方法11 倒置变换
所谓倒置变换，就是通过取倒数来改变代数式的结构，从而降低问题难度，简化解题过程，使较复杂的问题迎刃而解.
倒置变换的目的一般有三类：（1）将代数式转化为熟悉的式子，在解不等式时经常碰到；（2）均衡式子结构，在数列求通项时应用较多；（3）简化式子结构，经常应用于研究函数的性质.
在使用此方法时需注意以下两点：（1）考虑取倒数后分母是否可能为零，对于这种情况，先讨论取倒数前分子为零是否符合题意，当分子不为零时再取倒数；（2）考虑取倒数前后的式子是否等价，特别是不等式取倒数后，不等号是否要改变方向.
【例1】 （转为熟知）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝（n∈N*），则满足an＞的n的最大值为（ ）
A.7 B.8
C.9 D.10
训练1 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，n∈N*，求数列{an}的通项公式.
【例2】 （转化结构）求函数y＝（x＞1）的值域.
训练2 函数f（x）＝，x∈[0，2π]的值域为 .
【例3】 （简化结构）若关于x的方程kx2（x＋2）－｜x｜＝0有四个不同的实数根，求实数k的取值范围.
训练3 若关于x的方程kx2（x＋4）＋｜x｜＝0有三个不同的实数根，则实数k＝ .
1 / 1方法11 倒置变换
所谓倒置变换，就是通过取倒数来改变代数式的结构，从而降低问题难度，简化解题过程，使较复杂的问题迎刃而解.
倒置变换的目的一般有三类：（1）将代数式转化为熟悉的式子，在解不等式时经常碰到；（2）均衡式子结构，在数列求通项时应用较多；（3）简化式子结构，经常应用于研究函数的性质.
在使用此方法时需注意以下两点：（1）考虑取倒数后分母是否可能为零，对于这种情况，先讨论取倒数前分子为零是否符合题意，当分子不为零时再取倒数；（2）考虑取倒数前后的式子是否等价，特别是不等式取倒数后，不等号是否要改变方向.
【例1】 （转为熟知）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝（n∈N*），则满足an＞的n的最大值为（ ）
A.7 B.8
C.9 D.10
解析：C 因为an＋1＝，所以＝4＋，所以－＝4，又＝1，所以数列是以1为首项，4为公差的等差数列.所以＝1＋4（n－1）＝4n－3，所以an＝，由an＞，即＞，即0＜4n－3＜37，解得＜n＜10，因为n∈N*，所以n的最大值为9.故选C.
训练1 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，n∈N*，求数列{an}的通项公式.
解：由题意知an≠0，等式两边取倒数，
得＝＝＋1，即＋1＝2（＋1），
所以数列{＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
即＋1＝2n，所以an＝.
【例2】 （转化结构）求函数y＝（x＞1）的值域.
解：由题意知x－1≠0.
将y＝两边取倒数，得＝，
令t＝x－1，t＞0，则＝＝t＋＋4≥8，当且仅当t＝2时，等号成立，
得0＜y≤.
所以函数的值域为（0，］.
训练2 函数f（x）＝，x∈[0，2π]的值域为[－1，0].
解析：由题f（x）＝＝＝
＝
，
当x＝时sin x＝1，即f（x）＝0；当x≠时sin x≠1，即－1≤sin x＜1，上式两边取倒数得到＝＝
－＝
－＝－.令则m2＋n2＝1（m≠1），因为表示圆m2＋n2＝1上（除点（1，0）外）的动点P（m，n）与定点Q（1，1）连线的斜率，所以≥0，即≥1，故≤－1，即－1≤f（x）＜0，综上f（x）的值域为[－1，0].
【例3】 （简化结构）若关于x的方程kx2（x＋2）－｜x｜＝0有四个不同的实数根，求实数k的取值范围.
解：显然x＝0为方程的一个根.
当x≠0时，由kx2（x＋2）＝｜x｜约去｜x｜后，分离变量得k＝，
两边取倒数得＝（x＋2）｜x｜，根据函数y＝与y＝（x＋2）｜x｜（x≠0）的图象有三个交点，
可得0＜＜1，则k＞1.
故实数k的取值范围为（1，＋∞）.
训练3 若关于x的方程kx2（x＋4）＋｜x｜＝0有三个不同的实数根，则实数k＝－.
解析：显然x＝0为方程的一个根.当x≠0时，分离参数，约去｜x｜后取倒数，转化为函数y＝与y＝－（x＋4）｜x｜（x≠0）的图象有两个交点.数形结合可得＝－4，故k＝－.
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