《直通名校》高考真题分类专题一　集合、复数与常用逻辑用语（含解析）-高考数学大二轮专题复习

专题一　集合、复数与常用逻辑用语
考点一　集合
1.（2024·北京高考1题）已知集合M＝{x｜－3＜x＜1}，N＝{x｜－1≤x＜4}，则M∪N＝（　　）
A.{x｜－1≤x＜1}　　　　　 B.{x｜x＞－3}
C.{x｜－3＜x＜4} D.{x｜x＜4}
解析：C　由集合的并运算，得M∪N＝{x｜－3＜x＜4}.
2.（2024·新高考Ⅰ卷1题）已知集合A＝{x｜－5＜x3＜5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝（　　）
A.{－1，0} B.{2，3}
C.{－3，－1，0} D.{－1，0，2}
解析：A　法一　因为A＝{x｜－＜x＜}，B＝{－3，－1，0，2，3}，且注意到1＜＜2，从而A∩B＝{－1，0}.故选A.
法二　将集合B中的元素代入集合A中，排除易得选A.
3.（2024·全国甲卷2题）已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x｜∈A}，则 A（A∩B）＝（　　）
A.{1，4，9} B.{3，4，9}
C.{1，2，3} D.{2，3，5}
解析：D　B＝{1，4，9，16，25，81}，A∩B＝{1，4，9}，则 A（A∩B）＝{2，3，5}.故选D.
4.（2023·新高考Ⅱ卷2题）设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝（　　）
A.2 B.1
C. D.－1
解析：B　由题意，得0∈B.又B＝{1，a－2，2a－2}，所以a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A B，舍去.当2a－2＝0时，a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，满足A B.综上所述，a＝1.故选B.
5.（2018·全国Ⅱ卷2题）已知集合A＝{（x，y）｜x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（　　）
A.9 B.8
C.5 D.4
解析：A　法一　将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即（－1，－1），（－1，0），（－1，1），（0，－1），（0，0），（0，1），（1，－1），（1，0），（1，1），共有9个.故选A.
法二　根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.
法三　由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为＝9，故选A.
6.（2020·新高考Ⅰ卷5题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（　　）
A.62% B.56%
C.46% D.42%
解析：C　不妨设该校学生总人数为100，既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为x，则100×96%＝100×60%－x＋100×82%，所以x＝46，所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选C.
考点二　复数
7.（2024·新高考Ⅱ卷1题）已知z＝－1－i，则｜z｜＝（　　）
A.0 B.1
C. D.2
解析：C　若z＝－1－i，则｜z｜＝＝.故选C.
8.（2024·全国甲卷1题）若z＝5＋i，则i（＋z）＝（　　）
A.10i B.2i
C.10 D.2
解析：A　因为z＝5＋i，所以＝5－i，所以i（＋z）＝10i，故选A.
9.（2024·新高考Ⅰ卷2题）若＝1＋i，则z＝（　　）
A.－1－i B.－1＋i
C.1－i D.1＋i
解析：C　法一　因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C.
法二　由＝1＋i，得z＝（z－1）（1＋i），即zi＝1＋i，z＝＝1－i.
10.（2023·新高考Ⅱ卷1题）在复平面内，（1＋3i）（3－i）对应的点位于（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析：A　∵（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，∴（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点的坐标为（6，8），即（1＋3i）（3－i）在复平面内对应的点在第一象限.故选A.
考点三　常用逻辑用语
11.（2024·新高考Ⅱ卷2题）已知命题p： x∈R，｜x＋1｜＞1；命题q： x＞0，x3＝x.则（　　）
A.p和q都是真命题
B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题
D. p和 q都是真命题
解析：B　对于命题p，取x＝－1，则有｜x＋1｜＝0＜1，故p是假命题， p是真命题；对于命题q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，故选B.
12.（2023·天津高考2题）“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
解析：B　由a2＝b2，得a＝±b，当a＝－b时，a2＋b2≠2ab.由a2＋b2＝2ab，得（a－b）2＝0，所以a＝b.所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件.故选B.
13.（2022·浙江高考4题）设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：A　法一　由sin x＝1，得x＝2kπ＋（k∈Z），则cos＝cos ＝0，故充分性成立；又由cos x＝0，得x＝kπ＋（k∈Z），而sin（kπ＋）＝1或－1，故必要性不成立.所以“sin x＝1”是“cos x＝0”的充分不必要条件，故选A.
法二　由sin x＝1，得x＝2kπ＋（k∈Z），则cos＝cos ＝0，故充分性成立；又cos ＝0，sin ＝－1，故必要性不成立.所以“sin x＝1”是“cos x＝0”的充分不必要条件，故选A.
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