2.3平行线的性质同步练习 （含解析） 北师大版数学七年级下册

中小学教育资源及组卷应用平台
2.3平行线的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在△ABC中，∠A=70°，∠C=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
2．如图，，点在上，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，图1是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，若图3中∠CFE=120°，则图1中的∠DEF的度数是（ ）
A．30° B．20° C．40° D．15°
5．如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线与直线，相交，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图①，某景区在中央广场处新放置了一个创意雕塑，将其抽象为几何图形如图②所示．已知，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（ ）
A． B． C． D．
9．如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的（ ）．
A．96 B．108 C．118 D．128
10．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，且，则的度数是（ ）
A．48° B．57° C．60° D．66°
11．如图，已知直线ABCD，若∠B＝50°，∠D＝30°，则∠E的度数是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．30°
12．一个含角的直角三角板如图放置，，顶点B在直线上，顶点E在直线上，当，时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，，，则等于 ．
14．如图，已知，若，，则 ．
15．如图，已知，，，且，平分分别交、的延长线于点M、N．则 ．
16．如图，，若，，则 度．（用含有x，y的式子表示）
17．如图1纸片（），将按如图2所示沿着折叠至，与线段交于，，点在线段上，若将按如图3所示沿着折叠至，且在线段的延长线上，点在线段上，则 ．（用含的式子表示）

三、解答题
18．在平行的两岸河堤即PQMN，各安置了一探照灯A和B，且∠BAN＝45°，如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a，b满足．
(1)求a，b的值；
(2)若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系．
19．已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
(1)如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；
(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．
①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；
②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．
20．把一张长方形纸片沿折叠后，、分别在、的位置上，与的交点为．
(1)若，则______°．
(2)若，则______°（用含的代数式表示）．
21．已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．
(1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；
(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．
22．已知，点为之外任意一点．

（1）如图1，探究与之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，探究与之间的数量关系，并说明理由．
【拓展变式】如图，“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．在“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若，则_______________．

23．某小区车库门口有一种折叠道闸，如图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C旋转时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，求此时的度数．
24．综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a，b，且，三角形是直角三角形，，，．
(1)如图1，，求的度数；
(2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由；
(3)如图3，直线与直线a交于点E，直线与直线b交于点平分交直线于点平分交直线于点N，求的度数．
《2.3平行线的性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C B B B D A A B
题号 11 12
答案 C C
1．B
【分析】由三角形的内角和可求∠ABC，根据角平分线可以求得∠ABD，由DE//AB，可得∠BDE=∠ABD即可．
【详解】解：∵∠A+∠C=100°
∴∠ABC=80°，
∵BD平分∠BAC，
∴∠ABD=40°，
∵DE∥AB，
∴∠BDE=∠ABD=40°，
故答案为B．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的意义、平行线的性质，灵活应用所学知识是解答本题的关键．
2．C
【分析】本题考查了平行线的性质，与角平分线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，得，又因为平分，得，故，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
则，
∴，
故选：C．
3．C
【分析】过点作，则，根据平行线的性质可得到，，即可求得．
【详解】如图，过点作，
∵，，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解是解决问题的关键．
4．B
【分析】先根据平行线的性质，设∠DEF=∠EFB=，图2中根据图形折叠的性质得出∠AEF的度数，再由平行线的性质得出∠GFC，图3中根据∠CFE=∠GFC-∠EFG即可列方程求得的值．
【详解】解：根据题意得：图1中，AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB，
设∠DEF=∠EFB=，
图2中，
CF∥DE，AE∥BG，
∴∠GFC=∠BGD=∠AEG=180°-2∠EFB=180°-2，
图3中，
∠CFE=∠GFC-∠EFG=180°-2-=120°，
解得=20°．
即∠DEF=20°，
故选：B．
【点睛】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
5．B
【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解决本题的关键．过点A作，过点E作，则，由题意可设，，则，，，，因此，，，则．
【详解】解：过点A作，过点E作，
∵，
∴，
∵，
∴设，，
∵，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴.
故选：B．
6．B
【分析】由平行线的性质得到求出，由对顶角的性质得到．
【详解】解：如下图：
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，对顶角的性质，解题的关键是掌握平行线的性质得到，由对顶角的性质即可求出的度数．
7．D
【分析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，先证明，求解，进一步利用平行线的性质可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
故选：D
8．A
【分析】本题考查平行线的性质，根据平角的定义，求出的度数，再根据平行线的性质，求出两直线平行时，的度数，两个度数的差值即为结果．
【详解】解：∵，
∴，
当时，则：，
∴将直线b绕点A逆时针旋转；
故选A．
9．A
【分析】题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，再根据翻折变换的性质，折叠后重叠了层，然后根据平角的定义列式进行计算即可得解．
【详解】解：∵长方形的对边，
∴，
∴．
故选：A．
10．B
【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到∠1＝∠3＝∠EBC＝∠4＝∠5，再根据平角的性质即可求解．
【详解】解：延长BC到F，
∵纸带对边互相平行，
∴∠1＝∠3＝∠EBC，
由折叠可得，∠5＝∠4，
∵，
∴∠1＝∠3＝∠EBC＝∠4＝∠5，
∵∠2+∠4+∠5=180°，
∴∠4＝∠5=57°，
∴=57°
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，同位角相等．
11．C
【分析】由题意直接根据平行线的性质，得出∠BMD＝∠B＝50°，再根据∠BMD是△MDE的外角，即可得出∠E．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠BMD＝∠B＝50°，
又∵∠BMD是△MDE的外角，
∴∠E＝∠BMD﹣∠D＝50°﹣30°＝20°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意掌握两直线平行，内错角相等．
12．C
【分析】本题主要考查平行线的性质，关键是相关性质的熟练掌握．
由平角的定义求得的度数，再由平行线的性质可得答案．
【详解】解：如图，
由题意得：，
∵，
∴，
故选：C．
13．/度
【分析】如图所示，过的顶点A作，则，利用平行线的性质得到，，进而求出，则．
【详解】解：如图所示，过的顶点A作，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
14．
【解析】略
15．
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义．正确的添加辅助线并确定角度之间的数量关系是解题的关键．
设，，则，，，，由角平分线可得，如图，作，则，可得，，，，则，根据，求得，然后求的值，进而可得的值．
【详解】解：设，，则，，，，
∵平分，
∴，
如图，作，则，
∴，
，
，，
∴，
∵，，
∴，
解得，，
∴，，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
过点作，从而得，由平行线的性质可求得，，利用平角的定义即可求．
【详解】解：过点作，如图，
，
，
，，
，，
，，
，
故答案为：．
17．
【分析】先根据邻补角性质求得，再由平行线性质与折叠性质求得，再根据折叠性质求得，最后用角的和差求得结果便可．
【详解】解：，
，
，
，
，
由折叠性质得，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠性质，角的和差，关键是根据平行线的性质解题．
18．(1)a＝3，b＝1
(2)当t＝10秒或85秒时，两灯的光束互相平行
(3)2∠BAC＝3∠BCD
【分析】（1）根据，可得a 3＝0，且b 1＝0，进而得出a、b的值；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯A射线转到AN之前，②在灯A射线转到AN之后，分别求得t的值即可；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝45° （180° 3t）＝3t 135°，∠BCD＝90° ∠BCA＝90° （180° 2t）＝2t 90°，可得∠BAC与∠BCD的数量关系．
【详解】（1）∵，
∴a＝3，b＝1；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜60时，
3t＝（20+t）×1，
解得t＝10；
②当60＜t＜120时，
3t﹣3×60+（20+t）×1＝180°，
解得t＝85；
③当120＜t＜160时，
3t﹣360＝t+20，
解得t＝190＞160，（不合题意）
综上所述，当t＝10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；
（3）设A灯转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣3t，
∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，
又∵PQMN，
∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，
而∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，
∴∠BAC：∠BCD＝3：2，
即2∠BAC＝3∠BCD．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0．
19．(1)证明见详解
(2)①；证明见详解；②；证明见详解
【分析】（1）如图4过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出；
（2）①如图5过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出；
②如图6过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出．
【详解】（1）解：如图4所示：过点作，
∵
∴
∴，，
∵，
∴；
（2）解：①如图5过点作，
∵
∴
∴，，
∵，
∴；
②如图6过点作，
∵
∴
∴，，
∵，
∴．
【点睛】本题利用“猪蹄模型”及其变式考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，准确的作出辅助线和找到对应的内错角是解决本题的关键．
20．(1)50
(2)
【分析】（1）利用平行线的性质得到，由折叠的性质得到，即可得到答案；
（2）由，得到，，则，即可得到答案．
【详解】（1）在长方形中，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：；
（2）在长方形中，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行线的性质和图形的折叠问题，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
21．(1)证明见详解
(2)；理由见详解
【分析】（1）过点作，由，可知．由此可知：，，故；
（2）由（1）可知．再由，∠AGM＝∠HGQ，可知 ：，利用三角形内角和是180°，可得．
【详解】（1）
解：如图：过点作，
∴，
∴，，
∵，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图：过点作，
由（1）知，
∵平分，
∴，
∵∠AGM＝∠HGQ，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，正确的作出辅助线是解决本题的关键，同时这也是比较常见的几何模型“猪蹄模型”的应用．
22．（1），理由见解析；（2），理由见解析；[拓展变式]．
【分析】（1）过点作，则，根据平行线的性质可得，进而得出结论；
（2）理由如下：过点作，则，根据平行线的性质可得，，进而得出结论；
（3）过点作，则，根据平行线的性质得出，，进而即可求解．
【详解】解：（1）．理由如下：
过点作，则．
．
，
．
（2）．
理由如下：过点作，则．
，．
，
．
【拓展变式】过点作，则．

，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
23．
【分析】本题考查平行线的性质，先根据得到，再求出，最后根据求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵与地面平行，，
∴，
∴，
∴．
24．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查的是角平分线定义、平行线的性质与判定，解题的关键是掌握平行线的性质定理．
（1）根据、及的和为可求出，根据平行线的性质解答；
（2）过点B作，根据平行线的性质得到，，结合图形计算，证明结论；
（3）分别过点作，则，设，根据角平分线的定义、平行线的性质计算即可．
【详解】（1）解：，，
，
，
；
（2）解：如图，过点B作，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，分别过点作，则，
设，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．