《直通名校》高考热点新情境6 与概率统计相关的新情境问题（含解析）-高考数学大二轮专题复习

与概率统计相关的新情境问题
热点一 生产生活情境下的预测与决策
例1、每天在业余时间进行慢走与慢跑，可加强人的心脏功能，保持血压稳定，可加速脂质代谢，防止血脂升高，同时，还能提高人体免疫功能，增强防御疾病的能力，有助于身心健康，使人精力充沛.某企业为了了解本企业员工每天慢走与慢跑的情况，对每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工，随机抽取n人进行调查，将既参加慢走又参加慢跑的人称为“H族”，否则称为“非H族”，得如下的统计表以及每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工人数的频率分布直方图（部分）∶
组数 分组 人数 本组中“H族”的比例
第一组 [25，30) 200 0.6
第二组 [30，35) 300 0.65
第三组 [35，40) 200 0.5
第四组 [40，45) 150 0.4
第五组 [45，50) a 0.3
第六组 [50，55) 50 0.3
（1）试补全频分布直方图，并求与n的值；
（2）从每天慢走时间在[40，50）（分钟）内的“H族”中按时间采用分层抽样法抽取6人参加企业举办的健身沙龙体验活动，再从这6人中选2人作健身技巧与减脂秘籍的发言，求这2人每天慢走的时间恰好1人在[40，45）分钟内，另一个人在[45，50）分钟内的概率
【提示】（1）利用所有组的频率之和等于1，算出第二组的频率，得到第二组矩形的高，补全频率分布直方图，由第一组的频率和频数计算样本容量，再计算第五组的频数；
（2）按分层抽样的法则在两个组中抽取对应人数，从这6人中选2人，列出样本空间，看其中恰好1人在[40，45）分钟内，另一个人在[45，50）分钟内占多少种基本事件，计算相应概率；
【答案】（1）直方图见解析，，；（2）
【解析】（1））第二组的频率为，
所以第二组小矩形高为．补全后的频率直方图如下：
第一组的频率为，所以．
第五组的频率为，所以．
（2）因为分钟的“H族”人数为，
分钟的“H族”人数为，二者比例为，
所以按时间采用分层抽样法抽取6人，分钟内抽取4人，分钟内抽取2人．
设这2人每天慢走的时间恰好1人在分钟，另一个人在分钟为事件Q，
在分钟内抽取4人记为A，B，C，D，分钟内抽取2人记为a，b，
则有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，
共15种不同的抽取方法，事件Q有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，共8种，
所以，即选出发言的2人每天慢走的时间恰好1人在分钟内，
另一个人在分钟内的概率为；
跟踪演练1 某厂加工的零件按箱出厂，每箱有12个零件，在出厂之前需要对每箱的零件作检验，人工检验方法如下：先从每箱的零件中随机抽取5个零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，则停止检验；若抽取的零件至少有1个至多有4个次品，则对剩下的7个零件逐一检验．已知每个零件检验合格的概率为0.9，每个零件是否检验合格相互独立，且每个零件的人工检验费为3元．
(1) 设1箱零件人工检验总费用为X元，求X的分布列；
(2) 除了人工检验方法外还有机器检验方法，机器检验需要对每箱的每个零件作检验，每个零件的检验费为2元，现有1 000箱零件需要检验，以检验总费用的数学期望为依据，在人工检验与机器检验中，应该选择哪一个？说明你的理由．
【解析】 (1) X的可能取值为15,36，
P(X＝15)＝0.95＋0.15＝0.590 49＋0.000 01＝0.590 5，
P(X＝36)＝1－0.590 5＝0.409 5，
则X的分布列为
X 15 36
P 0.590 5 0.409 5
(2) 由(1)知，E(X)＝15×0.590 5＋36×0.409 5＝23.599 5，
所以1 000箱零件的人工检验总费用的数学期望为E(X)＝1 000×23.599 5＝23 599.5(元)．
因为1 000箱零件的机器检验总费用的数学期望为2×12×1 000＝24 000元，且24 000>23 599.5，所以应该选择人工检验．
热点二 复杂情境下的统计图表的分析与应用
例2、（1）（多选）（2023·福建厦门·统考模拟预测）今年春节档两部电影票房突破20亿大关，《满江红》不负众望，凭借喜剧元素和家国情怀，以25.96亿票房成为档期内票房冠军，另一部科幻续作《流浪地球2》则成为最高口碑电影．下图是这两部电影连续7天的日票房情况，则（ ）
A．《满江红》日票房平均数大于《流浪地球日票房平均数
B．《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差
C．《满江红》日票房极差小于《流浪地球2》日票房极差
D．《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数
【答案】ABD
【分析】根据图表信息逐一判断即可.
【详解】由图表可得《满江红》日票房都大于《流浪地球日票房，所以《满江红》日票房平均数大于《流浪地球2》日票房平均数，A正确;
由图可得《满江红》日票房单日票房数据波动更大，《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差，所以B正确.
《满江红》日票房极差大于《流浪地球日票房极差，故C错误；
因为，《满江红》日票房的第25百分位数是从小到大排序第个数，
因为，《流浪地球2》日票房的第75百分位数是从小到大排序第个数，
《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数，所以D正确.
故选：ABD.
（2）构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应党的号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示是该校高三(1)、(2)班在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图(得分越高，说明该项教育越好)．下列说法正确的是(　　)
A. 高三(2)班五项评价得分的极差为1.5
B. 除体育外，高三(1)班的各项评价得分均高于高三(2)班对应的得分
C. 高三(1)班五项评价得分的平均数比高三(2)班五项评价得分的平均数要高
D. 各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大
C　【解析】 对于A，高三(2)班德智体美劳各项得分依次为9.5,9,9.5,9,8.5，所以极差为9.5－8.5＝1，A错误；对于B，两班的德育分相等，B错误；对于C，高三(1)班的平均数为＝9.35，高三(2)班的平均数为＝9.1，故C正确；对于D，两班的体育分相差9.5－9＝0.5，而两班的劳育得分相差9.25－8.5＝0.75，D错误．
跟踪演练2、（1）（多选）新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试(合格考)和选择性考试(选择考)．其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A，B，C，D，E五个等级．某试点高中2020年参加“选择考”的总人数是2018年参加“选择考”的总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2018年和2020年“选择考”成绩等级结果，得到如图所示的图表．
针对该校“选择考”的情况，2020年与2018年相比较，下列说法中不正确的是(　　)
A. 获得A等级的人数减少了
B. 获得B等级的人数增加了1.5倍
C. 获得D等级的人数减少了一半
D. 获得E等级的人数相同
ACD　【解析】设2018年参加考试的人数为x，则2020年参加考试的人数为2x，根据图表得出两年中各个等级的人数如下表：
年份 A B C D E
2018 0.28x 0.32x 0.30x 0.08x 0.02x
2020 0.48x 0.8x 0.56x 0.12x 0.04x
由表可知A，C，D错误，B正确．故选ACD.
（2）（多选）（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）年月日，工业和信息化部成功举办第十七届“中国芯”集成电路产业大会．此次大会以“强芯固基以质为本”为主题，旨在培育壮大我国集成电路产业，夯实产业基础、营造良好产业生态.某芯片研发单位用在“A芯片”上研发费用占本单位总研发费用的百分比如表所示. 已知，于是分别用p＝和p＝得到了两条回归直线方程：，，对应的相关系数分别为、，百分比y对应的方差分别为、，则下列结论正确的是（ ）（附：，）
年份
年份代码x
p q
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据已知条件，结合方差、相关系数的定义，以及最小二乘法公式即可求解.
【详解】时，，变量、呈线性正相关，故，故A正确；
方差反映数据的稳定性，显然时更稳定，故此时方差更小，即，故B正确；
由于，当时，
，
当时，，
所以，故C正确；
因为，所以时，，故D错误.
故选：ABC
专题强化练
1、（多选）由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信研行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测．结合下图，下列说法正确的是(　　)
A. 5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加
B. 设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓
C. 设备制造商在各年总经济产出中一直处于领先地位
D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势
ABD　【解析】 由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服务商处于领先地位，故C项表达错误．A，B，D正确．
2．（多选）（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考二模）如图为国家统计局公布的2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，则（ ）
A．2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出均呈增长趋势
B．2017~2022年全国城镇居民人均消费支出的中位数为27535
C．2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入的极差大于人均消费支出的极差
D．2022年全国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的比例大于80%
【答案】BC
【分析】根据图表逐项进行判断即可求解.
【详解】对于，由图知年全国城镇居民人均可支配收入呈增长趋势，但人均消费支出2020年比2019年少，所以A不正确；
对于B，由图可知年全国城镇居民人均消费支出的中位数为，所以B正确；
对于C，年全国城镇居民人均可支配收入的极差为，人均消费支出的极差为，所以C正确；
对于D，2022年全国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的比例为，小于，所以D不正确.
故选：BC.
3．（2023·北京·人大附中校考模拟预测）某班在一次考试后分析学生在语文 数学 英语三个学科的表现，绘制了各科年级排名的散点图（如下图所示）．
关于该班级学生这三个学科本次考试的情况，给出下列四个结论：
①三科中，数学年级排名的平均数及方差均最小；
②语文、数学、英语年级排名均在150名以外的学生为1人；
③本次考试该班语文第一名、数学第一名、英语第一名可能为三名不同的同学；
④从该班学生中随机抽取1人，若其语文排名大于200，则其英语和数学排名均在150以内的概率为．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①②④
【分析】依据平均数和方差的定义判断①；求得语文、数学、英语年级排名均在150名以外的学生人数判断②；求得语文第一名、数学第一名、英语第一名的同学判断③；求得从该班学生中随机抽取1人，若其语文排名大于200，则其英语和数学排名均在150以内的概率判断④.
【详解】①：三科中，数学对应的点比英语对应的点到横轴的距离近且较为密集，
数学对应的点到横轴的距离比语文对应的点到纵轴距离近且较为密集，
所以数学年级排名的平均数及方差均最小.判断正确；
②：语文、数学、英语年级排名均在150名以外的学生为1人.判断正确；
③：本次考试该班语文第一名、数学第一名、英语第一名为同一名同学.判断错误；
④：由图表可知语文排名大于200的有3位同学，
语文排名大于200且英语和数学排名均在150以内的同学仅有1位同学.
故从该班学生中随机抽取1人，若其语文排名大于200，
则其英语和数学排名均在150以内的概率为．判断正确.
故答案为①②④
4．（2023·上海长宁·统考一模）甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图所示，则在这7天中；
①甲城市日均气温的中位数与平均数相等
②甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定
③乙城市日均气温的极差为
④乙城市日均气温的众数为
以上判断正确的是___________（写出所有正确判断的序号）
【答案】①④
【分析】根据图表得到气温数据，依次计算每个选项得到答案.
【详解】甲城市的气温分别为：；
乙城市的气温分别为：.
对选项①：甲城市气温的中位数为；平均数为，正确；
对选项②：根据折线图知乙城市的日均气更温稳，错误；
对选项③：乙城市日均气温的极差为，错误；
对选项④：乙城市日均气温的众数为，正确.
故答案为：①④
5．（2023·上海静安·统考二模）某运动生理学家在一项健身活动中选择了10名男性参与者，以他们的皮下脂肪厚度来估计身体的脂肪含量，其中脂肪含量以占体重（单位：kg）的百分比表示.得到脂肪含量和体重的数据如下
个体编号 体重x（kg） 脂肪含量y（%）
1 89 28
2 88 27
3 66 24
4 59 23
5 93 29
6 73 25
7 82 29
8 77 25
9 100 30
10 67 23
建立男性体重与脂肪含量的回归方程为：___________.（结果中回归系数保留三位小数）
【答案】
【分析】根据表格数据，结合最小二乘估计求解相关数据，即可得回归方程.
【详解】由表格数据可得：
，，，，
设回归直线方程为，其斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，
所以，，
故回归方程为.
故答案为：.
6．（2023·河北·统考模拟预测）随着网络技术的迅速发展，直播带货成为网络销售的新梁道.某服装品牌为了给所有带货网络平台分配合理的服装量，随机抽查了100个带货平台的销售情况，销售每件服装平均所需时间情况如下频率分布直方图.
(1)求的值，并估计出这100个带货平台销售每件服装所用时间的平均数和中位数；
(2)假设该服装品牌所有带货平台销售每件服装平均所需时间服从正态分布，其中近似为，.若该服装品牌所有带货平台约有10000个，销售每件服装平均所需时间在范围内的平台属于“合格平台”.为了提升平台销售业务，该服装品牌总公司对平台进行奖罚制度，在时间大于44.4分钟的平台中，每个平台每卖一件扣除；在时间小于14.4分钟的平台中，每卖一件服装进行奖励元，以资鼓励；对于“合格平台”每卖一件服装奖励1元.求该服装品牌总公司在所有平台均销售一件服装时总共需要准备多少资金作为本次平台销售业务提升.（结果保留整数）
附：若服从正态分布，则，，.参考数据：.
【答案】(1)，，中位数为
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图中矩形面积为1可得，再根据平均数与中位数的算法求解即可；
（2）根据正态分布概率公式可得所以在时间大于分钟与小于分钟在平台内的数量，进而根据题意可得所需准备的资金表达式，再求导分析最值求解即可.
【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得.
故平均数.
设中位数为，因，，故，则，解得，即中位数为.
（2）由题意，，且，，
故，
所以在时间大于分钟的平台内约有件；，
所以在时间小于分钟的平台内约有件；
则“合格平台”约有件，
所以需要资金为 ，
由于，可令，则，令有，当时，递减；
当时，递增；
故有最小值，故至少需要准备元.
7．（2023·四川·校联考模拟预测）党的二十大报告提出，从现在起，中国共产党的中心任务就是团结带领全国各族人民全面建成社会主义现代化强国、实现第二个百年奋斗目标，以中国式现代化全面推进中华民族伟大复兴.高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务.加快实现高水平科技自立自强，才能为高质量发展注入强大动能.某科技公司积极响应，加大高科技研发投入，现对近十年来高科技研发投入情况分析调研，其研发投入y（单位：亿元）的统计图如图1所示，其中年份代码x=1，2，…，10分别指2013年，2014年，…，2022年.
现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下值：
75 2.25 82.5 4.5 120 28.67
表中．
(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
(2)根据（1）中所选模型，求出y关于x的回归方程；根据所选模型，求该公司2028年高科技研发投入y的预报值．（回归系数精确到0.01）
附：对于一组数据其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
【答案】(1)选择模型②，利用见解析
(2)，.
【分析】（1）根据残差点的分布可得出结论；
（2）令，可得出，利用参考数据可求出、的值，可得出关于的回归方程，然后将代入回归方程，可得出该公司年高科投研发投入的预报值.
【详解】（1）应该选择模型②，理由如下：
由于模型②残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型①带状宽度窄，
所以模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型②比较合适.
（2）根据模型②，令，研发投入与可用线性回归来拟合，有.
则，所以，
则关于的线性回归方程为，
所以关于的回归方程为，
年，即时，（亿元），
所以该公司年高科技研发投入的预报值为（亿元）.
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