《直通名校》高考真题分类专题二 不等式与平面向量（含解析）-高考数学大二轮专题复习
文档属性
| 名称 | 《直通名校》高考真题分类专题二 不等式与平面向量（含解析）-高考数学大二轮专题复习 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 48.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-26 00:00:00 | ||
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文档简介
专题二 不等式与平面向量
考点一 不等式的性质及解法
1.（2019·全国Ⅱ卷6题）若a＞b，则（ ）
A.ln（a－b）＞0 B.3a＜3b
C.a3－b3＞0 D.｜a｜＞｜b｜
解析：C 法一 不妨设a＝－1，b＝－2，则a＞b，可验证A、B、D错误，只有C正确.故选C.
法二 由函数y＝ln x的图象（图略）知，当0＜a－b＜1时，ln （a－b）＜0，故A不正确；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a＞b时，3a＞3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a＞b时，a3＞b3，即a3－b3＞0，故C正确；当b＜a＜0时，｜a｜＜｜b｜，故D不正确.故选C.
2.（2018·全国Ⅲ卷12题）设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则（ ）
A.a＋b＜ab＜0 B.ab＜a＋b＜0
C.a＋b＜0＜ab D.ab＜0＜a＋b
解析：B ∵a＝log0.20.3＞log0.21＝0，b＝log20.3＜log21＝0，∴ab＜0.∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，∴1＝log0.30.3＞log0.30.4＞log0.31＝0，∴0＜＜1，∴ab＜a＋b＜0.
3.（2020·浙江高考9题）已知a，b∈R且ab≠0，对于任意x≥0均有（x－a）（x－b）（x－2a－b）≥0，则（ ）
A.a＜0 B.a＞0
C.b＜0 D.b＞0
解析：C 法一 若a，b，2a＋b互不相等，则当时，原不等式在x≥0时恒成立.又因为ab≠0，所以b＜0；若a＝b，则当时，原不等式在x≥0时恒成立，又因为ab≠0，所以b＜0；若a＝2a＋b，则当时，原不等式在x≥0时恒成立，又因为ab≠0，所以b＜0；若b＝2a＋b，则a＝0，与已知矛盾；若a＝b＝2a＋b，则a＝b＝0，与已知矛盾；综上，b＜0，故选C.
法二 特殊值法：当b＝－1，a＝1时，（x－1）（x＋1）（x－1）≥0在x≥0时恒成立；当b＝－1，a＝－1时，（x＋1）（x＋1）（x＋3）≥0在x≥0时恒成立；当b＝1，a＝－1时，（x＋1）（x－1）（x＋1）≥0在x≥0时不一定成立.故选C.
4.（2019·天津高考10题）设x∈R，使不等式3x2＋x－2＜0成立的x的取值范围为.
解析：3x2＋x－2＜0变形为（x＋1）（3x－2）＜0，解得－1＜x＜，故使不等式成立的x的取值范围为.
考点二 基本不等式
5.（多选）（2022·新高考Ⅱ卷12题）若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则（ ）
A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2
C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1
解析：BC 对于A、B：由x2＋y2－xy＝1，得（x＋y）2－3xy＝1，又xy＝－，所以（x＋y）2－3＝1，即1＝＋≥，所以－2≤x＋y≤2，所以A不正确，B正确；对于C、D：由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤，当且仅当x＝y时取等号，所以x2＋y2≤2，所以C正确，D不正确.综上可知，故选B、C.
6.（多选）（2020·新高考Ⅰ卷11题）已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则（ ）
A.a2＋b2≥ B.2a－b＞
C.log2a＋log2b≥－2 D.＋≤
解析：ABD 对于选项A，∵a2＋b2≥2ab，∴2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2＝1，∴a2＋b2≥，正确；对于选项B，易知0＜a＜1，0＜b＜1，∴－1＜a－b＜1，∴2a－b＞2－1＝，正确；对于选项C，令a＝，b＝，则log2＋log2＝－2＋log2＜－2，错误；对于选项D，∵＝，∴[]2－（＋）2＝a＋b－2＝（－）2≥0，∴＋≤，正确.故选A、B、D.
7.（2020·江苏高考12题）已知5x2y2＋y4＝1（x，y∈R），则x2＋y2的最小值是 .
解析：法一 由5x2y2＋y4＝1得x2＝－，则x2＋y2＝＋≥2＝，当且仅当＝，即y2＝时取等号，则x2＋y2的最小值是.
法二 4＝（5x2＋y2）·4y2≤ ＝（x2＋y2）2，则x2＋y2≥，当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝，y2＝时取等号，则x2＋y2的最小值是.
8.（2019·天津高考13题）设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则的最小值为4.
解析：∵ x＞0，y＞0，∴ ＞0.∵ x＋2y＝5，∴ ＝＝＝2＋≥2＝4.当且仅当2＝时取等号.∴ 的最小值为4.
考点三 平面向量
9.（2020·新高考Ⅱ卷3题）若D为△ABC的边AB的中点，则＝（ ）
A.2－ B.2－
C.2＋ D.2＋
解析：A ∵D为△ABC的边AB的中点，∴＝（＋），∴＝2－.故选A.
10.（2024·全国甲卷9题）设向量a＝（x＋1，x），b＝（x，2），则（ ）
A.x＝－3是a⊥b的必要条件
B.x＝1＋是a∥b的必要条件
C.x＝0是a⊥b的充分条件
D.x＝－1＋是a∥b的充分条件
解析：C a⊥b x2＋x＋2x＝0 x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确.a∥b 2x＋2＝x2 x2－2x－2＝0 x＝1±，故B、D错误.
11.（2022·新高考Ⅱ卷4题）已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝（ ）
A.－6 B.－5
C.5 D.6
解析：C 由题意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cos＜a，c＞＝cos＜b，c＞，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C.
12.（2022·北京高考10题）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是（ ）
A.[－5，3] B.[－3，5]
C.[－6，4] D.[－4，6]
解析：D 以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A（3，0），B（0，4），设P（x，y），则x2＋y2＝1，＝（3－x，－y），＝（－x，4－y），所以·＝x2－3x＋y2－4y＝＋（y－2）2－，又＋（y－2）2表示圆x2＋y2＝1上一点到点距离的平方，圆心（0，0）到点的距离为，所以·∈［（－1）2－，－］，即·∈[－4，6]，故选D.
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考点一 不等式的性质及解法
1.（2019·全国Ⅱ卷6题）若a＞b，则（ ）
A.ln（a－b）＞0 B.3a＜3b
C.a3－b3＞0 D.｜a｜＞｜b｜
解析：C 法一 不妨设a＝－1，b＝－2，则a＞b，可验证A、B、D错误，只有C正确.故选C.
法二 由函数y＝ln x的图象（图略）知，当0＜a－b＜1时，ln （a－b）＜0，故A不正确；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a＞b时，3a＞3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a＞b时，a3＞b3，即a3－b3＞0，故C正确；当b＜a＜0时，｜a｜＜｜b｜，故D不正确.故选C.
2.（2018·全国Ⅲ卷12题）设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则（ ）
A.a＋b＜ab＜0 B.ab＜a＋b＜0
C.a＋b＜0＜ab D.ab＜0＜a＋b
解析：B ∵a＝log0.20.3＞log0.21＝0，b＝log20.3＜log21＝0，∴ab＜0.∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，∴1＝log0.30.3＞log0.30.4＞log0.31＝0，∴0＜＜1，∴ab＜a＋b＜0.
3.（2020·浙江高考9题）已知a，b∈R且ab≠0，对于任意x≥0均有（x－a）（x－b）（x－2a－b）≥0，则（ ）
A.a＜0 B.a＞0
C.b＜0 D.b＞0
解析：C 法一 若a，b，2a＋b互不相等，则当时，原不等式在x≥0时恒成立.又因为ab≠0，所以b＜0；若a＝b，则当时，原不等式在x≥0时恒成立，又因为ab≠0，所以b＜0；若a＝2a＋b，则当时，原不等式在x≥0时恒成立，又因为ab≠0，所以b＜0；若b＝2a＋b，则a＝0，与已知矛盾；若a＝b＝2a＋b，则a＝b＝0，与已知矛盾；综上，b＜0，故选C.
法二 特殊值法：当b＝－1，a＝1时，（x－1）（x＋1）（x－1）≥0在x≥0时恒成立；当b＝－1，a＝－1时，（x＋1）（x＋1）（x＋3）≥0在x≥0时恒成立；当b＝1，a＝－1时，（x＋1）（x－1）（x＋1）≥0在x≥0时不一定成立.故选C.
4.（2019·天津高考10题）设x∈R，使不等式3x2＋x－2＜0成立的x的取值范围为.
解析：3x2＋x－2＜0变形为（x＋1）（3x－2）＜0，解得－1＜x＜，故使不等式成立的x的取值范围为.
考点二 基本不等式
5.（多选）（2022·新高考Ⅱ卷12题）若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则（ ）
A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2
C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1
解析：BC 对于A、B：由x2＋y2－xy＝1，得（x＋y）2－3xy＝1，又xy＝－，所以（x＋y）2－3＝1，即1＝＋≥，所以－2≤x＋y≤2，所以A不正确，B正确；对于C、D：由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤，当且仅当x＝y时取等号，所以x2＋y2≤2，所以C正确，D不正确.综上可知，故选B、C.
6.（多选）（2020·新高考Ⅰ卷11题）已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则（ ）
A.a2＋b2≥ B.2a－b＞
C.log2a＋log2b≥－2 D.＋≤
解析：ABD 对于选项A，∵a2＋b2≥2ab，∴2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2＝1，∴a2＋b2≥，正确；对于选项B，易知0＜a＜1，0＜b＜1，∴－1＜a－b＜1，∴2a－b＞2－1＝，正确；对于选项C，令a＝，b＝，则log2＋log2＝－2＋log2＜－2，错误；对于选项D，∵＝，∴[]2－（＋）2＝a＋b－2＝（－）2≥0，∴＋≤，正确.故选A、B、D.
7.（2020·江苏高考12题）已知5x2y2＋y4＝1（x，y∈R），则x2＋y2的最小值是 .
解析：法一 由5x2y2＋y4＝1得x2＝－，则x2＋y2＝＋≥2＝，当且仅当＝，即y2＝时取等号，则x2＋y2的最小值是.
法二 4＝（5x2＋y2）·4y2≤ ＝（x2＋y2）2，则x2＋y2≥，当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝，y2＝时取等号，则x2＋y2的最小值是.
8.（2019·天津高考13题）设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则的最小值为4.
解析：∵ x＞0，y＞0，∴ ＞0.∵ x＋2y＝5，∴ ＝＝＝2＋≥2＝4.当且仅当2＝时取等号.∴ 的最小值为4.
考点三 平面向量
9.（2020·新高考Ⅱ卷3题）若D为△ABC的边AB的中点，则＝（ ）
A.2－ B.2－
C.2＋ D.2＋
解析：A ∵D为△ABC的边AB的中点，∴＝（＋），∴＝2－.故选A.
10.（2024·全国甲卷9题）设向量a＝（x＋1，x），b＝（x，2），则（ ）
A.x＝－3是a⊥b的必要条件
B.x＝1＋是a∥b的必要条件
C.x＝0是a⊥b的充分条件
D.x＝－1＋是a∥b的充分条件
解析：C a⊥b x2＋x＋2x＝0 x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确.a∥b 2x＋2＝x2 x2－2x－2＝0 x＝1±，故B、D错误.
11.（2022·新高考Ⅱ卷4题）已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，则t＝（ ）
A.－6 B.－5
C.5 D.6
解析：C 由题意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cos＜a，c＞＝cos＜b，c＞，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C.
12.（2022·北京高考10题）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是（ ）
A.[－5，3] B.[－3，5]
C.[－6，4] D.[－4，6]
解析：D 以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A（3，0），B（0，4），设P（x，y），则x2＋y2＝1，＝（3－x，－y），＝（－x，4－y），所以·＝x2－3x＋y2－4y＝＋（y－2）2－，又＋（y－2）2表示圆x2＋y2＝1上一点到点距离的平方，圆心（0，0）到点的距离为，所以·∈［（－1）2－，－］，即·∈[－4，6]，故选D.
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