1.3乘法公式同步练习 （含解析） 北师大版数学七年级下册

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1.3乘法公式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．运用平方差公式计算，下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各运算中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（，如图1），将余下的部分剪开后拼成一个梯形（如图2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于，的恒等式为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是（ ）
A． B．
C． D．
6．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
7．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则的值是（ ）
A．12 B．19 C．18 D．11
9．中括号内应填（ ）
A． B． C． D．
10．下列各式，能用“平方差”公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
11．计算，结果的个位数字是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
12．如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（ ）
A．6 B．9 C．5 D．3
二、填空题
13．如果，那么 ．
14．代数式中项的系数是 ．
15．如图，长方形的周长为10，分别以长方形的一条长和一条宽为边向外作两个正方形，已知这两个正方形（阴影部分）的面积和为17，则长方形的面积为 ．
16．已知，求 ．
17．小红在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗？请将答案填在横线上 ．
三、解答题
18．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19．计算：
(1)
(2)
20．先化简，再求值：，其中．
21．已知，，求下列各式的值：
(1) ；
(2) ．
22．乘法公式的探究与运用：
(1)如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，则阴影部分的面积是____________（写成两数平方差的形式）；
(2)小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图②，则长方形的长是____________，宽是____________，面积是_________________（写成多项式乘法的形式）；
(3)比较图①、图②阴影部分的面积，可以得到恒等式：______________________________；
(4)运用你得到的公式计算：．
23．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
(1)请利用图①所得的恒等式，解决如下问题：若，，求的值；
(2)两个正方形，如图②摆放，边长分别为x，y．若，，请直接写出图中阴影部分的面积；
(3)类似的，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由一些正方体或长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式；
(4)已知，，利用以上恒等式求的值．
24．探究代数式的最小值时，我们可以这样处理：
因为，
所以当时，的值最小，最小值是0．
所以．
所以当时，的值最小，最小值是1．
所以的最小值是1．
依据上述方法，解决下列问题：
(1)当________时，有最小值是________；
(2)多项式有最________（填“大”或“小”）值，该值为________；
(3)已知，求的最小值；
《1.3乘法公式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D C C B C C D B
题号 11 12
答案 C D
1．C
【分析】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
根据平方差公式即可进行解答．
【详解】解：运用平方差公式计算，
应变形为，
故选：C．
2．D
【分析】本题考查的是平方差公式的应用，熟记平方差公式是解本题的关键，本题直接利用平方差公式计算即可.
【详解】解：，
故选D
3．D
【分析】本题考查同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式，单项式乘单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式，单项式乘单项式逐项进行判断即可．
【详解】解：A中，，故选项错误，不符合题意；
B中，，故选项错误，不符合题意；
C中，，故选项错误，不符合题意；
D中，，故选项正确，符合题意；
故选：D．
4．C
【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别表示出图1和图2两个图形中阴影部分的面积，根据图1中的阴影部分面积等于图2中的阴影部分面积即可得到答案．
【详解】解：图1中阴影部分面积为，
图2中阴影部分面积为，
∵图1中的阴影部分面积等于图2中的阴影部分面积，
∴，
故选：C．
5．C
【分析】通过分析图形中各部分的边长，分别用两种方式表示阴影部分的面积，从而推导出对应的乘法公式．本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的形式以及通过图形面积验证公式的方法是解题的关键．
【详解】解：表示阴影部分面积的第一种方式：阴影部分是边长为的正方形，其面积为．
表示阴影部分面积的第二种方式：
大正方形边长为，面积为；两个长方形的长为、宽为，面积和为；小正方形边长为，面积为．
∴阴影部分面积还可以表示为．
所以，该图可验证的乘法公式是，
故选：C ．
6．B
【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为．
【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为，
∴，即①，
∵，
∴②，
①②得，
∴大正方形的面积，
故选：B．
7．C
【分析】本题考查平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键，利用平方差公式逐步化简原式，观察规律得出结果．
【详解】解：前两项相乘：
再乘以第三项：
继续乘以第四项：
∴每乘一项，结果变为．
重复此过程，直到最后一项：
原式化简后为：
故选：C．
8．C
【分析】本题主要考查了代数式求值、平方差公式、多项式乘以多项式等知识，熟练运用相关运算法则和运算公式是解题关键．首先根据多项式乘以多项式法则，易得，再计算并将代入，然后利用平方差公式变形求解即可．
【详解】解：∵
，
∴，
∴
．
故选：C．
9．D
【分析】根据平方差公式的基本特点解答即可．
本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
故选：D．
10．B
【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式为是解答本题的关键．
根据平方差公式为，依次判断即可求解；
【详解】A、，不满足题意；
B、，满足题意；
C、，不满足题意；
D、，不满足题意；
故选：B
11．C
【分析】本题考查了平方差公式的应用．
通过构造平方差公式简化乘积，结合2的幂次个位循环规律求解即可．
【详解】解：
．
∵，，，，，……，
∴2的幂次个位循环规律为：，，，，周期为4．
余0，对应第4位，故的个位为6，
即的个位为，
故选：C．
12．D
【分析】本题考查平方差公式，正方形的面积，三角形的面积，解答的关键是掌握平方差公式并熟练运用．
设大正方形的边长为，小正方形的边长为，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可．
【详解】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，
则阴影部分的面积的底为，高之和为，
所以阴影部分的面积为，即．
因为大正方形的面积为，
所以，即小正方形的面积为．
故选：D．
13．0
【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式展开，使得对应系数相等求解即可．
【详解】解：∵，又，
∴，
故答案为：0．
14．
【分析】本题考查了多项式的乘方，根据多项式的乘方公式进行计算即可求解．
【详解】解：
∴项的系数是
故答案为：．
15．4
【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，设，根据正方形面积计算公式得到，再由长方形周长计算公式得到，则由完全平方公式可得，据此求出即可得到答案．
【详解】解：设，
由题意得，，
∴，
∵长方形的周长为10，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即长方形的面积是4，
故答案为：4．
16．
【分析】本题考查了完全平方公式的变形运算，设，，可得，即得，又由已知可得，代入求出的值即可求解，掌握完全平方公式的变形运算及换元思想是解题的关键．
【详解】解：设，，
∴，
∴，
即，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．/
【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，正确将已知式的局部进行因式分解成为解题的关键．
先运用平方差公式对局部进行因式分解，然后再计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
18．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式的计算是解题的关键．根据即可求解．
（1）将原式变形得，运用完全平方公式计算即可；
（2）将原式变形得，运用完全平方公式计算即可；
（3）将原式变形得，运用完全平方公式计算即可；
（4）将原式变形得，运用完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
19．(1)6
(2)
【分析】（1）将分式除法变形为分式乘法，再约分化简；
（2）先通过提取公因式、完全平方公式进行因式分解，再约分化简．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【点睛】本题考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题的关键．
20．
【分析】利用单项式乘以多项式及完全平方公式化简，然后代入求解即可．
【详解】解：
，
当时，
原式．
【点睛】题目主要考查整式的化简求值，包括完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题关键．
21．(1)10；
(2)4．
【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）根据完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算即可；
（2）根据完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，，
∴；
（2）解：∵ ，，
∴．
22．(1)
(2)，，
(3)或
(4)99.91
【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景及应用．
（1）由面积公式可得到答案；
（2）根据图形可知长方形的长是，宽是，再由长方形面积公式可得到答案；
（3）根据图①和图②阴影部分面积相等可得到答案；
（4）可先把化为，再利用平方差公式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：大正方形面积，小正方形面积，
阴影部分面积大正方形面积小正方形面积，
故答案为：；
（2）解：由图可知，长方形的宽，长方形的长，
∴长方形的面积，
故答案为：，；；
（3）解：或；
（4）解：
．
23．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握数形结合是解题的关键．
（1）根据图形的面积即可求解；
（2）根据四边形和都是正方形，设，，根据，即可求解；
（3）根据题意可得，正方体体积表示为或，即可求解；
（4）根据，，结合即可求解；
【详解】（1）解：由图①可知，大正方形面积为或，
，
，
；
（2）解：由图可知，∵四边形和都是正方形，
，
，
，又，
，
，
，
，
，即阴影部分的面积为；
（3）解：由图③得，正方体体积表示为，
也可以表示为，
，
即；
（4）解：，，
由（3）得，
，
．
24．(1)，
(2)大，
(3)的最小值是．
【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
（1）化成完全平方公式和的形式计算即可；
（2）化成完全平方公式和的形式计算即可；
（3）把原式化成再利用完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：
∵
∴当时，的值最小，最小值是0．
∴．
∴当时，的值最小，最小值是．
∴的最小值是．
故答案为：，；
（2）解：
∵，
∴当时，的值最大，最大值是0．
∴．
∴当时，的值最大，最大值是．
故答案为：大，；
（3）解：∵，
，
∴，
∵，
∴当时，的值最小，最小值是0．
∴．
∴当时，的值最小，最小值是．
∴的最小值是．