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2026年中考数学一轮复习精讲精练
模块六 圆
专题4 与圆有关的位置关系
【考点一】点和圆的位置关系
已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：
位置关系 图形 定义 性质及判定
点在圆外 点在圆的外部 d > r 点P在圆外
点在圆上 点在圆周上 d = r 点P在圆上
点在圆内 点在圆的内部 d < r 点P在圆内
【说明】掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系．
【考点二】直线和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系 图形 公共点个数 性质及判定
相离 没有公共点 d > r直线l与⊙O相离
相切 有唯一公共点 d = r直线l与⊙O相切
相交 有两个公共点 d < r直线l与⊙O相交
【小技巧】判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．
【考点三】圆和圆之间的位置关系
设⊙O1、⊙O2的半径分别为r、R（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表：
位置关系 图形 公共点个数 性质及判定
外离 无 两圆外离
外切 1个切点 两圆外切
相交 两个交点 两圆相交
内切 1个切点 两圆内切
内含 无 两圆内含
两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.
【考点四】切线的性质与判定
定义 线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点．
性质 圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线．）
解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中作辅助线的一种方法）．根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计算或证明．
判定 1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线. 2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切. 3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
常见辅助线作法：判定一条直线是圆的切线时， 1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”； 3）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”．
【考点五】切线长定理
定义 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
切线长定理的应用问题解题方法：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解．
【题型一】判断点和圆的位置关系
◇典例1：
如图，已知⊙O及其所在平面内的4个点．如果半径为5，那么到圆心O距离为7的点可能是（ ）
A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点
【答案】C
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，根据点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
【详解】解：∵半径为5，
∴，，，，
∴到圆心O距离为7的点为点，
故选：C．
◆变式训练
1.已知的半径是4，，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴点P到圆心的距离小于的半径，
∴点P在圆内，
故选：B．
【题型二】根据点和圆的位置关系求半径
◇典例2：
下列命题正确的是（ ）
A．朱自清的《春》中，“雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着…”，其中“雨像细丝”说明“两点确定一条直线”
B．在平面直角坐标系中，若点与点关于y轴对称，则点在第二象限
C．若点P到的最大距离为8，最小距离为2，则的半径为5
D．甲、乙两人参加禁毒知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则甲的成绩比乙的稳定
【答案】B
【分析】本题考查了平面直角坐标系点的对称性，点与圆的位置关系，方差，熟练掌握知识点是解题的关键．
A、其中“雨像细丝”说明“点动成线”；B、根据关于y轴的对称点横坐标为互为相反数，纵坐标不变求解；C、分类讨论，点在圆外或圆内；D、根据方差越小，成绩越稳定确定．
【详解】解：A、其中“雨像细丝”说明“点动成线”，而不是“两点确定一条直线”，故本选项不符合题意；
B、点与点关于y轴对称，则，
解得：，
∴点即在第二象限，故本选项符合题意；
C、若点P到⊙O的最大距离为8，最小距离为2，
则当点在圆内时，半径为
当点在圆外时，半径为，
故本选项不符合题意；
D、∵，，
∴，
∴乙的成绩比甲的稳定，故本选项不符合题意．
故选：B．
◆变式训练
1.如图，线段，点为的中点，动点到点的距离是1，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长度的最大值是（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】以为斜边向上作等腰直角，连接，．利用相似三角形的性质证明，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，根据，可得结论．
【详解】解：以为斜边向上作等腰直角，连接，．
，
，
是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
∴
，同理，
，，
，
，
，
，
点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，
，
，
故线段长度的最大值为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，点与圆的位置关系，三角形三边关系，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
2.在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点到圆上最大距离、最小距离的认识．
点在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差，即可求解．
【详解】解：由题意得，P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，
∴圆的直径是，因而半径是，
故选：B．
【题型三】判断直线与圆的位置关系
◇典例3：
的三边，，的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形面积公式、直线与圆的位置关系，先由勾股定理逆定理判断出为直角三角形，且，设斜边上的高为，根据等面积法求出，即可得解．
【详解】解：∵，
∴为直角三角形，且，
设斜边上的高为，则，
∴，
∴以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是相切，
故选：C．
◆变式训练
1.“光盘行动”倡导厉行节约，反对铺张浪费，带动大家珍惜粮食，如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
【答案】B
【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意∶已知O的半径为r，如果圆心O到直线的距离是d，当时，直线和圆相离，当时，直线和圆相切，当时，直线和圆相交．
【详解】解：把餐盘看成圆形的半径，餐盘的圆心到筷子看成直线l的距离为d．
∴，
∴直线和圆相交，
故选∶B．
【题型四】根据直线与圆的位置关系求半径
◇典例4：
在直角三角形中，，，，以点C为圆心作，半径为，已知直线和有交点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，作于D，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，可得以C为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，即可得直线和有交点， 的取值范围．
【详解】解：作于D，如图所示：
∵，
∴，
∵的面积，
∴，即圆心C到的距离，
∴以C为圆心的⊙C与直线有交点，则的取值范围是：．
故选：D．
◆变式训练
1.在平面直角坐标系中，⊙O的圆心为坐标原点，半径为3，若直线与⊙O始终有交点，则b的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了直线与圆的关系的综合，解题的关键是根据题意找到直线与圆相切时b的值．
求出直线与圆相切时，函数经过一、二、四象限和当直线与圆相切时，函数经过二、三、四象限b的值，则b的值在相交时与相切时两个b之间．
【详解】解：当直线与圆相切时，函数经过一、二、四象限，如图所示：
在中，令，则，即与y轴的交点为，
令， 则，即与x轴的交点为，
∴，
连接圆心O与切点C，则，，
∵，
∴ ，
∴
同理当直线与圆相切时且函数经过二、三、四象限， ，
综上所述： 当直线与圆相交时，b的取值范围是 ；
故选：C．
2.已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作．若对于符合条件的任意实数k，一次函数的图像与总有两个公共点，则r的最小值为 ．
【答案】2
【分析】由的图像经过第一、二、四象限，可知，由过定点，可知当圆经过时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点，进而可得r的最小值是2．
【详解】解：∵的图像经过第一、二、四象限，
∴，随的增大而减小，
∵过定点，
∴当圆经过时，由于直线呈下降趋势，因此必然与圆有另一个交点，
∴r的临界点是2，
∴r的最小值是2，
故答案为：2．
【题型五】根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离
◇典例5：
如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线和圆的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系，得到答案．
【详解】解：根据题意，得圆必须和直线相交，设直线和圆相切于点E，
连接，则，，
又∵，
∴此时．
根据梯形的中位线定理，得 ，
∴，
∴，
∴直线要和圆相交，则．
故选D．
◆变式训练
1.如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ．
【答案】/
【分析】根据平行四边形的性质得到，，，由折叠性质得到，进而得到点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即此时面积的最小，过C作于N，根据平行线间的距离处处相等得到，故只需利用锐角三角函数求得即可求解．
【详解】解：∵在中，，，
∴，，则，
∵E为边的中点，
∴，
∵沿翻折得，
∴，
∴点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即面积的最小，
过C作于N，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴面积的最小值为，
故答案为：．
2.如图，平面直角坐标系中，圆心在x轴上的与同时与纵轴相切．，直线l：交x轴于点B．记B点的横坐标为，与的组合图形记为曲线M．若直线l：与曲线M至少有4个不同的公共点，则的取值范围为 ．
【答案】且
【分析】根据直线l：与曲线M至少有4个不同的公共点，利用一次函数平移，数形结合的思想找到临界点，解直角三角形，求出直线与坐标轴的交点，即可解答．
【详解】解：如图，设直线与y轴交于点H，
当时，则，当时，则，
，
，
，
，
，
如图，当直线与切与点时，连接，
此时，直线l：与曲线M有3个不同的公共点，且，
，
，则此时点B与点C重合，
；
当直线经过原点O时，此时，，直线l：与曲线M有3个不同的公共点，
如图，当直线与切与点时，连接，
同理，此时，点B与点A重合，直线l：与曲线M有3个不同的公共点，且，，
，
综上，直线l：与曲线M至少有4个不同的公共点，且，
故答案为：且．
【题型六】求圆平移到与直线相切时圆心坐标
◇典例6：
如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作，当与直线AB相切时，点P的坐标是（）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【分析】由题意根据函数解析式求得A（-4，0），B（0，-3），得到OA=4，OB=3，根据勾股定理得到AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4，
∴A（-4，0），B（0，-3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
设⊙P与直线AB相切于D，
连接PD，
则PD⊥AB，PD=1，
∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，
∴△APD∽△ABO，
∴，
∴，
∴AP=，
∴OP=或OP=，
∴P或P，
故选：B．
◆变式训练
1.如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】当⊙与直线只有一个公共点时，则此时⊙A与直线相切，（需考虑左右两侧相切的情况）；设切点为，此时点同时在⊙A与直线上，故可以表示出点坐标，过点作，则此时，利用相似三角形的性质算出长度，最终得出结论．
【详解】如下图所示，连接，过点作，
此时点坐标可表示为，
∴，，
在中，，
又∵半径为5，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，
∴，
∵左右两侧都有相切的可能，
∴A点坐标为，
故选：D．
【题型七】求圆平移到与直线相切时运动距离
◇典例7：
如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心的坐标为（-3，0），将圆沿轴的正方向平移，使得圆与轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．3或6 C．3 D．1或5
【答案】D
【分析】分圆P在y轴的左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答即可求得．
【详解】解：根据题意可得：OP=3，圆P的半径为2，
当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3-2=1，
当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5，
故圆与轴相切，则平移的距离为1或5，
故选：D．
◆变式训练
1.如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为 时，与直线相切．
【答案】或
【分析】在射线上或在射线上，设对应的圆的圆心分别在M，根据切线的性质，在中，根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得的长，进而求得的长，从而求得由P到M移动的时间；根据，即可求得，也可以求得由P到M移动的时间．
【详解】解：当在射线上，设与相切于点E，P移动到M时，连接．
∵与直线相切，
∴，
∵在中，，，
∴，
则，
∵以的速度沿由A向B的方向移动，
∴移动时与直线相切．
当在射线上时，同理可求移动时与直线相切．
故答案为：或．
2.圆能够帮助我们解决很多问题，例如角的转换、点的轨迹等等，我们常常通过定角、定长来构造圆．在同一平面内，直线与直线交于点O，点A、B分别在直线、上运动，点C是该平面上任意一点，且A、B、C三点为顺时针走向，已知．
(1)如图1，若，，①写出以为直径的圆与直线交点个数；②求的最大值；
(2)如图2，若，，求的最大值．
【答案】(1)①当时，交点个数为1；当时，交点个数为2；②
(2)6
【详解】（1）解：①如图，过点作且，连接、、，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在以为直径的圆上；
设中点为，以为直径的圆记为，
，
点在上，
又点在直线上，
与直线至少有1个交点，
设与直线只有1个交点，即与直线相切，则有，
，
点在上，
点为与的交点，
，
，
又，，
，
，
点也是的中点，四边形是矩形，
，，
设中边的高为，则，
，
是中边的高，即，
四边形是正方形，
，
又，，
四边形为边长为2正方形，
，
当时，与直线相切；当时，与直线相交．
综上所述，当时，以为直径的圆与直线交点个数为1；当时，以为直径的圆与直线交点个数为2．
②由①中的结论可得，点在以为直径的圆上，
设的中点为，则，
，
，
，
的最大值为．
（2）解：在平面上取点使得且，作于点，连接、，
，
，，
，
，，
于点，
，
在中，，
；
作的外接圆，记圆心为，作于点，连接、、、，则，
，，
，，，
，
在中，，
，
的半径为，
在中，，
，
，
的最大值为6．
【题型八】圆和圆的位置关系
◇典例8：
如图，奥运五环标志里，包含了圆与圆位置关系中的（ ）
A．相切，内含 B．外切，内含 C．外离，相交 D．相切，相交
【答案】C
【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，掌握圆的五种位置关系成为解题的关键．
根据圆与圆的五种位置关系的定义即可解答．
【详解】解：观察图形即可求得包含了圆与圆位置关系中的外离和相交．
故选C．
◆变式训练
1.在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（ ）
A．内含 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】B
【分析】本题考查圆的位置关系，涉及勾股定理，根据题意，作出图形，数形结合，即可得到答案，熟记圆的位置关系是解决问题的关键．
【详解】解：圆半径为1，圆半径为3，圆与圆内切，
圆含在圆内，即，
在以为圆心、为半径的圆与边相交形成的弧上运动，如图所示：
当到位置时，圆与圆圆心距离最大，为，
，
圆与圆相交，
故选：B．
2.两圆的半径分别为和，且两圆的圆心距为，则这两圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．相离
【答案】B
【分析】本题利用了两圆外切时，圆心距等于两圆半径的和的性质求解．根据圆心距和圆的半径之间的数量关系，可以判断出两圆的位置关系．设两圆的半径分别为和，且，圆心距为：外离，则；外切，则；相交，则；内切，则；内含，则．
【详解】解：两圆的半径分别为和，且两圆的圆心距为，
，
由于两圆外切时，圆心距等于两圆半径的和，
两圆外切．
故选：B
【题型九】判断或补全使直线成为切线的条件
◇典例9：
如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （ ）
A． B．
C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径
【答案】D
【分析】本题考查了切线的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．根据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”逐项进行判断即可．
【详解】解：是的直径，且是的切线
又
直线与相切
故选项A、B可以判定，不符合题意；
C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意；
D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意；
故选：D．
◆变式训练
1.如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（ ）
A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线
C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则
【答案】A
【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确；
若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确；
根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确；
若，没有理由可证明DE是⊙O的切线．
【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴CD=BD，
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确；
当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴CD∥BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，所以D选项正确；
当CD=BD时，又AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确．
若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误．
故选：A．
【题型十】利用切线的性质求解
◇典例10：
如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出，有圆的切线定理可得出，由直角三角形两锐角互余即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴．
∵以为直径的与相切于点A，
∴，
∴．
故选：D．
◆变式训练
1.如图所示，在平面中和分别与直线相切，的直径为4，的直径为6，做直线与相切于点A且平行于直线l，直线与相切于点B且平行于直线l，若线段与直线的夹角恰为，则两圆心的距离是（ ）
A．9 B． C． D．10
【答案】C
【分析】本题考查切线的性质，勾股定理，解直角三角形，连接并延长交直线l于点C，连接并延长交直线l于点D，过点A作于点E，过点P作于点F，连接，则有、是矩形，先根据正切的定义求出长，然后利用勾股定理求出PQ长解题．
【详解】解：连接并延长交直线l于点C，连接并延长交直线l于点D，过点A作于点E，过点P作于点F，连接，
根据题意可得，，，
∴、是矩形，
∴，
∴，
又∵线段与直线的夹角恰为，
∴，
∴，
又∵，，
∴
∴，
故选：C．
2.如图，是的切线，切点为，点在上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键．
根据圆的内接四边形的性质得，即可求出，由切线长定理得，即可求得结果．
【详解】解：连接，则，
又∵，
∴，
又∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【题型十一】证明某条直线时圆的切线
◇典例11：
）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
（2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
是的直径，
，
，
又，
，
又．
，即，
是的切线；
（2）解：，，
，
在中，，，
，则，
，
，，
，
，
设，则，，
，即，解得或（舍去），
．
◆变式训练
1.如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，．
(1)求证：与相切；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）证明，即可证明是的切线；
（2）连接，先计算，再计算，后得到解答即可．
本题考查了切线的证明，圆周角定理，三角形函数的应用，熟练掌握切线的判定定理，三角函数的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：所对的弧是同弧
，
，
，
即，
为直径，
，
，
，
，
，
与相切．
（2）解： 连接
所对的弧是同弧，
，
为直径，
，
在中，，
，
，
．
2.如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）连接，可得，得到，即得，即可求证；
（）设的半径为，则，在中由勾股定理得，可得，即得，得到，进而得到，最后利用弧长公式即可求解．
【详解】（1）证明：连接，则，
，，
，
，
．
是的半径，
是的切线；
（2）解：设的半径为，则，
∵，
∴，
在中，，
，
解得，
，
，
，
，
的长为．
【题型十二】利用切线的性质定理证明
◇典例12：
如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．
(1)求证：∠ADE=∠PAE．
(2)若∠ADE=30°，求证：AE=PE．
(3)若PE=4，CD=6，求CE的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)CE的长为2．
【分析】（1）连接OA，根据切线的性质得到∠OAE+∠PAE=90°，根据圆周角定理得到∠OAE+∠DAO=90°，据此即可证明∠ADE=∠PAE；
（2）由（1）得∠ADE=∠PAE =30°，∠AED =60°，利用三角形外角的性质得到∠APE=∠AED-∠PAE =30°，再根据等角对等边即可证明AE=PE；
（3）证明Rt△EAC∽Rt△ADC，Rt△OAC∽Rt△APC，推出DC×CE=OC×PC，设CE=x，据此列方程求解即可．
【详解】（1）证明：连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，
∴∠OAE+∠PAE=90°，
∵DE为⊙O的直径，
∴∠DAE=90°，即∠OAE+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠PAE，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADE，
∴∠ADE=∠PAE；
（2）证明：∵∠ADE=30°，
由（1）得∠ADE=∠PAE =30°，∠AED=90°-∠ADE=60°，
∴∠APE=∠AED-∠PAE =30°，
∴∠APE=∠PAE =30°，
∴AE=PE；
（3）解：∵PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交AB于点C．
∴AB⊥PD，
∵∠DAE=90°，∠OAP=90°，
∴∠DAC+∠CAE=90°，∠OAC+∠PAC=90°，
∵∠DAC+∠D=90°，∠OAC+∠AOC=90°，
∴∠CAE=∠D，∠PAC=∠AOC，
∴Rt△EAC∽Rt△ADC，Rt△OAC∽Rt△APC，
∴
∴AC2=DC×CE，AC2=OC×PC，
即DC×CE=OC×PC，
设CE=x，则DE=6+x，OE=3+，OC=3+-x=3-，PC=4+x，
∴6x=(3-)( 4+x)，
整理得：x2+10x-24=0，
解得：x=2(负值已舍)．
∴CE的长为2．
◆变式训练
1.如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点．
(1)求证：与相切．
(2)若正方形的边长为，求的半径．
(3)如图2，在（2）的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）方法一：连接，过点作于点，四边形是正方形，是正方形的对角线，得出，进而可得为的半径，又，即可得证；
方法二：连接，过点作于点，根据正方形的性质证明得出，同方法一即可得证；
方法三：过点作于点，连接．得出四边形为正方形，则，同方法一即可得证；
（2）根据与相切于点，得出，由（1）可知，设，在中，勾股定理得出，在中，勾股定理求得，进而根据建立方程，解方程，即可求解．
（3）方法一：连接，设，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，结合题意得出，即可得出；
方法二：连接，证明得出，进而可得，同理可得
方法三：连接，证明得出，设，则，进而可得，进而同方法一，即可求解．
【详解】（1）方法一：证明：连接，过点作于点，
与相切于点，
．
四边形是正方形，是正方形的对角线，
，
，
为的半径，
为的半径，
，
与相切．
方法二：
证明：连接，过点作于点，
与相切于点， ，
，
四边形是正方形，
，
又 ，
，
，
为的半径，
为的半径，
，
与相切．
方法三：
证明：过点作于点，连接．
与相切，为半径，
，
，
，
，
又四边形为正方形，
，
四边形为矩形，
又为正方形的对角线，
，
，
矩形为正方形，
．
又为的半径，
为的半径，
又 ，
与相切．
（2）解：为正方形的对角线，
，
与相切于点，
，
由（1）可知，设，
在中，
，
，
， ，
又正方形的边长为．
在中，
，
，
，
．
∴的半径为．
（3）方法一：
解：连接，设，
，
，
，
．
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
又 ，
．
．
方法二：
解：连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
方法三：
解：连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
．
又 ，
，
．
2.已知的半径为5，是上两定点，点是上一动点，且的平分线交于点．
(1)证明：点为上一定点；
(2)过点作的平行线交的延长线于点．
①判断与的位置关系，并说明理由；
②若为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)①与相切，理由见解析；②的取值范围为．
【分析】（1）由的平分线交于点，，可得，结合是上两定点，可得结论；
（2）①如图，连接，证明，结合，可得，从而可得结论；
②分情况讨论：如图，当时，可得；如图，连接，当，可得，从而可得答案．
【详解】（1）证明：∵的平分线交于点，，
∴，
∴，
∵是上两定点，
∴点为的中点，是一定点；
（2）解：①如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
②如图，当时，
∴为直径，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴；
如图，连接，当，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当为锐角三角形，的取值范围为．
【题型十三】切线的性质与判定的综合运用
◇典例13：
如图，在中，，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，连接，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OD．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切线的判定定理可得结论；
（2）根据等边三角形的判定与性质可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角形及三角形内角和定理可得∠BOD的度数，最后根据弧长公式可得答案．
【详解】（1）证明：连接OD．
∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC．
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠BDO．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∴∠ADC+∠BDO＝90°．
∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵AC＝CD，∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形．
∴∠ACD＝60°．
∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．
在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCOtan30°＝2．
∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B＝30°．
∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°．
∴的长．
◆变式训练
1.如图，已知AC为的直径，直线PA与相切于点A，直线PD经过上的点B且，连接OP交AB于点M．求证：
(1)PD是的切线；
(2)
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接OB，由等边对等角及直径所对的圆周角等于90°即可证明；
（2）根据直线PA与相切于点A，得到，根据余角的性质得到，继而证明，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）连接OB，
，
，
AC为的直径，
，
，
，
，
PD是的切线；
（2）直线PA与相切于点A，
，
∵PD是的切线，
，
，
，
，
，
．
2.如图，内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作，交直线于点，交于点．
(1)求证：平分；
(2)若，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）连接，根据切线的性质定理得到，根据平行线的判定定理得到，得到，得到，即可得到结论；
（2）证明，求出，证明，求出．
【详解】（1）证明：连接，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
平分．
（2）解：，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【题型十四】应用切线长定理求解
◇典例14：
如图，是切线，B、C是切点，点P是上一点，且，则 °．
【答案】40
【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．根据切线的性质得到，利用圆周角定理计算的度数．再利用四边形的内角和计算出．
【详解】解：连接，在优弧上取点G，连接，
∵是的两条切线，B、C是切点，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴，
故答案为：40．
◆变式训练
1.粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，是粒子真空室，是两个加速电极，高速飞行的粒子在点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过时被加速，达到一定的速度在点引出，粒子注入和引出路径都与相切．已知：，粒子注入路径与夹角．
(1)求的度数；
(2)通过计算，求粒子在环形运动过程中，粒子到的最远距离（相关数据：）．
【答案】(1)53°
(2)粒子到的最远距离是
【分析】本题考查的是切线长定理的应用，垂径定理的应用，解直角三角形的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键；
（1）延长交于，根据切线长定理可得答案；
（2）如图，过点作于点，延长交于点，连接，则此时当粒子运动到点时，离的距离最远，再结合垂径定理与解直角三角形可得答案．
【详解】（1）解：延长交于，
由题意得：是的切线，
，
；
（2）解：如图，过点作于点，延长交于点，连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
如图，当粒子运动到点时，离的距离最远，
，即粒子到的最远距离是
2.如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，．
(1)若，求的度数；
(2)找出图中所有与相等的线段，并证明；
(3)若，，求的周长．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)30
【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可；
（2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论；
（3）过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和和切线长定理得到，，，利用解直角三角形求得， ，进而可求解．
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴，又，
∴，
∵四边形是内接四边形，
∴，
∴；
（2）解：，
证明：连接，
∵点I为的内心，
∴，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，
∵点I为的内心，即为的内切圆的圆心．
∴Q、F、P分别为该内切圆与三边的切点，
∴，，，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴的周长为
．
【题型十五】应用切线长定理求证
◇典例15：
如图，，分别与相切于，两点，是的直径．
(1)求证：
(2)连接交于点，若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据切线长定理和切线的性质可得，，，根据等腰三角形三线合一性质可得，可得，，得到，从而得证；
（2）根据余弦，正弦的定义及勾股定理可得，从而有，，代入计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，交于点．
∵、为的切线，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
◆变式训练
1.如图，点是以为直径的外一点，点是上一点，是的切线，，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：点是的中点；
(2)若，的半径为，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，证明是的切线．根据是的切线，可得，进而证明，等量代换可得，即可得证；
（2）根据，可得四边形是正方形，则是等腰直角三角形．勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：连接．
为的直径，
．
，
是的切线．
是的切线，
，
．
，，
，
，
，
点是的中点．
（2）解：若，由()得，四边形是正方形，
是等腰直角三角形．
半径为，
，
，
．
2.如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD．
求证：BC＝CD；
若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据切线长定理证明即可；
（2）根据已知条件可得是等边三角形，根据直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵ AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，
是的切线，
CD是的切线，
（2）连接，，
是的切线， ， BC＝3，
是等边三角形，
，
是直径
一、单选题
1．（2025·四川自贡·中考真题）分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，先画图，连接，，求解，再根据C的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案.
【详解】解：如图，连接，，
∵分别与相切于两点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
故选：D
2．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，是的直径，，分别切于点B、C，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了切线长定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．连接，由圆周角定理的推论得，再由切线长定理得，从而得，进而即可求解．
【详解】解：连接，
∵，分别切于点B、C，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
3．（2024·山西·中考真题）如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出，有圆的切线定理可得出，由直角三角形两锐角互余即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴．
∵以为直径的与相切于点A，
∴，
∴．
故选：D．
4．（2025·福建·中考真题）如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接，，切线得到，求出，平行，得到，进而得到为等边三角形，推出为等边三角形，即可得出结果．
【详解】连接，，则：，
∵与相切于点A，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
故选C．
5．（2025·海南·中考真题）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据切线的性质得出，再利用直角三角形两个锐角互余求得，然后利用圆周角定理求得，再利用弧长公式求解即可．
【详解】解：连结，
∵，以为直径的半圆交于点，
∴，
∵与半圆相切于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，弧长公式，直角三角形两个锐角互余，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
6．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ）
A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案．
【详解】解：如图，令与的交点为，
为半径，为弦，且，
，
，
在中，，，，
，
，即的半径为4，
，
点在外，
故选：C．
7．（2025·山东淄博·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（ ）．
A．10 B．12 C．13 D．15
【答案】B
【分析】本题主要考查切线的性质，勾股定理及解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理建立方程得到圆的半径．
根据题意可得，设半径为，利用勾股定理求出半径，再根据求解即可．
【详解】解：设中点圆心为，半径为，连接，
因为圆与相切于点，所以，
则，即，
解得，，
又，
所以．
故选：B．
8．（2025·山东德州·中考真题）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是切线的性质、圆的面积计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
根据切线的性质得到，根据垂径定理求出，再根据勾股定理、圆的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，平移小圆，使小圆的圆心与点重合，小圆与相切于，连接，
∵小圆与相切于，
，
，
在中，，
则剩余部分的面积为：，
故选：D．
二、填空题
9．（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，解题的关键是理解设点到圆心的距离为，圆的半径为，若点在圆外，则时，当点在圆上时，则时；当点在圆内时，则．
【详解】解：∵点在上，
∴点到圆心的距离为，
故答案为：．
10．（2025·黑龙江·中考真题）如图，、是圆O的切线，A、B为切点，是直径，，
【答案】/70度
【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质．根据是切线，得到，从而，根据切线长定理得到，从而，进而由三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：∵是切线，
∴，即，
∵，
∴，
∵、是圆O的切线，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
11．（2025·广东广州·中考真题）已知的半径为，所在平面内有一动点，过点可以引的两条切线，，切点分别为，．点与圆心的距离为，则的取值范围是 ；若过点作交直线于点（点不与点重合），线段与交于点．设，，则关于的函数解析式为 ．
【答案】
【分析】由题意可得点在外，从而得出，再由切线长定理可得，，，又，则，所以，可得，故有，，最后通过勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，
∵过点可以引的两条切线，，
∴点在外，
∴，
∵，是的两条切线，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，的半径为，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，切线长定理，勾股定理，求函数解析式，等角对等边，平行线的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
12．（2025·福建·中考真题）在四边形中，，，，，．点是边上一点，如果以为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，直角梯形以及直角三角形的边角关系，画出半径最小和最大时的图形是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．
根据题意，分别画出半径最小和最大时的图形，根据直角三角形的边角关系以及切线的性质列方程求解即可．
【详解】解：如图1，过点D作于H，
则，，，
在中，，
当与相切时，此时与线段有一个公共点，此时半径最小，
设，则，
在中，，
∴，
由得，，
解得
∴；
如图2，当以为半径的过点B时，半径最大，过点O作于F，
设，则，
在中，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，即的最大半径为，
所以当以O为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围为，
故答案为：．
三、解答题
13．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，，求扇形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据圆周角定理得到，则，再由即可证明，即可证明是的切线；
（2）先根据圆周角定理得到，再由扇形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵是半圆O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴扇形的面积．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，扇形面积的求解，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
14．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若的半径为3，，求的长．
【答案】(1)与相切，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，等边对等角，正切的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）连接，根据等边对等角可得，，进而根据，得出，即可得出结论；
（2）根据已知可得，进而设，，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：与相切；
理由如下：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵为半径，
∴与相切；
（2）解：如（1）图，，
∵的半径为3，
∴
∵，，
∴，
∴，
设，，
在中，，
∴
解得：
∴．
15．（2025·山东东营·中考真题）如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线判定定理、扇形面积与三角形面积的计算，利用弧相等推导圆心角相等，结合直角三角形性质分析线段与角度关系是解题的关键．
（1）连接，，由得圆心角，进而得，由得，由得，可得，即可得，又因是的半径即可证明；
（2）由，结合得，由勾股定理可得，由即可得出．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
∵是的直径，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
一、单选题
1．如图是记录的日出美景，图中太阳可看成圆，海天交界处可看成直线，则图中此刻太阳与海天交界处的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可得到结论．
【详解】解：图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相交，
故选：B．
2．已知的半径长为，点P在内，那么的长度有可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键．点P在内，则点P到圆心O的距离小于半径，据此解答即可．
【详解】解：点P在内，的半径长为，
，
选项中只有符合．
故选：A．
3．已知的半径为5，点P到圆心O的距离为8，则点P在（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心的距离d和圆的半径r.
本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握判断方法是解题的关键.
【详解】解：∵的半径为，点P到圆心O的距离，
∴，
∴点P在外，
故选：C.
4．如图，，与分别相切于点A，B．如果，，那么的长度是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是切线的性质，掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，证明为等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵，与分别相切于点A，B，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
故选：A．
5．如图，若的半径为2，点到一条直线的距离为1，则这条直线可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，掌握其相关知识点是解题的关键．当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离，当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，据此可得答案．
【详解】解：的半径为2，圆心到一条直线的距离为1，
与该直线相交，
这条直线可能是，
故答案为：B．
6．已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了直线和圆的位置关系以及平移的性质，是基础知识要熟练掌握．
根据直线和圆相切的数量关系，可得点O到l的距离为，可向上或向下平移，使l与相切，即可得出答案．
【详解】解：如图，当直线l经过点B时，，
当直线l平移至直线，且切点为点A时，此时；
当l移动到，且切点为点C时，则；
综上所述，与相切时，平移的距离是或．
故选D．
7．中，，，，以C为圆心，r为半径作圆，此圆与直线只有一个公共点，则（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键，根据圆与直线相切时只有一个公共点，因此半径r等于点C到直线的距离即可得到答案．
【详解】解：∵在中，，，，
∴由勾股定理，.
设点C到直线的距离为d，
∵，且，
∴，
∴.
∵圆与直线相切，
∴.
故选：C.
8．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以点为圆心，2为半径作， 则点的位置（ ）
A．在内 B．在上 C．在外 D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查了点与圆的位置关系．
通过计算点B到圆心A的距离，与半径比较，判断点B与圆的位置关系．
【详解】解：∵点A坐标为，点B坐标为，
∴，
∵的半径为2，且，
∴半径，
∴点B在外．
故选：C．
9．如图，已知为的直径，切于点，切于点，交的延长线于点，，，则半径的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．3.5
【答案】C
【分析】本题考查了切线长定理、勾股定理、切割线定理等知识，综合性强，熟记并会综合运用定理是解决本题的关键．
根据切割线定理，结合已知条件，求出AE的长；再根据勾股定理、切线长定理求出BC的长即可．
【详解】解：如图，连接，
∵切于点，切于点；
∴，，；
∵，，
∴
∴在中，
∴；
∴
∴，则，
解得，
故选：C.
10．如图，分别与相切于两点，点在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了切线的性质，四边形的内角和，以及圆周角定理，熟练运用性质及定理是解本题的关键．
连接，由与都为圆O的切线，利用切线的性质得到垂直于垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知的度数求出的度数，在四边形中，根据四边形的内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：连接，如图，
∵是的切线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
则．
故选D．
二、填空题
11．已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．
根据点与圆的位置关系判断即可．
【详解】解：∵的半径为，点在上，
∴点P到圆心O的距离为．
故答案为3．
12．的半径是，圆心到直线的距离为，则直线与的公共点个数是 ．
【答案】2
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，比较圆心到直线的距离与半径的大小，判断位置关系即可解答．
【详解】解：∵⊙O的半径，圆心O到直线a的距离，
∴，
∴直线a与相交，公共点个数为2．
故答案为2．
13．已知的半径为，，则点与的位置关系是：点在 ．
【答案】内
【分析】本题考查点与圆的位置关系，关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．
根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断即可．
【详解】解：，的半径为，
且，，，
，即，
点在内．
故答案为：内．
14．已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；根据圆与坐标轴的位置关系，利用圆心到直线的距离与半径的关系列不等式求解．
【详解】解：圆心到x轴的距离为，
由于圆与x轴无公共点，
故圆心到x轴的距离大于半径，即；
圆心到y轴的距离为1，由于圆与y轴有公共点，
故圆心到y轴的距离小于或等于半径，即；
因此，r的取值范围是．
故答案为：．
15．如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查切线的判定及切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，其切线长相等，熟练掌握切线长定理是解题关键．
根据题意得出与、都相切，切点为、，根据切线长定理即可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵以为直径的与相切于点，
∴与、都相切，切点为、，
∴，，
∵，，
∴．
故答案为：．
16．如图，P是外一点，、分别和切于A、B，C是弧上任意一点，过C作的切线分别交、于D、E，若的周长为16，则长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查切线长定理，解题关键是识别相等的切线长．根据切线长定理，将的周长转化为，结合求解．
【详解】解：由切线长定理得：，
∴的周长为：
，
已知周长为，且，故，
解得．
故答案为：8．
三、解答题
17．已知圆与直线相切，求m的值．
【答案】或
【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆的方程得到圆的半径和圆心坐标，然后根据直线与圆相切可知，圆心到直线的距离等于半径的长，再根据距离公式即可求解．
【详解】解：由圆方程可得圆心，半径，
∵直线与圆相切，
∴圆心到直线距离等于半径：
解得，即．
18．如图，在中，，以直角顶点C为圆心作，设的半径为r．
(1)请直接写出当r为何值，与所在直线相切；
(2)当与斜边只有一个公共点时，请直接写出r的取值范围；
(3)当与的三条边只有两个公共点时，请直接写出r的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）勾股定理求得斜边，进而根据等面积法求得斜边上的高，根据圆心到直线的距离等于半径即可求解；
（2）根据圆心到直线的距离与半径比较，结合图象即可求解；
（3）根据图象写出范围即可．
【详解】（1）如图，过点C作于D，
当时，与AB所在直线相切，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴当时，与所在直线相切；
（2）由（1）知，当时，与所在直线相切，
即此时与斜边只有一个公共点；
如图，可知当时，与斜边只有一个公共点，
综上，与斜边只有一个公共点时，或；
（3）由图可知，当或时，与的三条边只有两个公共点．
19．如图，是的弦，C是外一点，，交于点P，交于点D，且，连接．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，的半径为，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）．
【答案】(1)直线与相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形性质，垂直定义，对顶角性质，证明，再结合切线的判定定理即可证明直线与的位置关系；
（2）利用直角三角形性质，得到，结合勾股定理建立等式求出，再根据图中阴影部分的面积，结合扇形面积公式列式求解，即可解题．
【详解】（1）解：直线与相切，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
直线与相切；
（2）解：，的半径为，，
，，
，
解得或（不合题意，舍去），
图中阴影部分的面积为：．
【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，垂直定义，对顶角性质，勾股定理，直角三角形性质，扇形面积的计算，灵活运用相关知识点是解题的关键．
20．如图，已知半径为5的经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接、，平分，．
(1)判断与x轴的位置关系，并说明理由；
(2)若，求阴影部分的面积．
【答案】(1)与轴相切，理由见解析
(2)阴影部分的面积为
【分析】本题考查圆的基本性质、角平分线的性质、勾股定理、扇形面积公式，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）连接，根据角平分线的性质可得，由圆的性质得到，进而得到，则，进而得到轴，从而得到结论；
（2）过作于，证得四边形是矩形，设，则，，在中，由勾股定理得，据此列方程，解方程，求出，进而得到扇形的面积，从而得到阴影部分的面积．
【详解】（1）解：与轴相切，理由如下：
如图，连接，
平分，
，
，
，
，
．
，
轴，
是的半径，
与轴相切；
（2）解：如图，过作于，
，
，
四边形是矩形，
，，
设，则，，
在中，，
，
，
解得，（舍去），
，
，，
，
的面积为，
，
扇形的面积为，
阴影部分的面积为．
21．如图1，为圆直径，点在圆上，延长、分别至点、，连接，使，连接，且．
(1)求证：直线与圆相切；
(2)如图2，在直径上，过点作交圆于点，延长至点，连接，使．
①若，，，求的值；
②如图3，连交于，证明：为中点．
【答案】(1)见详解
(2)①160；②见详解
【分析】（1）根据为圆 O 的直径，利用圆周角定理得出，则．根据，得出，结合，得，则，即可证明直线与圆相切．
（2）①连接，过点作于，证明，由（1）知，则，证明四边形为矩形，得出，，证明，得出，证明，得出，求出，则，即可求解．
②连接并延长交的延长线于点，连接，根据为圆直径，得出，根据，得出，则，证出，证明，，得出，即可得，即为中点．
【详解】（1）证明：∵为圆 O 的直径，
，
在中，．
，
，
，
，
，
即于点，
又为圆半径，
∴直线与圆相切．
（2）解：①连接，过点作于．
∵，
∴，
由（1）知，
，
∵，，直线与圆相切，
，
∴四边形为矩形，
，，
∴，
∵，
，
又，
，
，
即，
∵，，
∴，
，
即，
，
，
∵，
．
②连接并延长交的延长线于点，连接，
∵为圆直径，
，
，
，
∵，，
，
，
，
，
∴，，
，
∵，
∴，
即为中点．
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模块六 圆
专题4 与圆有关的位置关系
【考点一】点和圆的位置关系
已知⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则：
位置关系 图形 定义 性质及判定
点在圆外 点在圆的外部 d > r 点P在圆外
点在圆上 点在圆周上 d = r 点P在圆上
点在圆内 点在圆的内部 d < r 点P在圆内
【说明】掌握已知点的位置，可以确定该点到圆心的距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点与圆的位置关系．
【考点二】直线和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系 图形 公共点个数 性质及判定
相离 没有公共点 d > r直线l与⊙O相离
相切 有唯一公共点 d = r直线l与⊙O相切
相交 有两个公共点 d < r直线l与⊙O相交
【小技巧】判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．
【考点三】圆和圆之间的位置关系
设⊙O1、⊙O2的半径分别为r、R（其中R>r），两圆圆心距为d，则两圆位置关系如下表：
位置关系 图形 公共点个数 性质及判定
外离 无 两圆外离
外切 1个切点 两圆外切
相交 两个交点 两圆相交
内切 1个切点 两圆内切
内含 无 两圆内含
两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.
【考点四】切线的性质与判定
定义 线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点．
性质 圆的切线垂直于过切点的半径．（实际上过切点的半径也可理解为过切点的直径或经过切点与圆心的直线．）
解题方法：当题目已知一条直线切圆于某一点时，通常作的辅助线是连接切点与圆心（这是圆中作辅助线的一种方法）．根据切线的性质可得半径与切线垂直，从而利用垂直关系进行有关的计算或证明．
判定 1）定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线. 2）数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径时，直线与圆相切. 3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
常见辅助线作法：判定一条直线是圆的切线时， 1）若已知直线与圆的公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”； 3）若直线与圆的公共点没有明确，可过圆心作直线的垂线段，再证明圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”．
【考点五】切线长定理
定义 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
切线长定理的应用问题解题方法：切线长定理经常用来证明线段相等，通常要连接圆心与切点构造直角三角形来求解．
【题型一】判断点和圆的位置关系
◇典例1：
如图，已知⊙O及其所在平面内的4个点．如果半径为5，那么到圆心O距离为7的点可能是（ ）
A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点
◆变式训练
1.已知的半径是4，，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．不能确定
【题型二】根据点和圆的位置关系求半径
◇典例2：
下列命题正确的是（ ）
A．朱自清的《春》中，“雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着…”，其中“雨像细丝”说明“两点确定一条直线”
B．在平面直角坐标系中，若点与点关于y轴对称，则点在第二象限
C．若点P到的最大距离为8，最小距离为2，则的半径为5
D．甲、乙两人参加禁毒知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是，，则甲的成绩比乙的稳定
◆变式训练
1.如图，线段，点为的中点，动点到点的距离是1，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长度的最大值是（ ）
A．3 B．4 C． D．
2.在同一平面内，点P在⊙O外，已知点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则⊙O的半径为（ ）
A． B． C． D．
【题型三】判断直线与圆的位置关系
◇典例3：
的三边，，的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是
◆变式训练
1.“光盘行动”倡导厉行节约，反对铺张浪费，带动大家珍惜粮食，如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
【题型四】根据直线与圆的位置关系求半径
◇典例4：
在直角三角形中，，，，以点C为圆心作，半径为，已知直线和有交点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.在平面直角坐标系中，⊙O的圆心为坐标原点，半径为3，若直线与⊙O始终有交点，则b的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
2.已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作．若对于符合条件的任意实数k，一次函数的图像与总有两个公共点，则r的最小值为 ．
【题型五】根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离
◇典例5：
如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ．
2.如图，平面直角坐标系中，圆心在x轴上的与同时与纵轴相切．，直线l：交x轴于点B．记B点的横坐标为，与的组合图形记为曲线M．若直线l：与曲线M至少有4个不同的公共点，则的取值范围为 ．
【题型六】求圆平移到与直线相切时圆心坐标
◇典例6：
如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作，当与直线AB相切时，点P的坐标是（）
A． B．或
C． D．或
◆变式训练
1.如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【题型七】求圆平移到与直线相切时运动距离
◇典例7：
如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心的坐标为（-3，0），将圆沿轴的正方向平移，使得圆与轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．3或6 C．3 D．1或5
◆变式训练
1.如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为 时，与直线相切．
2.圆能够帮助我们解决很多问题，例如角的转换、点的轨迹等等，我们常常通过定角、定长来构造圆．在同一平面内，直线与直线交于点O，点A、B分别在直线、上运动，点C是该平面上任意一点，且A、B、C三点为顺时针走向，已知．
(1)如图1，若，，①写出以为直径的圆与直线交点个数；②求的最大值；
(2)如图2，若，，求的最大值．
【题型八】圆和圆的位置关系
◇典例8：
如图，奥运五环标志里，包含了圆与圆位置关系中的（ ）
A．相切，内含 B．外切，内含 C．外离，相交 D．相切，相交
◆变式训练
1.在中，，，，点在内，分别以为圆心画，圆半径为1，圆半径为2，圆半径为3，圆与圆内切，圆与圆的关系是（ ）
A．内含 B．相交 C．外切 D．相离
2.两圆的半径分别为和，且两圆的圆心距为，则这两圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．相离
【题型九】判断或补全使直线成为切线的条件
◇典例9：
如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （ ）
A． B．
C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径
◆变式训练
1.如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（ ）
A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线
C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则
【题型十】利用切线的性质求解
◇典例10：
如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1.如图所示，在平面中和分别与直线相切，的直径为4，的直径为6，做直线与相切于点A且平行于直线l，直线与相切于点B且平行于直线l，若线段与直线的夹角恰为，则两圆心的距离是（ ）
A．9 B． C． D．10
2.如图，是的切线，切点为，点在上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【题型十一】证明某条直线时圆的切线
◇典例11：
）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
◆变式训练
1.如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，．
(1)求证：与相切；
(2)若，求的长．
2.如图，在中，，点在上，以为直径的经过上的点，与交于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【题型十二】利用切线的性质定理证明
◇典例12：
如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．
(1)求证：∠ADE=∠PAE．
(2)若∠ADE=30°，求证：AE=PE．
(3)若PE=4，CD=6，求CE的长．
◆变式训练
1.如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点．
(1)求证：与相切．
(2)若正方形的边长为，求的半径．
(3)如图2，在（2）的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长．
2.已知的半径为5，是上两定点，点是上一动点，且的平分线交于点．
(1)证明：点为上一定点；
(2)过点作的平行线交的延长线于点．
①判断与的位置关系，并说明理由；
②若为锐角三角形，求的取值范围．
【题型十三】切线的性质与判定的综合运用
◇典例13：
如图，在中，，是边上一点，以为圆心，为半径的圆与相交于点，连接，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
◆变式训练
1.如图，已知AC为的直径，直线PA与相切于点A，直线PD经过上的点B且，连接OP交AB于点M．求证：
(1)PD是的切线；
(2)
2.如图，内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作，交直线于点，交于点．
(1)求证：平分；
(2)若，求线段的长．
【题型十四】应用切线长定理求解
◇典例14：
如图，是切线，B、C是切点，点P是上一点，且，则 °．
◆变式训练
1.粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，是粒子真空室，是两个加速电极，高速飞行的粒子在点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过时被加速，达到一定的速度在点引出，粒子注入和引出路径都与相切．已知：，粒子注入路径与夹角．
(1)求的度数；
(2)通过计算，求粒子在环形运动过程中，粒子到的最远距离（相关数据：）．
2.如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，．
(1)若，求的度数；
(2)找出图中所有与相等的线段，并证明；
(3)若，，求的周长．
【题型十五】应用切线长定理求证
◇典例15：
如图，，分别与相切于，两点，是的直径．
(1)求证：
(2)连接交于点，若，，求的长．
◆变式训练
1.如图，点是以为直径的外一点，点是上一点，是的切线，，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：点是的中点；
(2)若，的半径为，求的长．
2.如图，AB是⊙O直径，BC⊥AB于点B，点C是射线BC上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD．
求证：BC＝CD；
若∠C＝60°，BC＝3，求AD的长．
一、单选题
1．（2025·四川自贡·中考真题）分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．或
2．（2024·甘肃甘南·中考真题）如图，是的直径，，分别切于点B、C，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山西·中考真题）如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·福建·中考真题）如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·海南·中考真题）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ）
A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定
7．（2025·山东淄博·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（ ）．
A．10 B．12 C．13 D．15
8．（2025·山东德州·中考真题）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径．设这条切线交大圆于点A，B，量得的长是，则剩余部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为 ．
10．（2025·黑龙江·中考真题）如图，、是圆O的切线，A、B为切点，是直径，，
11．（2025·广东广州·中考真题）已知的半径为，所在平面内有一动点，过点可以引的两条切线，，切点分别为，．点与圆心的距离为，则的取值范围是 ；若过点作交直线于点（点不与点重合），线段与交于点．设，，则关于的函数解析式为 ．
12．（2025·福建·中考真题）在四边形中，，，，，．点是边上一点，如果以为圆心，为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是 ．
三、解答题
13．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，，求扇形的面积．
14．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若．
(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若的半径为3，，求的长．
15．（2025·山东东营·中考真题）如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．
一、单选题
1．如图是记录的日出美景，图中太阳可看成圆，海天交界处可看成直线，则图中此刻太阳与海天交界处的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
2．已知的半径长为，点P在内，那么的长度有可能为（ ）
A． B． C． D．
3．已知的半径为5，点P到圆心O的距离为8，则点P在（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．无法确定
4．如图，，与分别相切于点A，B．如果，，那么的长度是（ ）
A．2 B．3 C． D．
5．如图，若的半径为2，点到一条直线的距离为1，则这条直线可能是（ ）
A． B． C． D．
6．已知：的半径为，圆心到直线的距离为，将直线沿垂直于的方向平移，使与相切，则平移的距离是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
7．中，，，，以C为圆心，r为半径作圆，此圆与直线只有一个公共点，则（ ）
A．6 B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以点为圆心，2为半径作， 则点的位置（ ）
A．在内 B．在上 C．在外 D．不能确定
9．如图，已知为的直径，切于点，切于点，交的延长线于点，，，则半径的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．3.5
10．如图，分别与相切于两点，点在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为 ．
12．的半径是，圆心到直线的距离为，则直线与的公共点个数是 ．
13．已知的半径为，，则点与的位置关系是：点在 ．
14．已知点坐标为，如果半径为的与轴无公共点，与轴有公共点，那么的取值范围是 ．
15．如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为 ．
16．如图，P是外一点，、分别和切于A、B，C是弧上任意一点，过C作的切线分别交、于D、E，若的周长为16，则长为 ．
三、解答题
17．已知圆与直线相切，求m的值．
18．如图，在中，，以直角顶点C为圆心作，设的半径为r．
(1)请直接写出当r为何值，与所在直线相切；
(2)当与斜边只有一个公共点时，请直接写出r的取值范围；
(3)当与的三条边只有两个公共点时，请直接写出r的取值范围．
19．如图，是的弦，C是外一点，，交于点P，交于点D，且，连接．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，的半径为，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）．
20．如图，已知半径为5的经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接、，平分，．
(1)判断与x轴的位置关系，并说明理由；
(2)若，求阴影部分的面积．
21．如图1，为圆直径，点在圆上，延长、分别至点、，连接，使，连接，且．
(1)求证：直线与圆相切；
(2)如图2，在直径上，过点作交圆于点，延长至点，连接，使．
①若，，，求的值；
②如图3，连交于，证明：为中点．
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