方法13 累差累商
所谓累差迭加法，是指由形如a1＝a，an－an －1＝f（n）（n≥2）的递推关系求数列通项公式的一种方法；所谓累商迭乘法，是指由形如a1＝a，＝g（n）（n≥2）的递推关系求数列通项公式的一种方法.
利用累差迭加法、累商迭乘法来求解数学问题时，若呈现的递推关系是不等式关系，也可以利用构造法解决.已知形如a1＝a，an＋1－an＜f（n）的递推关系，则an＜a＋f（1）＋f（2）＋…＋f（n－1）；已知形如a1＝a，＜g（n）的递推关系，则an＜ag（1）g（2）…g（n－1）.
【例1】 （构造等差型）已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2×3n＋1，a1＝3，求数列{an}的通项公式.
解：an＋1＝3an＋2×3n＋1两边同除以3n＋1，得＝＋＋，
则－＝＋，故当n≥2时，
＝（－）＋（－）＋（－）＋…＋（－）＋＝（＋）＋（＋）＋（＋）＋…＋（＋）＋＝＋（＋＋＋…＋）＋1＝＋＋1＝＋－，
则an＝×3n＋×3n－（n≥2）.
当n＝1时，也满足上式.
综上，an＝×3n＋×3n－.
训练1 设数列{an}满足nan＋1－（n＋1）an＝（n∈N*），a1＝，则an＝（ ）
A. B.
C. D.
解析：C 由nan＋1－（n＋1）an＝，得－＝＝－.当n≥2时，－＝－，…，－＝－，由累差迭加法可得－a1＝－.因为a1＝，所以＝1－＝，所以an＝（n≥2）.当n＝1时，也满足上式.综上知an＝，故选C.
【例2】 （构造等比型）设数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且对于其中任意三个连续的项an－1，an，an＋1，都有an＝（n≥2），则{an}的通项公式an＝（ ）
A.3－ B.3＋
C.3n＋2 D.3n－2
解析：A 当n≥2时，an＝，则2nan＝（n－1）an－1＋（n＋1）an＋1，（n＋1）·（an＋1－an）＝（n－1）（an－an－1），所以＝.设bn＝an＋1－an，即＝，则··…·＝··…·，得＝，所以bn＝b1.因为b1＝a2－a1＝1，所以bn＝（n≥2）.当n＝1时，也满足上式，所以bn＝.an＋1－an＝bn＝＝2（－）.（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＝2（－＋－＋…＋1－）＝2（1－），即an－a1＝2（1－），则an＝3－（n≥2）.当n＝1时，也满足上式，所以an＝3－.
训练2 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝，a1＝1，n∈N*，则{an}的通项公式为an＝（ ）
A.n B.2n－1
C.3n－2 D.－2n＋3
解析：B 因为an＋1＝，所以（2n－1）an＋1＝4Sn－1 ①，（2n－3）an＝4Sn－1－1（n≥2） ②，
①－②得（2n－1）an＋1－（2n－3）an＝4an，整理得＝（n≥2），则an＝···…···a1＝···…···1＝2n－1（n≥2）.当n＝1时，也满足上式.所以an＝2n－1，故选B.
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所谓累差迭加法，是指由形如a1＝a，an－an －1＝f（n）（n≥2）的递推关系求数列通项公式的一种方法；所谓累商迭乘法，是指由形如a1＝a，＝g（n）（n≥2）的递推关系求数列通项公式的一种方法.
利用累差迭加法、累商迭乘法来求解数学问题时，若呈现的递推关系是不等式关系，也可以利用构造法解决.已知形如a1＝a，an＋1－an＜f（n）的递推关系，则an＜a＋f（1）＋f（2）＋…＋f（n－1）；已知形如a1＝a，＜g（n）的递推关系，则an＜ag（1）·g（2）…g（n－1）.
【例1】 （构造等差型）已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2×3n＋1，a1＝3，求数列{an}的通项公式.
训练1 设数列{an}满足nan＋1－（n＋1）an＝（n∈N*），a1＝，则an＝（ ）
A. B.
C. D.
【例2】 （构造等比型）设数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且对于其中任意三个连续的项an－1，an，an＋1，都有an＝（n≥2），则{an}的通项公式an＝（ ）
A.3－ B.3＋
C.3n＋2 D.3n－2
训练2 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝，a1＝1，n∈N*，则{an}的通项公式为an＝（ ）
A.n B.2n－1
C.3n－2 D.－2n＋3
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