《直通名校》高考热点新情境4 与立体几何相关的新情境问题（含解析）-高考数学大二轮专题复习

与立体几何相关的新情境问题
热点一 与空间直线与平面相关
例1 （1）、《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作.其下阙为：“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”；如图所示，假如将墙看做一个平面，墙外的道路 秋千绳 秋千板简单看做是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行，那么当佳人在荡秋千的过程中，下列结论错误的是（ ）
A．秋千绳与墙面始终平行 B．秋千绳与道路始终垂直
C．秋千板与墙面始终垂直 D．秋千板与道路始终垂直
【提示】注意理解“秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行”与空间线面位置关系的判别；
【答案】B；
【解析】显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，但与道路所成的角在变化.而秋千板始终与墙面垂直，故也与道路始终垂直．
故选：B；
【说明】本题通过将“秋千绳”抽象为空间直线；“墙面”抽象为空间平面；利用空间位置相关的定义、判定定理、性质定理进行判别；
（2）、空间内水平放置的两个封闭图形分别为（i）长为、宽为的矩形；（ii）边长为的正三角形，记（i）中原图形面积为，斜二测画法得到的直观图面积为，（ii）中原图形面积为，斜二测画法得到的直观图面积为，对以下两个命题：①；②，以下判断正确的是（ ）
A．①为真命题，②为假命题 B．①为假命题，②为真命题
C．①为真命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题
【提示】注意理解与遵守直观图画法的规则；
【答案】C；
【解析】①，长为、宽为的矩形：
原图：
直观图：
所以原图面积为，直观图的面积为，
所以，①为真命题.
②，边长为的正三角形：
原图：
直观图：
所以原图面积为，直观图的面积为，
所以，②为真命题.
故选：C；
【说明】本题主要考查斜二测画法的知识与规则；
跟踪演练1（1）、《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，
在鳖臑中，⊥平面，，
且，为的中点，
则异面直线与夹角的余弦值为
【提示】理解“鳖臑”的几何特征；
【答案】；
【解析】方法1、如图，
取的中点，连接，，
由题，不妨取，M为AD的中点，
所以，，则为所求，
由平面BCD，则，
又，，所以平面，
则平面，所以是直角三角形，即，
又，
所以；
方法2：以为原点，为轴，为轴，
过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
设，
则，，，，
，
则，，
设异面直线与夹角为，
则，
所以，异面直线与夹角的余弦值为；
【说明】本题就是把求异面直线所成的角，置于“《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑”的背景下；
（2）、《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；鳖臑是四个面均为直角三角形的四面体．在如图所示的堑堵中，已知，，若阳马的侧棱，则鳖臑中，点C到平面的距离为________．
【提示】由勾股定理得到是等腰直角三角形，利用线面垂直的性质可得，分别求解和的面积，然后由等体积法，列式求解即可．
【答案】；
【解析】由，，则，所以，
故是等腰直角三角形，
在三棱柱中，平面，且平面，则，
在中，，，所以，
故在中，，则，，
设点C到平面的距离为d，由等体积法，可得，
解得，所以点C到平面的距离为．
故答案为：．
【说明】本题就是把利用等积法求点到平面的距离，置于“《九章算术》中，阳马、鳖臑”的背景下；
热点二 与空间几何体相关
例2（1）、《乌鸦喝水》的寓言故事，鼓励人们遇到困难要运用智慧、认真思考才能让问题迎刃而解. 如图所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，上面部分是圆柱体，下面部分是圆台，瓶口直径为3 cm，瓶底直径为9 cm，瓶口距瓶颈为2 cm，瓶颈到水位线距离和水位线到瓶底距离均为 cm. 现将1颗石子投入瓶中，发现水位线上移 cm. 若只有当水位线到达瓶口时，乌鸦才能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是(石子体积均视为一致) (　　)
附：圆台体积公式：V圆台＝πh(R2＋r2＋Rr)，其中h为圆台高，R为圆台下底面半径，r为圆台上底面半径.
A. 2颗 B. 3颗 C. 4颗 D. 5颗
【提示】注意几何体的分割；
【答案】C；
【解析】 如图所示，AB＝9 cm，EF＝GH＝3 cm，LO＝3 cm，所以∠A＝60°. 原水位线直径CD＝6 cm，投入石子后，水位线直径IJ＝5 cm，则由圆台公式得到，V石子＝π·MN·(CN2＋IM2＋CN·IM)＝ cm3. 同理，空瓶体积是由空瓶圆台加圆柱体得到，即V空瓶＝V空圆台＋V圆柱体＝π·LN·(CN2＋EL2＋CN·EL)＋π·EL2·KL＝＋＝ cm3，
则需要石子的个数为＝＝×＝∈(3，4)，
则至少需要4颗石子. 故选C；
【说明】本题将几何体的体积计算，几何体的分割置于寓言故事的背景下；
（2）、攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑. 以八角攒尖为例，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，若此正八棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，则侧棱与底面外接圆半径的比为 （ ）
A. B. C. D.
【提示】注意几何体对称性与分解；
【答案】C；
【解析】如图，
O为正八棱锥S ABCDEFGH底面外接圆圆心，连接OA，OB，OE，
由题意，∠AOB＝，∠OAB＝，∠SAB＝α，
则|AB|＝|SA|cosα＝|OA|cos ＝. 故选C；
【说明】本题注意抓住“正八棱锥”的几何特征，通过找已知角，将空间问题转化为平面计算；
跟踪演练2（1）、《九章算术.商功》中，将四个面都是直角三角形的四面体成为鳖臑；在鳖臑中，平面，，且，则四面体外接球的表面积为 。
【提示】注意结合“四个面都是直角三角形的四面体”进行转化；
【答案】
【解析】由题意可知四面体如图所示，
则面体外接球的半径为，
所以四面体外接球的表面积为；
【说明】本题注意考查根据题意将四面体画在长方体中，即可知道四面体的外接球直径为长方体的体对角线，则可求出答案；
（2）、蹴鞠，2006年5月20日，已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球，因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球；已知某鞠（球）的表面上有四个点（不共面）,
，则该鞠（球）的体积为__________．
【提示】注意结合题意画出“直观图”进行转化；
【答案】；
【解析】由题可知，三棱锥的外接球的体积即为所求鞠（球）的体积，
又，故三棱锥的三组对棱均相等，
如图，将三棱锥嵌入到在长方体中，
则三棱锥的外接球即为在长方体的外接球，
设，
则，
故，解得，
又长方体外接球的直径即为长方体的体对角线，
故三棱锥的外接球的半径为，
则三棱锥的外接球的体积为：.
故答案为：.
【说明】本题主要通过阅读素材，根据直观图进行等价转化与整体教师；
专题强化练
1、蹴鞠，又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠(如图所示)最早系外包皮革、内实米糠的球；因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录；已知某鞠(近似看作球体)的表面上有四个点S，A，B，C，满足S－ABC为正三棱锥，M是SC的中点，且AM⊥SB，侧棱SA＝1，则该鞠的表面积为
【提示】注意阅读理解与转化；
【答案】3π；
【解析】如图，N为BC的中点，则MN∥SB，又AM⊥SB，
∴AM⊥MN，又S－ABC为正三棱锥且侧棱SA＝1，
∴MN＝，AN＝AB，若∠ASB＝θ，
则AM2＝－cos θ，AB2＝2－2cos θ，
在Rt△AMN中，AM2＋MN2＝AN2，即－cos θ＝(2－2cos θ)，可得cos θ＝0，
又0<θ<π，∴θ＝，∴SA，SB，SC两两垂直，
易得外接球半径R＝，∴该鞠的表面积为4πR2＝3π；
【说明】本题主要依据正三棱锥及其外接球半径之间的几何特征进行计算；
2、公元年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的开立圆术.祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理，我们可以应用此原理将一些复杂几何体转化为常见几何体的组合体来计算体积.如图，将双曲线与直线所围成的平面图形绕双曲线的实轴所在直线旋转一周得到几何体，下列平面图形绕其对称轴（虚线所示）旋转一周所得几何体与的体积相同的命题序号为
（1）、图①，长为 宽为的矩形的两端去掉两个弦长为 半径为的弓形；
（2）、图②，长为 宽为的矩形的两端补上两个弦长为 半径为的弓形；
（3）、图③，长为 宽为的矩形的两端去掉两个底边长为 腰长为的等腰三角形；
（4）、图④，长为 宽为的矩形的两端补上两个底边长为 腰长为的等腰三角形；
【提示】将所有图形均以矩形的中心为原点，以对称轴为轴建立平面直角坐标系，根据在轴的最短和最长距离与双曲线实轴长和几何体母线长对比可排除③④；假设，与双曲线相交后旋转，可求得圆环面积；分别在①②中求得与图形相交所得的弦长，根据旋转后的圆环面积和圆面积是否与已知的圆环面积相等来判断出结果；
【答案】（2）
【解析】由得：，
则当与相交于两点时，内圆半径，则在该位置旋转一周所得圆环面积为；
将所有图形均以矩形的中心为原点，以对称轴为轴建立平面直角坐标系，
对于③，双曲线实轴长为，③中轴的最短距离为，不合题意，③错误；
对于④，几何体母线长为，④中轴的最长距离为，不合题意，④错误；
对于①，在轴的最短距离为，母线长为，与几何体吻合；
当与①中图形相交时，两交点之间距离为，
此时圆环面积为，不合题意，①错误
对于②，在轴的最长距离为，矩形高为，与几何体吻合；
当与②中图形相交时，两交点之间距离为，
此时圆面积为，与圆环面积相同，满足题意，②正确.
故选：（2）
【说明】本题以祖暅原理为载体，考查了旋转体截面面积的求解问题；解题关键是能够充分理解祖暅原理，根据直线与平面图形的相交弦来确定旋转后所得的图形，并求得图形面积，根据“幂势既同，则积不容异”来得到结论；
3、在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullon，于1996年列入世界文化遗产名景(如图1)； 现测量一个屋顶，得到圆锥SO的底面直径AB长为12 m，母线SA长为18 m(如图2). C是母线SA的一个三等分点(靠近点S).
图1　　　　　　　 　图2
（1）现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花60朵，那么装饰这个屋顶(不含底面)大约需要多少朵鲜花(π取3. 14，结果精确到个位)；
（2）从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度；
【提示】注意“圆锥形屋顶”所含的数学要素；
【解析】（1）圆锥的侧面积为S＝π··SA≈3. 14×6×18＝339. 12(m2)，
又每平方米大约需要鲜花60朵，于是得339. 12×60≈20 347(朵)，
所以装饰这个屋顶大约需要20 347朵鲜花.
（2）将圆锥SO的侧面沿母线SA剪开得其展开图为如图所示的扇形SAA′，
连接A′C，则A′C为所求最小长度.
的长度为π·AB＝12π，得扇形圆心角∠ASA′＝＝，
在△A′SC中，SA′＝18，SC＝SA＝6，
由余弦定理得A′C2＝SA′2＋SC2－2SA′·SCcos∠A′SC＝182＋62－2×18×6cos＝468，
所以A′C＝6，
所以灯光带的最小长度为6 m.
【说明】本题只是将几何体的体积与展开图相关计算置于““斗笠”的灰白小镇”的背景下；
4、2022年北京冬奥会标志性场馆——国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等。
（1）利用祖暅原理推导半径为的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体，几何体的底面半径和高都为，其底面和半球体的底面同在平面内.设与平面平行且距离为的平面截两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证明；
（2）现将椭圆所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球，（如图），类比（Ⅰ）中的方法，探究椭球的体积公式，并写出椭球，的体积之比.
【提示】注意理解祖暅原理与椭圆的几何性质、旋转体的定义；
【解析】（1）由图可知，图①几何体的为半径为的半球，图②几何体为底面半径和高都为的圆柱中挖掉了一个圆锥，与图①截面面积相等的图形是圆环（如阴影部分）
证明如下：
在图①中，设截面圆的圆心为，易得截面圆的面积为，
在图②中，截面截圆锥得到的小圆的半径为，所以，圆环的面积为，所以，截得的截面的面积相等
（2）类比（1）可知，椭圆的长半轴为，短半轴为，构造一个底面半径为，高为的圆柱，把半椭球与圆柱放在同一个平面上（如图），在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，即挖去的圆锥底面半径为，高为；
在半椭球截面圆的面积，
在圆柱内圆环的面积为
∴距离平面为的平面截取两个几何体的平面面积相等，
根据祖暅原理得出椭球的体积为：
，
同理：椭球的体积为
所以，两个椭球，的体积之比为.
【说明】本题将祖暅原理与椭圆的几何性质、旋转体的定义与几何体的分割、拼接等；置于现代建筑设计的背景下；
5、有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体；如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为
【提示】注意几何体的几何特征，构建与向量的联系；
【答案】
【解析】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为半正多面体的棱长为，故正方体的棱长为
所以，.
设，则.
所以.
令，则，
因为，所以.
故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为.
【说明】本题考查了根据几何体的对称性，通过构建与空间向量的联系，几何问题代数化；
6、手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展；某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形.其直观图如图所示，，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是
【提示】注意理解与标注直观图所含的几何特征与几何量；
【答案】；
【解析】方法1、分别取棱，的中点G，H，连接AH，HQ，NH，MG，GH.
易证四边形APQH是平行四边形，四边形MNHG是平行四边形，
则，，
故是异面直线PQ与MN所成的角或其补角.
因为，，
所以，，，
则，
故异面直线PQ与MN所成角的余弦值是；
方法2、如图，以为原点建立空间直角坐标系，
因为，，
所以可得，
所以，
所以，
所以异面直线PQ与MN所成角的余弦值是.
故答案为：；
【说明】本题将求“异面直线所成角”置于学生的手工课制作；分别从由异面直线所成角的定义与余弦定理求解；或以为原点建立空间直角坐标系，求出，利用向量关系即可求出；
7、自古以来，斗笠是一个防晒遮雨的用具，是家喻户晓的生活必需品之一，主要用竹篾和一种叫做棕榈叶染白后编织而成，已列入世界非物质文化遗产名录；现测量如图中一顶斗笠，得到图中圆锥模型，经测量底面圆的直径，母线，若点在上，且，为的中点．证明：平面；
【提示】注意结合“斗笠”获得“圆锥”的相关几何量；
【解析】证明：如图连接，
因为底面圆的直径，所以为的中点，
因为点为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
【说明】本题将空间线面平行置于“日常生活用品”背景下；
8、中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，其中于，，，平面．
（1）求证：；
（2）试验表明，当时，风筝表现最好，求此时直线与平面所成角的正弦值．
【提示】（1）利用平面可得，再利用即可；
（2）以为坐标原点，分别以，，为，，轴正方向，建立空间直角坐标系即可求出；或利用等体积法也可；
【答案】（2）；
【解析】（1）证明：∵平面，平面，
∴，又，
，平面，平面，
∴平面，
又平面．
∴．
（2）解：法一：如图，
以为坐标原点，分别以，，为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，
∴，，，
设为平面的法向量，则，即，
令，则，
设直线与平面所成角为，
则．
法二：如图，
在中，由得，
在中，由得，
在中，由得．
在中，由得，
在中，由，
得，
，
设点到平面的距离为，
由，得，
即，
设直线与平面所成的角为，则．
【说明】本题将空间的位置关系判别、证明、度量置于“民间传统玩具”的背景下；