方法3 正难则反
正难则反是数学解题的重要方法及技巧.当一些问题正面解决比较繁杂，或需要考虑的因素多，或解题思路不明朗时，可以考虑其对立面，即从问题的反面出发破解问题.
【例1】 （正难则反）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有2位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A.360 B.288
C.216 D.96
训练1 有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（ ）
A.234 B.346
C.350 D.363
【例2】 （补集思想）若二次函数f（x）＝4x2－2（p－2）x－2p2－p＋1在区间[－1，1]内至少存在一个值c，使得f（c）＞0，则实数p的取值范围为 .
训练2 若“ x∈（0，π），sin 2x－ksin x＜0”为假命题，则k的取值范围为（ ）
A.（－∞，－2] B.（－∞，2]
C.（－∞，－2） D.（－∞，2）
【例3】 （反证法）设整数集合A＝{a1，a2，…，a100}，其中1≤a1＜a2＜…＜a100≤205.已知对于任意i，j（1≤i≤j≤100），若i＋j∈A，则ai＋aj∈A.证明：任意x∈{101，102，…，200}，x A.
训练3 已知△ABC为锐角三角形，SA⊥平面ABC，点A在平面SBC内的射影为H.求证：H不是△SBC的垂心.
1 / 1方法3 正难则反
正难则反是数学解题的重要方法及技巧.当一些问题正面解决比较繁杂，或需要考虑的因素多，或解题思路不明朗时，可以考虑其对立面，即从问题的反面出发破解问题.
【例1】 （正难则反）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有2位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A.360 B.288
C.216 D.96
解析：B 6位同学站成一排，3位女生中有且只有2位女生相邻的排法有＝432种，其中男生甲站两端的有＝144种，符合条件的排法共有432－144＝288种，故选B.
训练1 有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（ ）
A.234 B.346
C.350 D.363
解析：B －17－－＝346.故选B.
【例2】 （补集思想）若二次函数f（x）＝4x2－2（p－2）x－2p2－p＋1在区间[－1，1]内至少存在一个值c，使得f（c）＞0，则实数p的取值范围为.
解析：如果在区间[－1，1]内没有值满足f（c）＞0，则
p≤－3或p≥，取补集为－3＜p＜，即为满足条件的p的取值范围，故实数p的取值范围为.
训练2 若“ x∈（0，π），sin 2x－ksin x＜0”为假命题，则k的取值范围为（ ）
A.（－∞，－2] B.（－∞，2]
C.（－∞，－2） D.（－∞，2）
解析：A 依题意知，命题“ x∈（0，π），sin 2x－ksin x＜0”为假命题，则“ x∈（0，π），sin 2x－ksin x≥0”为真命题，所以2sin xcos x≥ksin x，则k≤2cos x，解得k≤－2，所以k的取值范围为（－∞，－2].
【例3】 （反证法）设整数集合A＝{a1，a2，…，a100}，其中1≤a1＜a2＜…＜a100≤205.已知对于任意i，j（1≤i≤j≤100），若i＋j∈A，则ai＋aj∈A.证明：任意x∈{101，102，…，200}，x A.
证明：假设存在x0∈{101，102，…，200}，且x0∈A.记x0＝100＋s（1≤s≤100），因为100＋s∈A，所以a100＋as∈A，这与a100是最大值矛盾，所以假设不成立，因此任意x∈{101，102，…，200}，x A.
训练3 已知△ABC为锐角三角形，SA⊥平面ABC，点A在平面SBC内的射影为H.求证：H不是△SBC的垂心.
证明：假设H是△SBC的垂心.如图，连接BH并延长，交SC于点D，则BD⊥SC，
由于点A在平面SBC内的射影为H，所以AH⊥SC，又BD∩AH＝H，BD，AH 平面ABH，所以SC⊥平面ABH，
又AB 平面ABH，所以AB⊥SC，而AB⊥SA，SA∩SC＝S，SA，SC 平面SAC，所以AB⊥平面SAC，
又AC 平面SAC，所以AB⊥AC，这与△ABC为锐角三角形相矛盾，所以H不是△SBC的垂心.
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