《直通名校》高考热点新情境3 与函数导数相关的新情境问题（含解析）-高考数学大二轮专题复习

与函数导数相关的新情境问题
热点一 幂函数、指数函数与对数函数
例1、（1）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数；
例如：.已知，则函数的值域为
A． B． C． D．
【提示】注意理解新定义并构建与指数函数的关联；
【答案】
【解析】，
当时，，则，故，故；
但时，，则，故，；
综上所述，函数的值域为；
【说明】本题主要考查新定义函数及函数值域求解问题；解答本题的关键在于利用常数分离法将原函数解析式化为，然后分析函数的值域，再根据高斯函数的含义确定的值域；
（2）、如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中错误的说法有（ ）
A．野生水葫芦的面积每月增长率为1
B．野生水葫芦从蔓延到历时至少需要1.5个月
C．设野生水葫芦蔓延到，，所需的时间分别为，，，则有
D．野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度小于在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度
【提示】注意根据图像求出指数函数的解析式，再根据解析式、增长率的定义、平均速度的定义以及对数知识可得答案；
【答案】B；
【解析】因为函数关系为指数函数，所以设函数为，由图可知，，所以，
所以，
设野生水葫芦的面积每月增长率为，则第个月的面积，第个月的面积为，
则，得，得，
所以野生水葫芦的面积每月增长率为1，故A正确；
由，得，得，
由，得，得，
所以野生水葫芦从蔓延到的时间为，
因为，所以，所以，B是错误的；
因为，，，
所以，，，
所以，，
所以，故C正确；
野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度为月，
野生水葫芦在第2个月到第4个月之间蔓延的平均速度为月，故D正确；
故选：B；
【说明】本题将数学阅读理解、指数函数的图像与性质的理解与应用，置于整理环境的背景下；
跟踪演练1（1）、《中华人民共和国国家标准综合排放标准》中一级标准规定的氨氮含量允许排放的最高浓度为15ml/L．某企业生产废水中的氨氮含量为450ml/L，现通过循环过滤设备对生产废水的氨氮进行过滤，每循环一次可使氨氮含量减少，要使废水中的氨氮含量达到国家排放标准，至少要进行循环的次数为 次(参考数据lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)
【提示】注意阅读理解与转化；
【答案】9
【解析】由题意可知，循环n次后氨氮含量为450×(1－)n，则450×(1－)n＜15，即()n＜，
两边取以10为底的对数可得，lg()n＜lg，即nlg＜lg，
所以n＞＝＝≈8.39，
所以n的最小值为9，
故填：9；
【说明】本题主要通过阅读理解，依据题设构建与指数函数、指数与对数互化，并进行近似计算；
（2）、2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可.良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间T（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量），经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量约是原来的，据此推测良渚古城存在的时期距今约________年（参考数据：，，）
【提示】注意理解与用好题设，得，，求解指数方程得，则答案可求；
【答案】6876；
【解析】因为，样本中碳14的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足，
由于良渚古城遗址文物样本中碳14的质量约是原来的，
所以，，
即，两边同时取以2为底的对数，得：
．
所以，年．
所以，推测良渚古城存在的时期距今约在6876年．
故答案为：6876；
【说明】本题主要将考查指数型函数的应用，考查对数的运算；置于“考古”的背景之中；意在考查学生对这些知识的理解掌握水平与对数运算；
热点二 函数的概念、性质及应用
例2（1）、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数.设，则函数的所有零点之和为
【提示】注意寻找新定义与函数的零点的交汇；
【答案】；
【解析】由题意知，当时，，所以不是函数的零点，
当时，可得，，
令，
作出函数的图象如图所示：
由图象可知，除点外，函数图象其余交点关于（0，1）中心对称，所以，横坐标互为相反数，即，
由函数零点的定义知，函数的所有零点之和为.
故选：；
【说明】本题考查函数的新定义、函数零点的求解和函数图像及其性质；考查运算求解能力、转化与化归能力和数形结合思想；把函数零点问题转化为两个函数图像的交点问题是求解本题的关键；属于创新题、难度较大型试题；主要是：由题意知，当时，，所以不是函数的零点，当时，令，作出函数的图象，利用数形结合思想，结合函数零点的定义即可求解；
（2）、血药浓度(Plasma Concentration)是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，错误的是（ ）
A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
【提示】注意仔细阅读，理解与等价转化；
【答案】D；
【解析】从图先中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；
根据图像可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒，B正确；
服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；
第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误；
故选：D；
【说明】本题关键是会根据函数图像，数形结合地验证函数的性质；
跟踪演练2（1）、先阅读下面的文字：“求的值时，采用了如下的方法：
令，两边同时平方得，比较这两个式子可得，解得(负值舍去)。”可以用类比的方法，求得的值为 。
【提示】注意阅读理解与转化；
【答案】；
【解析】设，则，即，解得(负值舍去)；
【说明】本题考查了类比联想思想，通过类比情景；善于从给出的题设解法进行类比、推广与拓展；解答的关键是要善于分析问题，提高解题的悟性；
（2）、黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：，
若函数是定义在R上的奇函数，且对任意x都有，
当时，，则__________．
【提示】注意理解新定义与函数性质研究方法的交汇；
【答案】；
【解析】根据题意，对任意x都有，
令，则有，
又由，故，
又由，则有，
故；
故答案为：
【说明】本题主要根据题中定义的“背景”，通过等价转化再结合对数的运算性质进行求解即可；
专题强化练
1、2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.
设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【提示】注意在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，确定“主变量”，解方程、近似计算；
【答案】D；
【解析】由，得
因为，所以，
即，解得，
所以
【说明】本题注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查，并置于“航天素材”的背景之中；建立的方程，解方程、近似计算；由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错；
2、德国著名数学家、解析数论的创始人狄利克雷（1805年2月13日~1859年5月5日），对函数论、三角级数论等都有重要贡献，主要著作有《数论讲义》《定积分》等；狄利克雷函数就是以其名字命名的函数，其解析式为则下列关于狄利克雷函数的判断错误的是（ ）
A．对任意有理数t，
B．对任意实数x，
C．既不是奇函数也不是偶函数
D．存在实数x，y，
【提示】理解新定义“狄利克雷函数”；
【答案】C；
【解析】对于A，对任意有理数t，当x为有理数时，为有理数，则；
当x为无理数时，为无理数，则，故A正确；
对于B，若x为有理数，则；若x为无理数，则，故B正确；
对于C，当x为有理数时，则为有理数，则；当x为无理数时，则为无理数，
则，于是对任意实数x，都有，即狄利克雷函数为偶函数，故C错误；
对于D，取，，因为为无理数，所以，故D正确；
故选：C；
【说明】本题依托新定义“狄利克雷函数”，考查了教材对函数的概念理解与研究函数性质的方法与过程；
3、深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A．72 B．74 C．76 D．78
【提示】注意阅读理解，用好题设的等量关系；
【答案】B；
【解析】由于，所以，
依题意，则，
则，
由，
所以，即，
所以所需的训练迭代轮数至少为74次．
故选：B；
【说明】本题主要考查“仔细阅读理解”，规范对数运算与正确计算；
5、1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为数学史上的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数（且）的反函数为（且）；
已知函数，，则对于任意的，有恒成立，
则实数k的取值范围为
【提示】注意阅读理解、构造与等价转化；
【答案】；
【解析】由题意，的反函数．
对于任意的，有，
即，可转化为，
则函数在上单调递增．
设，则在上恒成立
即在上恒成立
又，则，
故选：；
【说明】本题在数学史背景下，主要考查指、对数函数间关系与函数性质的研究；借助导数知识进行等价转化；
6、某火电厂对其使用的燃煤进行精细化碳排放污染物控制，产生的废气经过严格过滤后排放，己知过滤过程中废气的剩余污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：小时)之间的关系式为其中为废气中原污染物总量，k为常数．若过滤开始后经过3个小时废气中的污染物被过滤掉了原污染物总量的50%，那么要使废气中剩余污染物含量不超过5%，过滤开始后需要经过n小时，则k＝ ，正整数n的最小值为 ．
(参考数据：ln2≈0.693，ln5≈1.609)
【提示】注意 题设给定的函数进行计算；
【答案】ln2；13
【解析】由题意可得：时，，所以，解得：，
令可得：，即，
所以，
所以正整数的最小值为，
故答案为：；.
【说明】本题主要将指数型函数与指、对数运算置于“环保”的背景下；
7、为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．
给出下列四个结论：
①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是________．
【提示】注意数形结合地阅读理解；
【答案】①②③；
【解析】由题图可知甲企业的污水排放量在t1时刻高于乙企业，而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；
由题图知在t2时刻，甲企业对应的关系图象斜率的绝对值大于乙企业，故②正确；
在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，③正确；
甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力明显低于[t1，t2]时的，
故④错误；
【说明】本题主要将识图，数形结合研究函数的方法值域“环境治理”的背景下；
4、同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数），对于函数以下结论正确的是______.（填序号）
①是函数为偶函数的充分不必要条件；②是函数为奇函数的充要条件；
③如果，那么为单调函数；④如果，那么函数存在极值点.
【提示】注意研究函数的方法；①和②根据，与函数奇偶性的关系判断充要条件，③和④借助于导数分类讨论判断单调性即可；
【答案】②③④；
【解析】对于①当时，函数定义域为R关于原点对称
，故函数为偶函数，
当函数为偶函数时，故
，又因为定义域为R，所以不为，故
所以是函数为偶函数的充要条件，故①错误.
对于②当时，函数定义域为R关于原点对称，故函数为奇函数
当函数为奇函数时，因为，
故.所以是函数为奇函数的充要条件，故②正确.
对于③因为
若则恒成立，则为单调递增函数，
若则恒成立，则为单调递减函数，
故，函数为单调函数，故③正确.
对于
④，令得，又因为
若
当，，函数为单调递减.
当，，函数为单调递增.
故函数 存在唯一的极小值.
若
当，，函数为单调递增.
当，，函数为单调递减.
故函数存在唯一的极大值.
所以函数存在极值点，故④正确.
故答案为：②③④；
【说明】①函数的奇偶性是函数的一个整体性质，函数具备奇偶性的前提是定义域必须关于原点对称.
②判断奇偶性牢牢把握，的和差与奇偶性的关系.
③利用导数判断函数单调性时，注意关注导数值的正负，得到原函数的单调性.
④分类讨论时注意巧用分类依据所对应的范围，准确判断导数的正负，为得到函数的单调性和极值相关结论创造必要条件；
8生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，则______；若2023年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的75%，则可推断该文物属于______．（填“战国”“汉”“唐”或“宋”）
参考数据：．
参考时间轴：
；
【提示】由题意当时，，求出a；得到解析式，令解方程即可得到答案；
【答案】5730 ；战国；
【解析】依题意，当时，，则有，解得；
于是得，，当时，，于是得，
解得，由，得对应朝代为战国，所以可推断该文物属于战国；
故答案为：5730；战国；
【说明】本题主要将指数与对数运算置于“考古素材”的背景中；