第一章整式的乘除同步练习（含解析） 北师大版数学七年级下册

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第一章整式的乘除
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．DeepSeek作为中国新兴AI力量，承载着打破国外技术垄断、为中国AI开拓新局的使命，在全球AI竞技场上崭露头角，助力中国迈向AI强国之列．数据显示，随着访问使用量急速上升，2025年2月1日DeepSeek已经成为目前最快突破30000000日活跃用户量的应用程序．将数据30000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．计算：（1） ，（2） ，（3） ．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若，则a的值为（ ）
A．－7 B．－5 C．5 D．7
7．若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
8．已知，则正整数m的值为（ ）
A．84 B．86 C．94 D．96
9．已知下列算式：①；②；③；④．其中计算结果正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
10．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．我们定义：，若，则的值为（ ）
A．4 B．16 C．64 D．256
12．已知，，．若的值与m无关，则a的值为（ ）
A． B． C．3 D．5
二、填空题
13．已知多项式，则 ．
14．若 ，，则 ．
15．齐齐哈尔市龙沙动植物园是东北地区最大的动植物园，国家级旅游景区，占地面积约平方米．将用科学记数法表示为 ．
16．深圳某科技馆中“数理世界”展厅的密码被设计成如表所示的数学 问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到，则他输入的密码是 ．
账号： ， ， 密码．
17．综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”：
以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有 （填序号）
三、解答题
18．(1)已知，，求的值．
(2)已知，，求的值．
19．若，，求的值．
20．计算：
(1)；
(2)；
(3)（m是正整数）．
21．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果．我们叫为“雅对”．
例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即．
(1)根据上述规定，填空： ； ； ．
(2)计算 ，并说明理由．
(3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立．
22．整式乘除运算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
23．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
24．观察下列各式：
；
；
；
…
根据你发现的规律，解答下列各题：
(1)直接写出结果：_____________________．
(2)若n是正整数，且，则______________________．
(3)根据你发现的规律，计算的值．
《第一章整式的乘除》参考答案
1．C
【分析】本题考查了同底数幂相乘，根据同底数幂相乘的法则计算即可，掌握同底数幂相乘的法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了科学记数法．直接根据科学记数法作答即可.
【详解】．
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了完全平方公式．根据完全平方公式一验证即可．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：C．
4．
【分析】本题考查同底数幂乘法，积的乘方，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
利用负整数指数幂，同底数幂乘法，积的乘方法则计算即可．
【详解】解：，，，
故答案为：；；．
5．D
【分析】本题主要考查了负整数指数幂，积的乘方，平方差公式，同底数幂的除法等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
按照负整数指数幂，积的乘方，平方差公式，同底数幂的除法等相关运算法则逐一计算判断即可．
【详解】解：A. ，故选项不符合题意；
B. ，故选项不符合题意；
C. ，故选项不符合题意；
D. ，故选项符合题意；
故选：．
6．A
【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
展开左边表达式，与右边比较x的系数，即可求出a的值．
【详解】∵ ，
又∵ ，
∴ ，
比较x项系数，得 ，
∴．
故选：A．
7．C
【分析】本题考查多项式乘法法则的知识，解题关键是利用多项式乘法展开式子后，根据等式两边同类项系数相等列方程求解．
【详解】解：
，
，，
解得：，，
则，
故选：C．
8．D
【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方等的逆运算，合并同类项．将等式右边的两个幂次项提取公因数，转化为平方数的乘积形式，进而开平方得到m的值，即可解答．
【详解】解：∵
，
∴．
故选D．
9．C
【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂乘法、完全平方公式等知识点，熟知整式的相关运算法则成为解题的关键．
根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂乘法、完全平方公式逐个判断即可．
【详解】解：，故①错误；
，不是同底数幂，指数也不同，故②错误；
，故③正确；
，故④错误．
综上，计算结果正确的有1个．
故选：C．
10．B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．
根据同底数幂的乘法，可得答案．
【详解】解：
∴
∴
故选：B．
11．C
【分析】本题考查了整式的混合运算、有理数的混合运算，解决本题的关键是求出．
由定义可得，，．
【详解】
解：因为，
所以，
所以，
因为，
所以
故选：C．
12．B
【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键．
计算并合并同类项，由于表达式与无关，令的系数为零求解的值即可．
【详解】解：∵， ，
∴
∴
∵的值与无关
∴
∴
故选：B．
13．1
【分析】本题考查的是完全平方公式，掌握完全平方公式特征是解题关键，根据完全平方公式展开得出，可求出的值，进而求出结论．
【详解】解：，
，
，，，
，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，根据同底数幂乘法的逆用即可求解，掌握同底数幂乘法法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表现形式是，其中，为整数，用科学记数法表示数需要确定和，确定时要看小数点移动的位数，当原数的绝对值，为正整数；当原数的绝对值，为负整数；熟练掌握科学记数法的表示方法是解决问题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了单项式除以单项式，幂的乘方，先化简各式，得出密码与指数的关系即可得答案，熟练掌握运算法则，正确得出密码与指数的关系是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
17．①②③
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式以及等面积法是解题的关键．
用不同的方法分别用代数式表示各个图形中左图、右图阴影部分面积即可得出等式，再进行判断即可．
【详解】解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，
∴，故图①可以验证平方差公式；
图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，
∴，故图②可以验证平方差公式；
图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为，
∴，故图③可以验证平方差公式；
图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为，
∴，故图④不能验证平方差公式；
综上所述，能验证平方差公式的有①②③，
故答案为：①②③．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，（1）观察已知式子的指数之间的关系，做乘法再乘以即可得到要求式子的值；（2）观察已知式子的指数之间的关系，做除法即可得到要求式子的值．
【详解】解：（1），，
；
（2），；
．
19．81
【分析】本题考查同底数幂的乘法逆运算，正确变形是解题关键，得出代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方运算法则，是解题的关键．根据幂的乘方运算法则“底数不变，指数相乘”，进行计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
21．(1)4，0，
(2)2，理由见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方：幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即 是正整数．
（1）由于，，根据“雅对”的定义可得；
（2），利用新定义得到，根据同底数幂的乘法得到
（3）设，利用新定义得到，，根据幂的乘方得到，从而得到，所以，对于任意自然数n都成立．
【详解】（1）解：∵ ，
∴；
∵，
∴；
∵ ，
∴
故答案为：4；0；；
（2）解：
理由如下：
设，则，
∴，
∴
（3）证明：设，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
即对于任意自然数n都成立．
22．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了整式的混合运算、完全平方公式、积的乘方、整式乘法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
（1）先根据积的乘方、幂的乘方化简，然后再运用单项式乘单项式运算法则计算即可；
（2）先计算单项式乘多项式，再去括号，然后合并同类项即可；
（3）先加括号，然后再运用完全平方公式以及单项式乘多项式计算即可；
（4）先通过加括号，再运用平方差公式、完全平方公式计算，最后合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
（4）解：
．
23．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】本题考查了整式的混合运算；
（1）直接利用平方差公式计算即可；
（2）直接利用平方差公式计算即可；
（3）直接利用平方差公式计算即可；
（4）先利用平方差公式计算，再合并同类项即可；
（5）先利用平方差公式和单项式乘多项式的法则计算，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
；
（5）原式
．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了整式的除法，探索规律，解题的关键是发现规律，构造规律的形式，运用规律解决问题．
（1）被除式和除式都是二项式，除式都是，商的次数比被除式的次数小，项数与被除式的次数相等，按进行降幂排列，各项系数为，根据规律直接写出答案即可；
（2）根据规律写出答案即可；
（3）构造（2）中的公式，进行计算即可．
【详解】（1）解：根据上面各式的规律可得：
故答案为：．
（2）解：根据上面各式的规律可得：
故答案为：．
（3）解：根据（2），当，（即）时，
有，
所以．