4.2全等三角形同步练习 （含解析） 北师大版数学七年级下册

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4.2全等三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知，若，，则的长为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，，如果，，，那么的长是（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．如图，和是对应角．在中，是最长边，在中，是最长边，，则线段的长度及的度数是（ ）

A． B． C． D．
4．下列说法正确的是( )
A．若，则与互余
B．面积相等的三角形是全等三角形
C．相等的角是对顶角
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
5．已知△ABC≌△DEF，BC=EF=6cm，△ABC的面积为18cm2，则EF边上的高是（　　　）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
6．已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．下列定理中没有逆定理的是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．直角三角形的两个锐角互余
C．斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等
D．全等三角形的对应角相等
8．如图，在中，于点D，E是上一点，若，，，则的周长为（ ）
A．24 B．23 C．22 D．26
9．如图所示，，C，D是对应点，下列结论错误的是（　　）
A．与是对应角 B．与是对应角
C．与是对应边 D．与是对应边
10．如图，AD是的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且，连接BF，CE，下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
11．如图，若，C，D是对应顶点，则下列结论错误的是（ ）
A．与是对应角 B．与是对应角
C．与是对应边 D．与是对应边
12．对于题目“如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动也随之结束）．在射线上取一点，在点M，N运动到某处时，存在与全等，求此时的值．”甲的结果是，乙的结果是1，丙的结果是，则下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙两人的结果合起来才对
B．乙、丙两人的结果合起来才对
C．甲、丙两人的结果合起来才对
D．甲、乙、丙三人的结果合起来才对
二、填空题
13．已知，的三边为的三边为、、，的三边为、、，若的各边都是整数，则的最大值为 ．
14．如图，若沿直线对折，与重合，则 ，的对应边是 ，的对应边是 ，的对应角是 ，的对应角是 ．
15．如图：、是的边、上的点，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 (填序号)
16．如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，当的值为 ，可以使与全等．
17．已知，的三边长分别为、、，的三边长分别为、、．若的三边长均为整数，则的最大值为 ．
三、解答题
18．如图1，在中，，，，.动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒．
(1)当时，______（用含的式子表示）；
(2)当且的面积等于面积一半时，求的值；
(3)如图2，在中，，，，.在边有一动点，与点同时从点出发，沿边运动，回到点停止.当时，求点的运动速度．
19．已知正方形中，边长为，点在边上，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上以的速度由点向点运动，设运动的时间为秒．
(1)的长为______（用含的代数式表示）．
(2)若以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，求的值．
20．已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，．
(1)求m，n的值；
(2)当边长小于边长时，以，，为三角形的三边长，求边长a取值范围．
21．方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？请画出分割线．
22．如图1，把大小为的正方形网格分割成了两个全等形．请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把的正方形网格分割成两个全等形．

23．如图，．请写出图中相等的线段．
24．沿网格线把正方形分割成两个全等图形？用两种不同的方法试一试．
《4.2全等三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C A A D D A C C
题号 11 12
答案 C B
1．C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
根据全等三角形的性质得出，，根据，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴．
故选：C．
2．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，即可求解．
【详解】解：∵和是对应角．
∴，
故选：C．
4．A
【分析】本题综合考查了全等三角形的判定，三角形的面积，垂线以及对顶角、余角．难度不大，掌握相关的定义及性质即可作出正确的判断根据余角定义、全等三角形判定、对顶角性质及垂线性质逐一分析选项．
【详解】解：A． 若，根据余角的定义，与互为余角，正确．
B． 面积相等的三角形不一定全等．例如底和高不同但面积相等的三角形，形状不同，错误．
C． 相等的角不一定是对顶角，如平行线中的同位角也可能相等，错误．
D． 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直需满足“同一平面内”和“直线外一点”的条件，题目未限定，错误．
故选：A．
5．A
【分析】利用全等三角形的性质找出同一个三角形的底边长及面积，代入面积公式即可求解三角形的高．
【详解】解：设△DEF的面积为s，边EF上的高为h，
∵△ABC≌△DEF，BC=EF=6cm，△ABC的面积为18平方厘米，
∴两三角形的面积相等，即s=18，即有，
解得：h=6，
即EF边上的高为6cm，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形性质的应用，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
6．D
【分析】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键．根据全等三角形对应角相等可知是边的夹角，然后写出即可．
【详解】解：第一个三角形中之间的夹角为，另一个三角形中是两边的夹角．
两个三角形全等，
．
故选：D．
7．D
【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．分别写出各个命题的逆命题，根据全等三角形的性质和判定定理、直角三角形的判定定理判断即可．
【详解】解：A中、三边分别相等的两个三角形全等的逆命题是两个三角形全等的三边分别相等，是真命题，
则原定理有逆定理，不符合题意；
B中、直角三角形的两个锐角互余的逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，
则原定理有逆定理，不符合题意；
C中、斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等的逆命题是两个全等的直角三角形斜边和一条直角边分别对应相等，是真命题，
则原定理有逆定理，不符合题意；
D中、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，是假命题，
则原定理没有逆定理，符合题意；
故选：D．
8．A
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴的周长，
∵，，
∴的周长为．
故选：A．
9．C
【分析】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
根据全等三角形的性质进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴选项正确，不符合题意，
故选：C．
10．C
【分析】根据三角形中线的定义可得，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得．
【详解】解：是的中线，
，
和面积相等，故①正确；
为的中线，
，和不一定相等，故②错误；
在和中，
，
，故③正确；
，
，故④正确；
条件不足以证明CE=AE
故⑤不一定正确，
综上所述，正确的结论为：①③④，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
11．C
【分析】本题考查了全等三角形的性质的应用，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键；
根据全等三角形的性质进行判断即可．
【详解】∵，，是对应顶点，
∴对应角为与，与，与；对应边为与，与，与．
A．与是对应角，正确，故本选项不符合题意；
B．与是对应角，正确，故本选项不符合题意；
C．与是对应边，不是，错误，故本选项符合题意；
D．与是对应边，正确，故本选项不符合题意；
故选C．
12．B
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键．
根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可．
【详解】解：点在线段上以的速度由点向点运动，
∴点从的时间为，
∵它们运动的时间为，
∴，，则，
当时，
∴，
∴，
解得，；
当时，
∴，
∴，
解得，．
综上所述，乙、丙两人的结果合起来才对．
故选：B．
13．22
【分析】根据全等三角形对应边相等可得、中有一边为，、有一边为，剩下的两边相等，再根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长的边，然后相加即可.
【详解】解：∵，
∴、中有一边为，、中有一边为，、与、中剩余两边相等，
∵，
∴两三角形剩余两边最大为，
∴的最大值为：.
故答案为：.
【点睛】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质是解题的关键.
14．
【分析】本题考查翻折变换及全等三角形的相关概念，解题的关键是掌握翻折的性质及找全等三角形对应边、角的方法．
根据翻折的性质解答即可．
【详解】解：若沿直线对折，与重合，则，的对应边是，的对应边是，的对应角是，的对应角是，
故答案为：，，，，．
15．①②③④
【分析】本题考查了全等三角形的性质及中点的性质，找到相应等量关系是解题的关键．判断各个选项的正误，要由已知条件：的出相等的角，相等的边，即可求解．
【详解】解：，
，，，，
，
，，
，，
是的中点，
，
又，
；所以①②③④均正确，
故答案为：①②③④．
16．2.4或2
【分析】本题考查了全等三角形的判定．分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是长方形，
∴．
当，时，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴；
当，时，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的值为2.4或2．
故答案为：2.4或2．
17．25
【分析】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质是解题的关键，根据全等三角形对应边相等可得、中有一边为，、有一边为，剩下的两边相等，再根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长的边，然后相加即可．
【详解】解：，
、中有一边为，
、中有一边为，
、与、中剩余两边相等，
，
两三角形剩余两边最大为，
的最大值为：．
故答案为∶．
18．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据路程等于速度乘上时间，即可作答．
（2）当时，点在上，利用速度乘时间即可求解，根据面积以及三角形中线的性质，即可作答．
（3）设点的运动速度为，然后分点在上，点在上；点在上，点在上两种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，代数式，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键．
【详解】（1）解：依题意，在中，，，，，动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为，
∴在时，则．
故答案为：；
（2）解：如图：
当时，，
∵的面积等于面积一半
∴此时’
∴
解得
（3）解：设点的运动速度为，
①当点在上，点在上，时，，，
，
解得；
②当点在上，点在上，时，，，
点的路程为，点的路程为，
，
解得；
运动的速度为或，
故答案为：或．
19．(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）根据即可得到答案；
（2）分情况讨论时对应边的关系，通过不同的对应关系列式求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：若，
则，即，
∴，；
若
则，，则
得：，
解得：．
20．(1)，或；
(2)，
【分析】本题考查了全等三角形的性质及三角形三边关系，
（1）有两种情况：与8、与10分别是对应边；与10、与8分别是对应边；分别求出m与n即可；
（2）根据（1）中结果，确定，；再根据三角形三边关系分析即可．
熟练掌握全等三角形的性质及三角形三边关系是解题关键．
【详解】（1）解：当与8、与10分别是对应边时，则，
∴；
当与10、与8分别是对应边时，则，
∴；
综上，或；
（2）因为边长小于边长，所以取，；
当时，以a，m，n为三角形的三边长，
则边长a取值范围为．
∴．
21．见解析
【分析】观察第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可．
【详解】解：如图所示，第一个图，图中共有20个小方格，要分成完全相同两部分，则每个有10个小格，则可按如图所示，沿A→B→C→D分割；第二个图同理沿E→F→G→H→P→Q分割即可．
将分割出的两个图形，逆时针旋转90度，再通过平移，两部分能够完全重合，所以分割出的两部分完全相同．
【点睛】本题考查图形全等，掌握全等图形的定义是解题的关键．
22．见解析
【分析】可以利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形．
【详解】解：∵要求分成全等的两块，
∴每块图形要包含有8个小正方形．

【点睛】本题主要考查的是作图-应用与设计作图，利用对称性和互补性解题．
23．与，与
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，能准确找到对应边是解题关键．
根据全等三角形的性质，对应边相等，进行解答即可．
【详解】解：，
，．
图中相等的线段为：与，与．
24．见解析
【分析】观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为8，且图形形状相同即可．
【详解】解：如图所示即为所求．
【点睛】题目主要考查了全等图形的定义及学生的空间想象能力，理解全等图形的定义是解题关键．