3.2频率的稳定性同步练习 （含解析） 北师大版数学七年级下册

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3.2频率的稳定性
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ）
累计抽测的学生数
近视学生数与的比值
A． B． C． D．
2．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，则当移植8千棵树苗时，成活的数量是（　　）
A．7200棵 B．6800棵 C．6400棵 D．6000棵
3．绿豆芽，为豆科植物绿豆的种子经浸泡后发出的嫩芽，绿豆在发芽过程中，维生素C会增加很多，而且部分蛋白质也会分解为各种人体所需的氨基酸，可达到绿豆原含量的七倍，所以绿豆芽的营养价值比绿豆更大．某农产品生产基地用一批绿豆种子制作绿豆芽，通过大量重复试验，发现这批绿豆种子的发芽率在0.95附近波动，估计这样的绿豆种子中发芽的有（ ）
A． B． C． D．
4．某随机事件发生的概率的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
5．一个事件发生的概率不可能是（ ）
A． B．1 C． D．0
6．在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验时，下列说法正确的是（　　）
A．随着抛掷次数的增加，正面向上的频率越来越小
B．当抛掷的次数n很大时，正面向上的次数一定为
C．随着试验次数的增加，反面向上的频率越来越稳定
D．连续抛掷次硬币，得到正面向上的频率为，则反面向上的频率也是
7．“良种壮苗”是造林的基本措施之一．某林业局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ）

A． B． C． D．
8．一只不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计20个，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.3，由此可估计袋子中红球的个数约为（　　）
A．6 B．14 C．5 D．20
9．一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回．大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出m的值为（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
10．下列说法正确的是（　　）
A．某一事件发生的可能性非常大就是必然事件
B．概率很小的事情不可能发生
C．2022年1月27日杭州会下雪是随机事件
D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
11．不透明的袋子中装有10个黑球和若干个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有300次摸到白球，由此估计袋子中的白球大约有( )
A．6个 B．10个 C．15个 D．30个
12．小明将自己的核酸检测二维码打印在面积为20dm2的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积约为（ ）
A．14dm2 B．12dm2 C．8dm2 D．6dm2
二、填空题
13．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．因曰：‘我亦无他，惟手熟尔，’”可见技能可以通过反复苦练而达到熟能生巧．如图，已知铜钱的直径为，厚度为，一枚铜钱的平均密度约为．为计算铜钱的质量，做如下试验：将一滴油（油滴的大小忽略不计）随机滴在铜钱上，重复m次，记录下油滴恰好穿过中心孔的次数为n次．由此可以估计，一枚铜钱的质量约为 （用含m．n，的式子表示）．
14．第十四届全国冬季运动会于2024年2月17日至27日在内蒙古自治区举办，吉祥物是蒙古彩娃——安达和赛努．数学组的同学将若干印有不同吉祥物图案的卡片（除图案不同外，其余都相同），放在一个不透明的盒子里，搅后随机摸出一张卡片，记下图案后放回，搅匀后再摸……如此重复．若重复1000次“摸卡”试验后，发现其中有250次摸到安达，则第251次摸到赛努的概率为 ．
15．如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数附近，由此可估计不规则区域的面积是 ．
16．在不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白玻璃球，已知白球有60个．同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数可能为 ．
17．我们将2022年2月2日用一组数字“20220202”表示，这组数字中“2”出现的频率是 ．
三、解答题
18．一粒木质中国象棋子“帅”，它的正面雕刻一个“帅”字，它的反面是平滑的．将它从一定高度抛掷，落地反弹后可能是“帅”字面朝上，也可能是“帅”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“帅”字面朝上的概率，某试验小组做了棋子抛掷试验，试验数据如下表：
试验次数
“帅”字面朝上的频数
“帅”字面朝上的频率
(1)求出上表中数据和的值；
(2)根据表格，请你估计将它从一定高度抛掷，落地反弹后“帅”字面朝上的概率是多少？（保留两位小数）
19．某商场有一个可以自由转动的转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701
落在“铅笔”的频率
(1)计算并完成表格（结果保留小数点后两位）；
(2)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少（结果保留小数点后一位）？
20．某批乒乓球的质量检验结果如下表：
抽取的乒 乓球数
优等品的 个数
优等品的 频率
(1)填写表中的空格；
(2)这批乒乓球优等品概率的估计值是多少？（结果保留小数点后一位）
21．某班学生就老百姓最关注的热点问题，在网络上发布了相应的调查问卷．到目前为止，共有不同年龄段的2880人参与，具体情况统计如下：
抽取的30-35岁人群的关注情况
关心问题 频数 频率
收入分配 90 0.25
住房问题 0.15
物价调控 36 0.1
医疗改革 18
养老保险 0.15
其他 108
合计
所调查的2880人年龄的分布情况
(1)根据统计表可得： _____， _____， _____，
_____．
(2)扇形图中表示30-35岁的扇形的圆心角是多少度？
(3)在参加调查的30-35岁段中随机抽取一人，关心物价调控或医疗改革的概率是多少？
(4)从上表中，你还能获得其他的信息吗（写出一条即可）？
22．你同意以下的说法吗？请说明理由．
(1)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验中，小丽做了20次试验，发现硬币落地后共有1次正面朝上，小丽说：“我可以确定硬币落地后正面朝上的概率是．”
(2)小亮在连续5次抛掷一枚质地均匀的硬币时发现硬币落地后都是正面朝上，由此他说：“虽然抛掷一枚质地均匀硬币正面朝上的概率是0.5，但是由于前5次都是正面朝上，所以第6次抛掷这枚硬币正面朝上的概率应该小于0.5．”
23．某市林业局为了解某种花卉的移植成活率，对本市这种花卉的移植情况进行了调查统计，并绘制了统计图（如图）．请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：
(1)这种花卉成活的频率稳定在_________附近，估计成活概率为_________（精确到）．
(2)已知该林业局已经移植这种花卉20000棵，问：
①这批花卉成活的棵数约为多少？
②如果根据市政规划，这种花卉需要成活90000棵才能满足需求，那么估计还需要移植多少棵？
24．某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如表所示：
抽取作业数量n 100 200 300 400 500 1000
优秀数量m 94 194 288 380 475 b
优秀频率 a 0.97 0.96 0.95 0.95 0.95
(1)计算：______，______；
(2)估计该市学生作业优秀的概率．（精确到0.01）
《3.2频率的稳定性》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A D A C C B B C
题号 11 12
答案 D B
1．D
【分析】本题考查了根据频率估算概率，根据大量重复试验的结果，频率逐渐趋向于概率，由此即可求解，理解频率和概率之间的关系是解题的关键．
【详解】解：根据表格信息，近视学生数与的比值逐渐趋向于，
故选：．
2．A
【分析】本题考查折线统计图，利用样本的频率估计总体，根据图形可以发现，在0.9附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率，再求解即可．
【详解】解：由题图可知，移植8千棵树苗时成活的频率为0.9，
所以（棵）．
故选A．
3．A
【分析】本题主要考查模拟实验以及利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
用总质量乘以样本中发芽的频率即可．
【详解】解：根据题意知，900这样的绿豆种子中发芽的大约有．
故选：A．
4．D
【分析】概率取值范围：，随机事件的取值范围是．
【详解】解：概率取值范围：．而必然发生的事件的概率（A），不可能发生事件的概率（A），随机事件的取值范围是．观察选项，只有选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了概率的意义和概率公式，解题的关键是：事件发生的可能性越大，概率越接近于1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
5．A
【分析】本题考查了概率的意义，根据随机事件发生的概率在0和1之间，不可能事件的概率是0，必然事件的概率是1，可得答案．
【详解】解：A、任何事件的概率不能大于1小于零，故A符合题意；
B、任何事件的概率不能大于1小于零，故B不符合题意；
C、任何事件的概率不能大于1小于零，故C不符合题意；
D、任何事件的概率不能大于1小于零，故D不符合题意；
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了频率估计概率，求频率，根据频率估计概率逐项分析判断即可求解．
【详解】随着抛掷次数的增加，正面向上的频率不能确定，但会稳定在附近，故A选项错误；
当抛掷的次数很大时，正面向上的次数接近，而不一定是，故B选项错误；
随着试验次数的增加，反面向上的频率会稳定在附近，故C选项正确；
连续抛掷次硬币，正面向上的频率为，则反面向上的频率是，故D选项错误．
故选：C．
7．C
【分析】由图可得，成活概率在上下波动，由此即可得到答案．
【详解】解：由图可得这种树苗成活的频率稳定在，故这种树苗移植成活的概率约为，
故选：C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，采用数形结合的方法是解此题的关键．
8．B
【分析】根据白球的概率可估计红球的概率，即可求解．
【详解】解：红球的个数为：（个），
故选：B．
【点睛】本题考查用频率估计概率，当进行大量重复试验时，频率稳定在概率附近．
9．B
【分析】用红球的数量除以红球的频率即可．
【详解】解：（个，
所以可以估算出的值为20，
故选：B．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握在大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
10．C
【分析】根据必然事件、随机事件、不可能事件、概率的含义去判断即可．
【详解】A、某一事件发生的可能性非常大也是随机事件，故此选项错误；
B、概率很小的事情也可能发生，故此选项错误；
C、2022年1月27日杭州会下雪是随机事件，正确；
D、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数是500次，是随机事件，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了必然事件、随机事件、不可能事件、概率的含义，理解这些概念的含义是正确解答的关键．
11．D
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
【详解】解：设白球有个，根据题意得：
，
解得：，
经检验是分式方程的解，且符合题意，
∴估计袋子中的白球大约有30个．
故选：D．
【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率，关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
12．B
【分析】用总面积乘落入黑色部分的频率稳定值即可得出答案．
【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
据此可以估计黑色部分的面积为，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13．
【分析】此题考查了频率估计概率的应用和分式的加减运算，得出中心孔的面积占整个铜钱圆面积的是解题的关键．求出铜钱的体积后，再用铜钱的体积乘以铜钱的平均密度即可得到答案．
【详解】解：∵将一滴油随机滴在铜钱上，重复次，记录下油恰好穿过中心孔的次数为次．
∴由此可以估计，中心孔的面积占整个铜钱圆面积的，
∴铜钱的实际面积为（），
∴铜钱的体积为（），
∴由此可以估计，一枚铜钱的质量约为，
故答案为：．
14．/
【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．首先得到摸到安达的频率为，估计摸到安达的概率为，进而求解即可．
【详解】∵重复1000次“摸卡”试验后，发现其中有250次摸到安达，
∴摸到安达的频率为
∴估计摸到安达的概率为
∴摸到赛努的概率为
∴第251次摸到赛努的概率为．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．
首先确定小石子落在不规则区域的概率，然后利用概率公式求得其面积即可．
【详解】解：∵经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数附近，
∴小石子落在不规则区域的概率为，
∵正方形的边长为，
∴面积为，
设不规则部分的面积为s，
则，
解得：，
故答案为．
16．20
【分析】设红球个数为x个，根据概率公式列出方程，然后求解即可得出答案．
【详解】解：设红球个数为x个， 根据题意得：，
解得：x=20， 经检验x=20是原方程的解，
则袋中红球个数可能为20个．
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
17．/0.625
【分析】根据“2”出现的次数除以总个数即可．
【详解】解：“20220202”，共有8个数字，其中2出现的次数为：5次，
∴“2”出现的频率为：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查频率的计算，理解频率的计算方法是解题关键．
18．(1)；
(2)
【分析】（1）根据：频率频数试验次数，即可求解；
（2）随着试验次数的增加，事件发生的频率会逐渐稳定在概率附近．
【详解】（1）解：；．
（2）解：估计落地反弹后“帅”字面朝上的概率是．
【点睛】本题考查事件的频率、频率的稳定性等相关知识点．掌握频率与概率的区别与联系是解题的关键．
19．(1)0.68、0.74、0.68 、0.69、0.68、0.70
(2)
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，数值越来越精确．
（1）根据频率的算法，频率＝频数÷总数，可得各个频率；
（2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率．
【详解】（1）解：
转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”的次数 68 111 136 345 546 701
落在“铅笔”的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70
（2）由表格可知：获得铅笔的概率约是；
故转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是．
20．(1)，，
(2)
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（1）根据表格中数据计算填表即可；
（2）利于频率估计概率求解即可．
【详解】（1）解：，，；
（2）由表中数据可判断优等品频率在左右摆动，于是利于频率估计概率可得这批乒乓球优等品概率的估计值是．
21．(1)
(2)度；
(3)
(4)所调查的2880人中年龄在-40岁的人数最多．
【分析】此题考查了频率估计概率，频数分布统计表，扇形圆心角等知识．
（1）根据频数分布统计表求出相关数据即可；
（2）用占比乘以即可得到答案；
（3）用频率估计概率即可；
（4）根据数据进行回答即可．
【详解】（1）解：观察频数统计表可知：,
故答案为：
（2）
即扇形图中表示30-35岁的扇形的圆心角是度；
（3）关心物价调控或医疗改革的概率是
（4）所调查的2880人中年龄在-40岁的人数最多（答案不唯一）
22．(1)不同意，见解析
(2)不同意，见解析
【分析】本题考查的是频率和概率的意义，熟知概率的定义是解答此题的关键．
（1）根据“频率”和“概率”的定义即可判断；
（2）根据“频率”和“概率”的定义即可判断．
【详解】（1）解：不同意，小丽混淆了“频率”和“概率”．做了20次试验，发现硬币落地后共有11次正面朝上，只能确定在这20次试验中，正面朝上的频率是．
（2）解：不同意，对于一个随机事件，它发生的概率是由它自身决定的，是独立的，并不受其他事件的干扰，也就是说，第6次抛掷这枚硬币的概率不会受到前5次抛掷结果的影响．
23．(1)0.9，0.9
(2)①18000棵 ②80000棵
【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解概率的意义是解答本题的关键．
（1）根据统计图可得频率，根据频率与概率的关系可得概率；
（2）①用20000乘以成活的概率即可；
②用移植的总棵数减去已经移植的棵数．
【详解】（1）解：由图可知，这种花卉成活的频率稳定在附近，估计成活概率为．
故答案为：；
（2）解：①（棵），
答：这种花卉成活率约18000棵．
②（棵），
答：估计还要移植80000棵．
24．(1)0.94，950
(2)0.95
【分析】本题主要考查了频率、概率的计算及用频率估计概率的应用，熟练掌握频率公式和用频率估计概率的思想是解题的关键．
（1）根据频率公式求，根据优秀数量抽取作业数量×优秀频率求即可；
（2）观察随着抽取作业数量增加，优秀频率的稳定值，以此估计概率．
【详解】（1）解：，，
故答案为，；
（2）解：随着增大，优秀频率稳定在附近，
∴估计该市学生作业优秀的概率大约是．