《直通名校》高考热点新情境2 与数列相关的新情境问题（含解析）-高考数学大二轮专题复习

与数列相关的新情境问题
以数列为背景的情境问题，主要有三类：
(1) 取材于中国古代数学名著，如《周髀算经》 、《九章算术》 、《孙子算经》 、《梦溪笔谈》 、《九章算术注》 、《算法统宗》 、《四元玉鉴》等，这类问题注重考查阅读理解能力、提取信息能力、数学建模能力以及通过计算解决问题的能力．
(2) 取材于数学名题，如“斐波那契数列” “等方差数列” “中国剩余定理”(又称“孙子定理”) “三角形数阵” “冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)等，这类问题以数学名题为背景设题，强化了对数学文化的秉承和数学应用意识的培养，考查了数学建模、数据分析的核心素养．
(3) 对于数学文化或实际生活中所涉及的数列模型，解题时应认真审题，从问题背景中提取相关信息并分析归纳，然后构造恰当的数列模型，再根据等差或等比数列的有关公式求解作答，必要时要进行检验．
考点一 与历史文化相关
例1　(1) （湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第15项为（ ）
A．196 B．197 C．198 D．199
【详解】设该数列为，则；由二阶等差数列的定义可知，所以数列是以为首项，公差的等差数列，即，所以将所有上式累加可得，所以；即该数列的第15项为.故选：C
(2) “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到1 009这1 009个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则该数列共有(　　)
A. 100项 B. 101项
C. 102项 D. 103项
【解析】 因为能被2除余1且被5除余1的数就能被10整除余1，所以按从小到大的顺序排成一列可得an＝10n－9，由an＝10n－9≤1 009，得n≤101.8，故此数列的项数为101.
故选B
跟踪演练1 （1） “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　　)
A. f B. f
C. f D. f
【解析】 由题意知，十三个单音的频率构成首项为f，公比为的等比数列，设该等比数列为{an}，则a8＝a1q7，即a8＝f.
故选D
（2）公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000 m处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000 m，此时乌龟便领先他100 m；当阿基里斯跑完下一个100 m时，乌龟仍然前于他10 m．当阿基里斯跑完下一个10 m时，乌龟仍然前于他1 m……所以阿基里斯永远追不上乌龟．根据这样的规律，则阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2 m时，乌龟爬行的总距离为(　　)
A. m B. m
C. m D. m
【解析】 根据条件，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，公比为.当阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2 m时，乌龟爬行的总距离为100＋10＋…＋10－2＝＝.
故选B
考点二 与生活实际相关
例2　 （1）某公司为了激励创新，计划逐年加大研发资金的投入．若该公司2019年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)(　　)
A. 2021 B. 2022
C. 2023 D. 2024
【解析】设第n年的研发投资资金为an，且a1＝130，则an＝130×1.12n－1，由题意知只需an＝130×1.12n－1>200，两边取以10为底的对数，得lg(130×1.12n－1)>lg200，即lg1.12n－1>lg200－lg130，所以lg1.12n－1＞lg，所以(n－1)lg1.12＞lg，即(n－1)lg1.12＞lg2－lg1.3，所以n－1＞≈＝3.8，所以n≥5，故从2023年起该公司全年投入的研发资金超过200万．故选C.
（2）（山东省青岛市2023届高三下学期第一次适应性检测）1979年,李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题:“5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来,先吃掉1个桃子,然后将其分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来,吃掉1个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自己的一份睡觉去了;以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子 最后至少剩下多少个桃子 ”.下列说法正确的是( )
A．若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则
B．若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则为等比数列
C．若最初有个桃子,则第只猴子分得个桃子(不含吃的)
D．若最初有个桃子,则必有的倍数
【详解】设最初有个桃子,猴子每次分剩下的桃子依次为,则
,若第n只猴子分得个桃子(不含吃的),则
, 所以,
即,故A正确;由A，,
则,即是等比数列,
若第n只猴子连吃带分共得到个桃子,则,所以是以为公比的等比数列,故B正确.由B知,是等比数列,所以,
即,若最初有个桃子,即,
所以,故C错误;根据题意:,因为以为公比的等比数列, 所以,
化简得,因为,且为正整数,所以,即必有的倍数,故D正确.故选:ABD.
跟踪演练2 （1）形状、节奏、声音或轨迹，这些现象都可以分解成自复制的结构．即相同的形式会按比例逐渐缩小，并无限重复下去，也就是说，在前一个形式中重复出现被缩小的相同形式，依此类推，如图所示，将图1的正三角形的各边都三等分，以每条边中间一段为边再向外作一个正三角形，去掉中间一段得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”；依次进行“n次分形”，得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，则n最小值是(取lg3≈0.477 1，lg2≈0.301 0)(　　)
【解析】 设正三角形的一条边长为a，“一次分形”后变为长为的折线，“二次分形”后折线长度为2a，…，“n次分形”后折线长度为na，所以要得到一个周长不小于初始三角形周长100倍的分形图，则满足na≥100a，两边同时取常用对数得nlg≥lg100＝2，即n(2lg2－lg3)≥2，解得n≥＝≈16.01，故至少需要17次分形．故选C
（2）（广东省佛山市2023届高三教学质量检测（一））佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高度153.6米.坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基，支托上部5个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构.底部4个方体高度均为33.6米，中间第5个方体也为33.6米高，再往上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为19.2米高.
(1)请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列的通项公式，该数列以33.6为首项，并使得24和19.2也是该数列的项；
(2)佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米.根据你得到的等差数列，连续取用该数列前m（）项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为、、、……、（表示高度为的方体连续堆叠层的总高度），请问新堆叠坊塔的高度是否超过310米？并说明理由.
【详解】（1）由题意可知：，注意到，取等差数列的公差，则，令，解得，即24为第5项；令，解得，即19.2为第7项；故符合题意.
（2）可以，理由如下：
由（1）可知：，
设数列的前项和为，∵，故新堆叠坊塔的高度可以超过310米.
专题强化练
1. (2021·西安三模)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N*)个圆环所需移动的最少次数，若a1＝1，且an＝则解下5个环所需的最少移动次数为(　　)
A. 7 B. 13
C. 16 D. 22
1. C　【解析】 由于a1＝1，所以a2＝2a1－1＝1，a3＝2a2＋2＝4，a4＝2a3－1＝7，a5＝2a4＋2＝16.
2. (2021·东莞二模)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，已知第n行的所有数字之和为2n－1，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，…，则此数列的前56项和为(　　)
A. 2 060 B. 2 038
C. 4 084 D. 4 108
2. C　【解析】 n次二项式系数对应杨辉三角形的第n＋1行，例如(x＋1)2＝x2＋2x＋1，系数分别为1,2,1，对应杨辉三角形的第3行，令x＝1，就可以求出该行的系数之和，第1行为20，第2行为21，第3行为23，以此类推，即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n行和为Sn＝＝2n－1.若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1,2,3,4，…，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则Tn＝，可得当n＝12，去除两端“1”可得78－23＝55，则此数列前55项和为S12－23＝212－1－23＝4 072，所以第56项为第13行去除1的第一个数C＝12，所以该数列前56项和为4 072＋12＝4 084.
3. (2021·邵阳二模)《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为(参考数据：lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，结果精确到0.1)(　　)
A. 2.2天 B. 2.4天
C. 2.6天 D. 2.8天
3. C　【解析】 设蒲的长度组成等比数列{an}，a1＝3，公比为，其前n项和为Am，莞的长度组成等比数列{bn}，b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn，则An＝，Bn＝，令＝，化为2n＋＝7，解得2n＝6或2n＝1(舍去)，所以n＝＝1＋≈2.6.所以估计2.6日蒲、莞长度相等．
4. (2021·南京期末)十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为(参考数据：lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1)(　　)
A. 3 B. 4
C 5 D. 6
4. B　【解析】 第一次操作去掉的区间长度为；第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为；第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为；…；第n次操作去掉2n－1个长度为的区间，长度和为.于是进行了n次操作后，所有去掉的区间长度之和为Sn＝＋＋…＋＝1－n，由题意，1－n≥，即nlg≤lg，解得n≥3.97.又n为整数，所以n的最小值为4.
5. （广东省深圳市2023届高三第一次调研）将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【详解】根据题意可知，每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的，所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的，由此可得，第次操作之后所得图形的面积是，即经过4次操作之后所得图形的面积是.故选：A
6. （多选）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法中正确的是(　　)
A. 此人第三天走了四十八里路
B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C. 此人第二天走的路程占全程的
D. 此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
6. ABD　【解析】设此人第n天走an里路，则{an}是首项为a1，公比为q＝ 的等比数列，所以S6＝＝＝378，解得a1＝192，因为a3＝a1q2＝192×＝48，所以A正确；由a1＝192，则S6－a1＝378－192＝186，又192－186＝6，所以B正确；因为a2＝a1q＝192×＝96，且S5＝94.5<96，所以C不正确；因为a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝192×＝336，所以后3天走的路程为378－336＝42，又42×8＝336，所以D正确．故选ABD.
7. （多选）中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还a升，b升，c升，1斗为10升，那么下列判断中正确的是(　　)
A. a，b，c构成公比为2的等比数列
B. a，b，c构成公差为2的等差数列
C. a＝
D. c＝
　【解析】由题意可知b＝a，c＝b，所以＝，＝，所以a，b，c构成等比数列且公比为.因为1斗＝10升，所以5斗＝50升，所以a＋b＋c＝50，因为a＝4c，b＝2c，所以4c＋2c＋c＝50，所以7c＝50，所以c＝.故选AD.
8.小明用数列{an}记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k天下过雨时，记ak＝1；当第k天没下过雨时，记ak＝－1(1≤k≤31)．他用数列{bn}记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k天有雨时，记bn＝1；当预报第k天没有雨时，记bn＝－1.记录完毕后，小明计算出a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋a31b31＝25，那么该月气象台预报准确的总天数为________．　
8. 28　【解析】 由题意，气象台预报准确时akbk＝1，不准确时akbk＝－1，因为a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋a31b31＝25＝28－3，所以该月气象台预报准确的总天数为28.
9.赵先生准备通过某银行贷款5 000元，然后通过分期付款的方式还款．银行与赵先生约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为0.5%，则赵先生每个月所要还款的钱数为________元.
9. 430.33　【解析】 设每一期所还款数为x元，因为贷款的月利率为0.5%，所以每期所还款本金依次为，，，…，，则＋＋＋…＋＝5 000，即x＝5 000，即x＝5 000，即x＝5 000，x＝≈430.33，小明每个月所要还款约430.33元．
10.北宋时期的科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》一书中提出一个有趣的问题，大意是：酒店把酒坛层层堆积，底层摆成长方形，以后每上一层，长和宽两边的坛子各少一个，堆成一个棱台的形状，如图(1)，那么总共堆放了多少个酒坛？沈括给出了一个计算酒坛数量的方法——隙积术，设底层长和宽两边分别摆放a，b个坛子，一共堆了n层，则酒坛的总数为S＝ab＋(a－1)(b－1)＋(a－2)(b－2)＋…＋(a－n＋1)(b－n＋1)．现在将长方形垛改为三角形垛，即底层摆成一个等边三角形，向上逐层等边三角形的每边少1个酒坛，如图(2)，若底层等边三角形的边上摆放10个酒坛，顶层摆放1个酒坛，那么酒坛的总数为________．
图(1)　 　图(2)
10. 220　【解析】 每一层酒坛按照正三角形排列，从上往下数，最上面一层的酒坛数为1，第二层的酒坛数为1＋2，第三层的酒坛数为1＋2＋3，第四层的酒坛数为1＋2＋3＋4，…，由此规律，最下面一层的酒坛数为1＋2＋3＋…＋10，所以酒坛的总数为1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＋…＋(1＋2＋3＋…＋10)＝1＋3＋6＋…＋55＝220.
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