《直通名校》高考热点新情境5 与解析几何相关的新情境问题（含解析）-高考数学大二轮专题复习

与解析几何相关的新情境问题
热点一 与生产生活相关
例1 （1）（2023·河北·邯郸冀南新区育华实验学校高三期中）图1展示的是某电厂的冷却塔，已知该冷却塔的轴截面是中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的一部分（图2），该冷却塔上口的直径是塔身最窄处直径的2倍，且塔身最窄处到冷却塔上口的高度等于塔身最窄处的直径．则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设双曲线的方程为，
如图：由题意可知：，，
又因为塔身最高处到冷却塔上口的高度等于塔身最窄处的直径，所以点，
将点代入曲线方程，解得：，
所以该双曲线的离心率，
故选：B.
（2）（2023·辽宁·本溪满族自治县高级中学高三阶段练习）香港科技大学“逸夫演艺中心”鸟瞰图如图1所示，最上面两层类似于离心率相同的两个椭圆，我们把离心率相同的两个椭圆叫做“相似椭圆”.如图2所示，在“相似椭圆”中，由外层椭圆的下顶点和右顶点分别向内层椭圆引切线，且两切线斜率之积等于，则该组“相似椭圆”的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设内层椭圆的方程为，
因为内外椭圆离心率相同，所以外层椭圆可设成，
设切线的方程为，与联立，得，
又，所以.
设切线的方程为，与联立，得，
又，所以.又，
所以，因此.
故选：D.
（3）（2023·四川·绵阳中学高三阶段练习）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6cm，下底直径为9cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为______cm．
【答案】
【详解】
由已知，以最细处所在的直线为轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，
设双曲线方程为，
由已知可得，，且，
所以，所以双曲线方程为，
底直径为6cm，所以双曲线过点，
下底直径为9cm，高为9cm，所以双曲线过点，代入双曲线方程得：
，解得： ，
所以喉部（最细处）的直径为 cm.
故答案为：.
跟踪演练1（1）（2023·河南·宜阳县第一高级中学高三阶段练习）单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为 ，楼底的直径为，楼顶直径为，最细处距楼底 ，则该地标建筑的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：以地标建筑的最细处所在直线为 轴，双曲线的虚轴为 轴，建立平面直角坐标系如图所示.
由题意可得：，，
设，双曲线的方程是，
则，解得 ，
所以双曲线的方程是：，
将点代入得，
解得，
所以该地标建筑的高为： .
故选： .
（2）（2023·辽宁实验中学高三期中）曲线四叶玫瑰线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，苜蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状．以下曲线方程能表达该图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由图象知曲线关于两坐标轴成轴对称图形，关于原点成中心对称图形，
换成时，D选项方程变为，与原方程不相同，D错；
换成时，B选项方程变为，与原方程不相同，B错；
C选项方程变为，与原方程不相同，C错；
只有A中代替，代替或同时用代替，代替，方程均不变，满足题意．
故选：A．
（3）（2023·全国·高三专题练习）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线，如图2，已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设抛物线方程为，
依题意，代入得，
所以抛物线方程为.
故选：A
热点二 与数学文化相关
例2（1）（2023·广东·兴宁市沐彬中学高三期中）油纸伞是中国传统工艺品，使用历史已有1000多年.以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面.油纸伞是世界上最早的雨伞，纯手工制成，全部取材于天然，是中国古人智慧的结晶.在某市开展的油纸伞文化艺术节中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子，此时阳光照射方向与地面的夹角为75°，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则该椭圆的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题设，为伞面直径，为其投影，如下图示：
由题意，且，，为左焦点，为椭圆长轴长，
所以，，
而，所以，
所以.
故选：C
（2）（2023·陕西·西安市第三中学高三期中）青铜器是指以青铜为基本原料加工而成的器皿 用器等，青铜是红铜与其它化学元素（锡 锦 铅 磷等）的合金.其铜锈呈青绿色，故名青铜.青铜器以其独特的器形，精美的纹饰，典雅的铭文向人们揭示了我国古代杰出的铸造工艺和文化水平.图中所示为觚，饮酒器，长身，侈口，口底均成喇叭状，外形近似双曲线的一部分绕虚轴所在直线旋转而成的曲面.已知，该曲面高15寸，上口直径为10寸，下口直径为7.5寸.最小横截面直径为6寸，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意，该酒杯可近似看成双曲线模型，建立直角坐标系，并作出双曲线如下：设均和轴垂直.则，，设双曲线的方程为：，根据双曲线经过，可知，设的纵坐标分别为，结合图像可知，由可得：，，解得，根据可知，，解得，于是.
故选：B
（3）（2023·湖北·高三阶段练习）用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切.给出下列三个结论：
①两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；
②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；
③当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．②③ C．①② D．①③
【答案】C
【详解】如图：
在椭圆上任意一点P作平行于 的直线，与球 交于F点，与球 交于E点，
则 ， 是过点P作球 的两条公切线， ，同理 ，
，是定值，所以 是椭圆的焦点；①正确；
由以上的推导可知： ， ，
平面 ， 是直角三角形， ，即 ， ，②正确；
就是平面 与轴线的夹角 ，在 中，椭圆的离心率 ，
由余弦函数的性质可知当锐角 变大时， 变小，③错误；
故选：C.
跟踪演练2（1）（2023·山东·日照市教育科学研究中心高三期中）美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）
A．1.8cm B．2.5cm C．3.2cm D．3.9cm
【答案】B
【详解】解：如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界为x轴，垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，则，，
所以，
利用点斜式方程可得到直线：，整理为，
所以原点O到直线距离为，
故选:B
（2）（多选）（2023·全国·高三专题练习）“出租车几何”或“曼哈顿距离”（Manhattan Distance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种被使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系内，对于任意两点、，定义它们之间的“欧几里得距离”，“曼哈顿距离”为，则下列说法正确的是（ ）
A．若点为线段上任意一点，则为定值
B．对于平面上任意一点，若，则动点的轨迹长度为
C．对于平面上任意三点、、，都有
D．若、为椭圆上的两个动点，则最大值为
【答案】AC
【详解】对于A选项，设点为线段上任意一点，
则，A对；
对于B选项，设点，则，
当，时，则；当，时，则；
当，时，则；当，时，则.
作出点的轨迹如下图所示：
由图可知，点的轨迹是边长为的正方形，故动点的轨迹长度为，B错；
对于C选项，设点、、，
由绝对值三角不等式可得，
同理可得，
所以，，即，C对；
对于D选项，设点、，
不妨设，，
则
，其中为锐角，且，
取，，等号成立，D错.
故选：AC.
（3）（2023·广东·高三阶段练习）法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中．过椭圆外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过圆E上的动点M作椭圆C的两条切线，分别与圆E交于P，Q两点，直线PQ与椭圆C交于A，B两点，则下列结论不正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为
B．M到C的右焦点的距离的最大值为
C．若动点N在C上，记直线AN，BN的斜率分别为，，则
D．面积的最大值为
【答案】D
【详解】A.因为椭圆的蒙日圆为，根据蒙日圆的定义，，得，所以椭圆，，，则，所以椭圆的离心率，故A正确；
B.点是圆上的动点，椭圆的右焦点，则的最大值是，故B正确；
C.根据蒙日圆的定义可知，则为圆的直径,与椭圆交于两点，点关于原点对称，设，，，
，故C正确；
D.因为为圆的直径，，当点到直线的距离为时，的面积最大，此时最大值是，故D错误.
故选：D
专题强化练
1、在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则当“将军饮马”的总路程最短时，将军去往河边饮马的行走路线所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【提示】注意理解““将军饮马”的总路程最短”并等价转化；
【答案】B；
【解析】军营所在区域为，即军营在以为圆心，1为半径的圆内和圆上；
设圆心C关于直线的对称点的坐标为B，
则，解得.
如图，由对称性可知，
所以，当将军去往河边饮马的行走路线所在的直线经过，
两点时，
“将军饮马”的总路程最短，
因为，所以该直线方程为，即；
故选：B；
【说明】本题主要将求圆心C关于直线的对称点B的坐标，结合图形分析距离最短；置于
“将军饮马”的背景下：
2、第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为，若双曲线C以为焦点、以直线为一条渐近线，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【提示】注意教材研究圆锥曲线标准方程的方法与过程；
【答案】B；
【解析】依题意，以点为原点，直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，点，
设双曲线C的方程为，其渐近线为，因直线为一条渐近线，
则有，双曲线C的离心率为.
故选：B；
【说明】本题主要考查教材研究椭圆的标准方程、几何性质的方法与过程；
3、椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，
经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点；
电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，
灯丝(看成一个点)在椭圆的右焦点处，
灯丝与反射镜的顶点A的距离，过焦点且垂直
于轴的弦|BC|＝5.4cm，在x轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝 cm．
【提示】注意阅读理解与对椭圆定义的理解；
【答案】12
【解析】不妨设椭圆的长轴长为：2a，长轴长为：2b，焦距长为：2c，；
由题意可知，a－c＝1.5，通径＝2.7，且a2＝b2＋c2，联立解得c＝6，则焦距2c＝12，
即片门应离灯丝12cm，故答案选C；
【说明】本题主要考查了教材上椭圆的几何性质实际应用；
4、如图1，某家用电暖气是由反射面、热馈源、防护罩及支架组成，为了更好利用热效能，反射面设计成抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面），热馈源安装在抛物线的焦点处，圆柱形防护罩的底面直径等于抛物面口径.图2是该电暖气的轴截面，防护罩的宽度等于热馈源到口径的距离，已知口径长为40cm，防护罩宽为15cm，则顶点到防护罩外端的距离为 （cm）。
【提示】主要“实物”图与数学直观图的对应；
【答案】35
【解析】以顶点O为坐标原点，射线OF为x轴建立平面直角坐标系，如图，
令轴截面边界曲线所在抛物线方程为：，
则，，而点A在抛物线上，于是得，又，解得，
则到距离，
所以顶点到防护罩外端的距离为35cm；
【说明】本题将对抛物线定义、标准方程的考查置于“家用电器”背景下；根据给定条件建立坐标系，利用待定系数法求出抛物线方程即可计算作答；
5、如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为米，则该双曲线的离心率为___________.
【提示】注意将空间问题转化为平面问题构建与双曲线的联系；
【答案】；
【解析】如图，以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为轴，
垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，
设双曲线的方程为，
由题意知，所以，
，，
所以，解得，
所以，
所以.
故答案为：；
【说明】本题将双曲线的几何特征研究置于“工业建筑”的背景下；以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，由题意求出可得答案；
6、中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现.它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条.其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.曲线：是双纽线，则下列结论不正确的是（ ）
A．曲线的图像关于原点对称
B．曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3
D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
【提示】注意理解“双纽线”与教材根据方程研究曲线性质、位置关系的方法与过程；
把代入曲线的方程可判断A；
分别令、、，得的范围可判断B；
由曲线的方程可得，根据可判断 C；
直线与曲线方程联立，根据方程的解可判断D；
【答案】B；
【解析】把代入得，
所以曲线的图象关于原点对称，故A正确；
令解得，或，即曲线经过，结合图像，，
令，得，令，得，
因此结合图象曲线只能经过3个整点，，故B错误；
可得，
所以曲线上任意一点到坐标原点的距离，即都不超过3，故 C正确；
直线与曲线一定有公共点，
若直线与曲线只有一个交点，所以，
整理得无解，即，解得，故D正确.
【说明】本题将教材上根据圆锥曲线研究曲线的性质与位置关系的方法、过程，结合“中国结”与新定义的背景进行考查；
7、法国数学家加斯帕尔·蒙日是19世纪著名的几何学家，
他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，
奠定了空间微分几何学的宽厚基础.根据他的研究成果，
我们定义：给定椭圆，则称圆心在原点，
半径是的圆为“椭圆的伴随圆”，
已知椭圆的一个焦点为，
其短轴的一个端点到焦点的距离为.
（1）求椭圆和其“伴随圆”的方程；
（2）若点是椭圆的“伴随圆”与轴正半轴的交点，是椭圆上的两相异点，且轴，求的取值范围；
（3）在椭圆的“伴随圆”上任取一点，过点作直线 ，使得 与椭圆都只有一个交点，试判断 是否垂直 并说明理由.
【提示】（1）首先根据题意得到，且，可得，从而得到椭圆和其“伴随圆”的方程；
（2）首先设，，，得到，从而得到的取值范围是；
（3）首先设，得到，当时，，易得，当时，设的方程为，代入椭圆方程可得，根据得到，从而得到，即可得到答案；
【答案】（1）：，“伴随圆”方程为；（2）；
【解析】（1）由题意知，且，可得，
故椭圆的方程为，其“伴随圆”方程为.
（2）由题意，可设，，，
则有，又点坐标为，
故，
故，
又，故，
所以的取值范围是.
（3）设，则.
当时，，则其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有.
当时，设过且与椭圆有一个公共点的直线的斜率为，
则的方程为，代入椭圆方程可得
，即，
由，
可得，其中，
设的斜率分别为，则是上述方程的两个根，
故，即.
综上可知，对于椭圆上的任意点，都有.
【说明】本题结合数学史与新定义，考查直线与椭圆的位置关系，解决本题的关键为分类讨论，设出直线方程，根据直线与椭圆的位置关系得到相应的关系式，从而证明直线垂直；
8、出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创立的.在出租车几何学中，点还是形如的有序实数对，直线还是满足的所有组成的图形，角度大小的定义也和原来一样，对于直角坐标系内任意两点、定义它们之间的一种“距离”（“直角距离”）：，请解决以下问题：
（1）求线段（，）上一点到原点的“距离”；
（2）求所有到定点的“距离”均为2的动点围成的图形的周长；
（3）在“欧式几何学”中有如下三个与“距离”有关的正确结论：
①平面上任意三点A，B，C，；
②平面上不在一直线上任意三点A，B，C，若，则是以为直角三角形
③平面上存在两个不同的定点A，B，若动点P满足，则动点P的轨迹是的垂直平分线
上述结论对于“出租车几何学”中的直角距离是否还正确，并说明理由；
【提示】（1）根据“直角距离”的定义直接求解即可；（2）设点到定点的“距离”为2，再根据定义任意两点、间的“距离”分四种情况求解即可；（3）直接证明或举出反例判断即可；
【答案】（1）2；（2）；（3）①正确②错误③错误；
【解析】（1）易得线段上一点到原点的“距离”为
（2）设点到定点的“距离”为2，则
1、当时, ,
此时为线段,
2、当时, ,
此时为线段,
3、当时, ,
此时为线段,
4、当时, ,
此时为线段,
易得围成的图形的形状为以为顶点的正方形
故周长为.
（3）
①设,
则,，.
根据绝对值三角不等式可知,
同理.
故.
故成立.故①正确.
② 设,则,
,.
满足,但,故②错误.
③设,则,
,满足,但不在的垂直平分线上.故③错误.
综上所述, ①正确②错误③错误；
【说明】本题主要考查了新定义的直角距离问题,需要根据题意数形结合分析直角距离的意义以及方法,同时利用绝对值不等式等分析证明；