方法15 模型法
模型法在高中数学中分为两个层面：其一是在实际问题中，通过分析数据、观察特征，进行抽象、构建，得到函数、数列、排列组合或统计与概率的模型，转而用数学的方法来解决问题；其二是在具体的数学问题中，追根溯源，发现背景，将问题归结为一个或者多个基本模型，这就需要在平时学习中及时总结模型，用对应的策略来处理.
【例1】 （从实际问题中抽象模型）A地组织物流企业的汽车运输队由高速公路向B地运送物资.已知A地距离B地500 km.设车队从A地匀速行驶到B地，高速公路限速为60～110 km/h.车队每小时运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v（单位：km/h）的立方成正比，比例系数为b，固定部分为a元.若b＝，a＝104，为了使全程运输总成本最低，车队的速度v应为100 km/h.
解析：由题意知，总成本f（v）是关于速度v的函数，总成本＝每小时运输成本×时间，分别将每小时运输成本、时间表示为a＋bv3，，则f（v）＝（a＋bv3）＝（ 104＋v3）＝＋（60≤v≤110），由f'（v）＝－＋5v知f（v）在（60，100）上单调递减，在（100，110）上单调递增，故当v＝100 km/h时总成本最低.
训练1 风车发电是指把风的动能转化为电能.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为.现有一座风车，塔高60米，叶片长度为30米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且6秒旋转一圈，风车开始旋转时，某叶片的一个端点P在风车的最低点（P离地面30米），设点P离地面的距离为S（米），转动时间为t（秒），则S与t之间的函数解析式为S＝60－30cost（t＞0），一圈内点P离地面的高度不低于45米的时长为4秒.
解析：因为风车6秒旋转一圈，则其转动的角速度为 rad/s，经过t秒时，叶片转过的圆心角为t，此时离地面的高度为30＋30（ 1－cost），故S＝60－30cost（t＞0）.由S＝60－30cost≥45，得cost≤，因为0≤t≤6，cost≤，所以≤t≤，解得1≤t≤5，故一圈内点P离地面的高度不低于45米的时长为4秒.
【例2】 （从几何对称中发现模型）有一种制作正二十面体的方法：如图1，先制作三张一样的黄金矩形ABCD，然后从长边CD的中点E出发，沿着与短边平行的方向剪开一半，即OE＝AD，再沿着与长边AB平行的方向剪出相同的长度，即OF＝OE，将这三个矩形穿插两两垂直放置，如图2，连接所有顶点即可得到一个正二十面体，如图3.若黄金矩形的短边长为4，则按如上方法制作的正二十面体的表面积为80，其外接球的表面积为（40＋8）π.
解析：由题图知，正二十面体的表面是20个全等的等边三角形，正二十面体的棱长为矩形的短边长，即棱长为4，所以正二十面体的表面积为×42×20＝80.设矩形的长边长为2y，由＝得到矩形的长边长2y＝2＋2.根据对称性可知，外接球的球心在三个黄金矩形的对角线交点处，所以外接球的直径是黄金矩形的对角线长.设外接球半径为R，则2R＝＝，所以外接球的表面积为4πR2＝（40＋8）π.
训练2 已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O-ABC的体积为（ ）
A. B.
C. D.
解析：A 取AB的中点O'（如图），由等腰直角三角形的性质可知△ABC的外接圆圆心为O'.由于点A，B，C均在球O上，故O'O⊥平面ABC，即O'O为三棱锥O-ABC的底面ABC上的高，在△O'AO中，O'O＝＝＝，故三棱锥的体积V＝S△ABC·O'O＝××1×1×＝.故选A.
【例3】 （从圆锥曲线中巧用模型）已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上（不同于点A，B），△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为.
解析：如图，不妨设双曲线方程为－＝1（a＞0，b＞0），取AM的中点K，因为OK∥BM，所以kAM·kBM＝kAM·kOK.对双曲线上任意两点（x1，y1），（x2，y2），有①－②，得－＝0，此处取A（x1，y1），M（x2，y2），则K（ ，），故kAM·kOK＝·＝.由等腰三角形的几何性质知kAM＝tan 30°，kBM＝kOK＝tan 60°，可知＝kAM·kBM＝1，故离心率e＝.
训练3 已知椭圆＋y2＝1，P是椭圆的上顶点，过点P作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于另一点A，设点A关于原点的对称点为B，线段PB的中垂线与y轴交于点N，若点N在椭圆内部，求斜率k的取值范围.
解：由模型法可知kPA·kPB＝e2－1＝－.
设直线PA的斜率为k，
则直线PB：y＝－x＋1，
联立椭圆方程得B（ ，），
PB的中点M（ ，），
从而PB的中垂线方程为：
y－＝4k（ x－）.
令x＝0，得yN＝－.
由点N在椭圆内得k∈（ －，0）∪（ 0，）.
3 / 3方法15 模型法
模型法在高中数学中分为两个层面：其一是在实际问题中，通过分析数据、观察特征，进行抽象、构建，得到函数、数列、排列组合或统计与概率的模型，转而用数学的方法来解决问题；其二是在具体的数学问题中，追根溯源，发现背景，将问题归结为一个或者多个基本模型，这就需要在平时学习中及时总结模型，用对应的策略来处理.
【例1】 （从实际问题中抽象模型）A地组织物流企业的汽车运输队由高速公路向B地运送物资.已知A地距离B地500 km.设车队从A地匀速行驶到B地，高速公路限速为60～110 km/h.车队每小时运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v（单位：km/h）的立方成正比，比例系数为b，固定部分为a元.若b＝，a＝104，为了使全程运输总成本最低，车队的速度v应为 km/h.
训练1 风车发电是指把风的动能转化为电能.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为.现有一座风车，塔高60米，叶片长度为30米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且6秒旋转一圈，风车开始旋转时，某叶片的一个端点P在风车的最低点（P离地面30米），设点P离地面的距离为S（米），转动时间为t（秒），则S与t之间的函数解析式为 ，一圈内点P离地面的高度不低于45米的时长为 秒.
【例2】 （从几何对称中发现模型）有一种制作正二十面体的方法：如图1，先制作三张一样的黄金矩形ABCD，然后从长边CD的中点E出发，沿着与短边平行的方向剪开一半，即OE＝AD，再沿着与长边AB平行的方向剪出相同的长度，即OF＝OE，将这三个矩形穿插两两垂直放置，如图2，连接所有顶点即可得到一个正二十面体，如图3.若黄金矩形的短边长为4，则按如上方法制作的正二十面体的表面积为 ，其外接球的表面积为 .
训练2 已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O-ABC的体积为（ ）
A. B. C. D.
【例3】 （从圆锥曲线中巧用模型）已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上（不同于点A，B），△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为 .
训练3 已知椭圆＋y2＝1，P是椭圆的上顶点，过点P作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于另一点A，设点A关于原点的对称点为B，线段PB的中垂线与y轴交于点N，若点N在椭圆内部，求斜率k的取值范围.
2 / 2
