2＝4，令则θ∈[0，2π]，故x＋y＝2cos θ＋sin θ＋2＝sin（θ＋φ）＋2∈[2－，2＋]，其中，sin φ＝，cos φ＝.
训练1 （1）已知实数x，y满足x2＋y2＝5，则t＝4x2－5xy＋4y2的范围为（ ）
A.［－，］ B.［，］
C.［－，－］ D.[15，45]
解析：B 令θ∈[0，2π]，则t＝4x2－5xy＋4y2＝20－sin 2θ∈［，］.故选B.
（2）设△ABC的三个顶点在椭圆＋＝1（a＞b＞0）上，坐标原点O是△ABC的重心，求证：△ABC的面积为定值.
证明：令A（acos α，bsin α），B（acos β，bsin β），
则C（－a（cos α＋cos β），－b（sin α＋sin β）），
又点C在椭圆上，
代入得（cos α＋cos β）2＋（sin α＋sin β）2＝1，
即cos（α－β）＝－.
S△ABC＝3S△OAB＝ab｜sin（α－β）｜＝ab，为定值.
【例2】 （挖掘结构，三角代换）已知实数x，y满足4x2－5xy＋4y2＝5，求S＝x2＋y2的范围.
解：设代入4x2－5xy＋4y2＝5得4S－5Ssin αcos α＝5，
解得S＝.
因为－1≤sin 2α≤1，所以3≤8－5sin 2α≤13，
所以≤≤，所以S∈［，］.
训练2 已知实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，试求x2＋y2的最小值.
解：设x＝rcos θ，y＝rsin θ，
则r2（cos2θ＋2sin θcos θ）＝1 r2（＋sin 2θ）＝1 r2（＋sin（2θ＋φ））＝1 r2＝≥＝，
其中，sin φ＝，cos φ＝.
当且仅当sin（2θ＋φ）＝1时取等号.
【例3】 （三角代换，简化运算）设椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为原点.
（1）若直线AP和直线BP的斜率之积为－，求椭圆的离心率；
（2）若｜AP｜＝｜OA｜，证明直线OP的斜率k满足｜k｜＞.
解：设P（acos θ，bsin θ），A（－a，0），B（a，0）.
（1）由题知·＝－，即有＝，则e＝.
（2）证明：因为＝a，
可得a2cos2θ＋2a2cos θ＋b2sin2θ＝0，
则k2＝－－1.又由a2（cos2θ＋2cos θ）＝－b2sin2θ，a＞b，可以得到＝＞1，
即有－＜cos θ＜0，则k2＞3成立，故｜k｜＞成立.
训练3 函数y＝－的最值为最大值－1，最小值1－.
解析：由（）2＋（）2＝4，可设θ∈［，］，于是y＝2sin θ－2cos θ＝2sin（θ－），所以
2 / 2方法10 三角代换
所谓三角代换，是指利用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，使题目得以突破的解题方法，其实质是换元思想，体现了“三角”是数学中的工具的特征，恰当地利用三角代换有助于培养学生联想和类比的能力.
当三角代换可应用于去根号或问题变换成三角形式易求解时，应利用已知代数式与三角知识中的某些联系进行换元.例如，求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0，1]，设x＝sin2θ，θ∈［0，］，问题就变成了熟悉的求三角函数值域；当变量x，y满足条件x2＋y2＝r2（r＞0）时，可进行三角代换x＝rcos θ，y＝rsin θ，化为三角问题.当变量x，y满足条件＋＝1（a＞b＞0）可用化为三角问题处理.
【例1】 （直接代换，三角计算）已知x2＋4y2＝4x，则x＋y的取值范围是 .
训练1 （1）已知实数x，y满足x2＋y2＝5，则t＝4x2－5xy＋4y2的范围为（ ）
A.［－，］ B.［，］
C.［－，－］ D.[15，45]
（2）设△ABC的三个顶点在椭圆＋＝1（a＞b＞0）上，坐标原点O是△ABC的重心，求证：△ABC的面积为定值.
【例2】 （挖掘结构，三角代换）已知实数x，y满足4x2－5xy＋4y2＝5，求S＝x2＋y2的范围.
训练2 已知实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，试求x2＋y2的最小值.
【例3】 （三角代换，简化运算）设椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为原点.
（1）若直线AP和直线BP的斜率之积为－，求椭圆的离心率；
（2）若｜AP｜＝｜OA｜，证明直线OP的斜率k满足｜k｜＞.
训练3 函数y＝－的最值为 .
2 / 2
