第四章三角形同步练习 （含解析） 北师大版数学七年级下册

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第四章三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在直角三角形中，，，，，点P是线段上的一动点，则线段的最小值（ ）
A． B．5 C．4 D．无法确定
2．如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，过点B作，在上取两点C，D，使得，再过D点作的垂线，使得点E、C、A在同一直线上，若，，，则A，B两点的距离是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，点在边上，，交于点．若点是边的中点，，，则四边形的面积等于（ ）

A．12 B．14 C．24 D．48
4．如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能是（ ）
A． B． C． D．
5．数学课上，小明用尺规在黑板上作∠AOB的平分线，并进行简单的说理，下面是小明的解答过程，则符号“ 、 、☆、 ”代表的内容错误的是（ ）
已知：∠AOB． 求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC． 作法：（1）以点O为圆心，在OA和OB上分别截取OD，OE，使 ； （2）分别以点D，E为圆心、以 为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C； （3）作射线OC．OC就是∠AOB的平分线． 理由： （1）连接EC，DC，则EC＝DC，易知△OEC≌△ODC，理由☆； （2）所以∠AOC＝∠BOC，理由 ．
A． 表示“OD＝OE” B． 表示“大于DE的长”
C．☆表示“SAS” D． 表示“全等三角形的对应角相等”
6．如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且PM＝HN，已知MH＝3，PQ＝2，则PN的长为（　　）
A．5 B．7 C．8 D．11
7．在长为2、3、4、5的四根木条中，任选三根能组成三角形的选法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
8．如图，点D，E分别在线段上，与相交于点N．若，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，，两点分别位于一个池塘的两端，小丽在池塘的一侧选取点，测得，，那么，间的距离可能是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，小明不慎把三角形玻璃打碎成四块，他只要带哪一块去即可定制出和原来一样的三角形玻璃？（ ）
A．① B．② C．③ D．④
11．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A． B． C． D．
12．有长度分别为、、、的四根彩色木条，任取三根组成一个三角形有（ ）种不同的组法．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
13．已知、为等腰的边长，且满足，则的底边长是 ．
14．三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上的三角形叫格点三角形．除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有 个．
15．如图，已知，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
16．如图，在中，，垂足分别为，，，则的边上的高为线段 ，边上的高为线段 ；若，则为 ．
17．如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发，以的速度设射线运动，为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终满足．设点的运动时间为，当 s时，与全等．
三、解答题
18．完成下面的尺规作图
(1)如图，已知和，用直尺和圆规作，使．
(2)如图，已知线段和，用直尺和圆规作，使．
19．等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．
(1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；
(2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积；
(3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长．
20．如图，是的平分线，，点P在上，，，M，N分别是垂足．
(1)与全等吗？为什么？
(2)吗？为什么？
21．如图1所示，矩形中，点E，F分别为边,的中点，将绕点A逆时针旋转，直线、相交于点P．
(1)若，将绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置上，则线段与的位置关系是 　 　，数量关系是 　 　．
(2)若，将绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立；若不成立，请写出正确结论
(3)若，，将旋转至时，请直接写出的长．
22．已知（下图），用直尺和圆规作的平分线，并说出该作法正确的理由．
23．如图，，分别是的高，，，，求的长．
24．综合与实践：
【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围．
【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考：
（1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ．
A． B． C． D．
（2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ．
【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【解决问题】
（3）如图2，在四边形中，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度．
《第四章三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C A C B C B C C
题号 11 12
答案 D B
1．A
【分析】本题主要考查了垂线段最短．根据题意，当时，的长度最短，由等面积法求高的方法列式求解即可．
【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最短，
∴在直角三角形中，由面积公式得：，
解得，
故选：A．
2．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用可证明，则
【详解】解：∵，，
∴，
在与中：
，
．
∴A，B两点的距离是．
故选：B．
3．C
【分析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识．由，，，求得，由，得，而，，即可根据“”证明，则，即可推导出，于是得到问题的答案．
【详解】解：，，，
，
∵，
，
点是边的中点，
，
在和中，
，
，
，
∴，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答本题的关键．
根据三角形的三边关系即可求解．
【详解】解：，
，
，
折叠凳的宽可能是，
故选：A．
5．C
【分析】自己写出作∠AOB的角平分线的解答过程，然后对比选项，即可得．
【详解】解：作法：（1）以点O为圆心，在OA和OB上分别截取OD，OE，使OE＝OD，
（2）分别以点D，E为圆心、以大于 DE为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C；
（3）作射线OC．OC就是∠AOB的平分线．
理由：（1）连接EC，DC，则EC＝DC，易知△OEC≌△ODC，理由SSS；
（2）所以∠AOC＝∠BOC，理由全等三角形的对应角相等．
故选C．
【点睛】本题考查了角平分线的作法以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握角平分线的作法及全等三角形的判定与性质．
6．B
【分析】证明△MQP≌△NQH，由全等三角形的性质可得HQ=PQ=2，从而求出MQ，即可解决问题．
【详解】解：∵MQ⊥PN，NR⊥PM，
∴∠NQH=∠NRP=∠HRM=90°，
∵∠RHM=∠QHN，
∴∠PMH=∠HNQ，
在△MQP和△NQH中，
，
∴△MQP≌△NQH（ASA），
∴HQ=PQ=2，
∴QN=QM=MH+QH=5，
∴PN=PQ+QN=7，
故选B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
7．C
【分析】本题考查了三角形的三边关系，先把四条线段的所有组合列出来，再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数．
【详解】解：四根木条的所有组合：2，3，4和2，4，5和3，4，5和2，3，5；
根据三角形的三边关系，能组成三角形的有2，3，4和2，4，5和3，4，5．
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，先利用三角形的内角和定理可得，然后利用全等三角形的性质即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
9．C
【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，即可得到答案．
【详解】解：由三角形三边关系定理得到：，
，
，
，间的距离可能是．
故选：C．
10．C
【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理进行判定即可．
【详解】解：①只能确定一个角，不能确定全等三角形；
②边和角都不能确定，故不能确定全等三角形；
③能确定两个角及其夹边，能确定全等三角形；
④边和角都不能确定，故不能确定全等三角形；
根据全等三角形的判定定理，进行判定即可定制出和原来一样的三角形玻璃．
故选C．
11．D
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据即可解答．
【详解】解：由图可以看出这个三角形还能明显看到的条件为两个角和一条边，且是两角及其夹边，
因此符合．
故选：D．
12．B
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的三边关系．
利用三角形的三边关系进行求解即可．
【详解】解：根据三角形的三边关系，两短边之和大于第三边得，可组成三角形的组合有：
①、、；
②、、；
③、、；
故选：B．
13．5
【分析】本题主要考查了非负数的性质、等腰三角形的定义以及三角形三边关系，熟练掌握相关知识并分类讨论是解题关键．首先根据非负数的性质确定，然后根据等腰三角形的定义以及三角形三边关系，分情况讨论，即可获得答案．
【详解】解：∵，
∴，解得，
当等腰的底边为5时，该三角形的三边长分别为5，11，11，
能构成三角形；
当等腰的底边为11时，该三角形的三边长分别为11，5，5，
∵，故不能构成三角形．
综上所述，的底边长是5．
故答案为：5．
14．3
【分析】利用判定两三角形全等，认真观察图形可得答案．本题考查作图应用与设计作图、全等三角形的判定，注意观察图形，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．
【详解】解：如图，

图中与全等的格点三角形是，共3个，
故答案为：3．
15．（或或）
【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴即
又∵
当时，
当时，
当时，
故答案为：或或．
16．
【分析】本题考查了三角形的高线的定义；根据三角形高的定义以及三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：因为，
所以的边上的高为线段，
因为，
所以边上的高为线段，
因为
所以，
故答案为：，，．
17．6或10或16
【分析】根据题意可分点P在点B的左侧和右侧进行分类求解即可．
【详解】解：设点P的运动时间为t秒，由题意得：，
①当点P在点B的左侧时，且满足，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得：；
②当点P在点B的右侧时，且满足，则，
∴，即，
解得：；
③当点P在点B的右侧时，且满足，则，
∴，即，
解得：；
综上所述：当为6或10或16秒时，与全等．
故答案为6或10或16．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据尺规作一个角等于已知角的方法先作，再作即可；
根据尺规作一个角等于已知角的方法先作，再作，即可求解．
【详解】（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
【点睛】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，作三角形，掌握基本作图是解题的关键．
19．(1)等边三角形
(2)
(3)4
【分析】（1）要证三角形EPF是等边三角形，已知了∠EPF＝60°，主要再证得PE＝PF即可，可通过证三角形PBE和PFC全等来得出结论，再证明全等过程中，可通过证明FP⊥BC和BE＝PC来实现；
（2）由（1）不难得出∠CFG＝90°，那么在△CFG中，有∠C的度数，可以根据CF的长求出GC的长，从而求出GB的长，下面的关键就是求GB边上的高，过E作EH⊥BC，那么EH就是所求的高，在直角△BEP中，有BP的长，有∠ABC的度数，可以求出BE、EP的长，再根据三角形面积的不同表示方法求出EH的长，这样有了底和高就能求出△GBE的面积；
（3）由相似三角形的判定定理得出△BPE∽△CFP，设BP＝x，则CP＝6﹣x，由相似三角形的对应边成比例可求出x的值，再根据勾股定理求出PE的值即可．
【详解】（1）∵PE⊥AB，∠B＝60°，
因此直角三角形PEB中，，
∴∠BPE＝30°，
∵∠EPF＝60°，
∴FP⊥BC，
在△BEP和△CPF中，
，
∴△BEP≌△CPF，
∴EP＝PF，
∵∠EPF＝60°，
∴△EPF是等边三角形．
（2）过E作EH⊥BC于H，
由（1）可知：FP⊥BC，，
在三角形FCP中，∠PFC＝90°﹣∠C＝30°，
∵∠PFE＝60°，
∴∠GFC＝90°，
直角三角形FGC中，∠C＝60°，CF＝4，
∴GC＝2CF＝8，
∴GB＝GC﹣BC＝2，
直角三角形BEP中∠EBP＝60°，BP＝4，
∴PE＝2，BE＝2，
∴EH＝BE PE÷BP＝，
∴S△GBE＝；
（3）∵在BPE中，∠B＝60°，
∴∠BEP+∠BPE＝120°，
∵∠EPF＝60°，
∴∠BPE+∠FPC＝120°，
∴∠BEP＝∠FPC，
又∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CFP，
∴，
设BP＝x，则CP＝6﹣x．
∴＝，
解得：x＝2或4．
当x＝2时，在△△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝2，
过E作EH⊥BC于H，
则EH＝BE sin∠B＝2，BH＝2，
∴PH＝0，
即P与H重合，与CF≠BP矛盾，故x＝2不合题意，舍去；
当x＝4时，在△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝4，
则△BEP是等边三角形，
∴PE＝4．
故PE＝4．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和等边三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，注意对全等三角形和等边三角形的应用．
20．(1)全等；理由见解析
(2)；理由见解析
【分析】本题主要考查了的是全等三角形的判定定理与性质定理．全等三角形的判定定理：．
（1）根据“”即可证明；
（2）根据可得，再根据等角的补角相等可得，然后证明，利用全等三角形的性质可得结论．
【详解】（1）解：是的平分线，
，
在和中，
，
．
（2）解：由（1），
．
．
，，
，
又，
，
．
21．(1)，
(2)结论不完全成立．线段与的位置关系是，数量关系是
(3)或
【分析】（1）证明，利用全等三角形的性质可得结论；
（2）证明，利用相似三角形的性质可得结论；
（3）分两种情形画出图形，利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：线段与的位置关系是，数量关系是．
理由：四边形是矩形，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
．
（2）解：结论不完全成立．线段与的位置关系是，数量关系是．
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
．
（3）解：如图，当点P在的延长线上时，
在中，，，
，
，
，
，
，
，，，
四边形AEPF是矩形，
，
；
如图，当点P在线段上时，，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形，学会用分类讨论的思想思考问题．
22．作法见解析，理由见解析
【分析】根据角平分线的作图方法作出角平分线，再利用证明即可得到结论．
【详解】解：作法如下图．
1．以点A为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于E，F两点．
2．分别以E，F为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点D．
3．过点A，D作射线．
射线就是所求作的的平分线．
证明：如下图，
连结．
在和中
∴，
（全等三角形的对应角相等），
即平分．
【点睛】此题考查了角平分线的作图，全等三角形的判定和性质，正确掌握角平分线的尺规作图方法及全等三角形的判定定理是解题的关键．
23．
【分析】本题考查的是等面积法的应用，由等面积法可得，再进一步计算即可.
【详解】解：，分别是的高，
∴，
∴，
，，，
∴，
∴．
24．（1）A；（2）；（3）
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系；
（1）由全等三角形的判定定理解答即可；
（2）根据三角形的三边关系计算；
（3）延长，交于点，证明，得出，，由证得，得出，进而根据即可得出答案．
【详解】解：（1）∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
故选：A；
（2）∵，即，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）延长，交于点，
∵平分，
∴，
∵，
∴
在和中，
，
∴.
∴，.
在和中，
，
∴.
∴，
∴，
∵，
∴．