4.3探索三角形全等的条件同步练习 （含解析） 北师大版数学七年级下册

中小学教育资源及组卷应用平台
4.3探索三角形全等的条件
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
2．程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当，时，可得到形状唯一确定的；
②当，时，可得到形状唯一确定的；
③当，时，可得到形状唯一确定的．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
3．如图，用窗钩可将窗户固定，其所运用的几何原理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性
4．如图，，．，，垂足分别是点、，，，则的长是（　　）
A． B． C． D．
5．将个面积都是的正方形按如图所示的方法摆放，点、……分别是各正方形的中心，则个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，于点，点是上一点，连接，若，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图，是锐角的高，相交于点D，若，则的长为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图是嘉淇测量池塘宽度设计的方案，下列说法不正确的是（ ）
①先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和；
②连接并延长到点，使；
③连接并延长到点，使；
④连接，量出的长即为的距离．
A．★代表 B． 代表 C．代表 D．该方案的依据是AAS
9．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为M．若∠ABC＝30°，∠C＝38°，则∠CDE的度数为（ ）
A．68° B．70° C．71° D．74°
10．如图，已知，用直尺和圆规按照以下步骤作图：
①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；
②画射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；
③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；
④过点画射线；
根据以上操作，可以判定，其判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，为等边三角形，要在外部取一点，使得和全等，下面是两名同学做法：（ ）
甲：①作的角平分线；②以为圆心，长为半径画弧，交于点，点即为所求；
乙：①过点作平行于的直线；②过点作平行于的直线，交于点，点即为所求．
A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
12．如图，为了测量出A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接、，使，然后在的延长线上确定D，使，那么只要测量出的长度也就得到了A、B两点之间的距离，这样测量的依据是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在中，点M在边上，，垂足为N，平分，的周长为18，，则的周长为 ．
14．物理中的小孔成像如图，一兴趣小组在做用蜡烛探究小孔成像原理的实验时，发现小孔存在一位置使得，．已知蜡烛成像火焰高度为，则蜡烛实际火焰的高度为 ．
15．如图，，，则，理由是 ．
16．如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，．
17．如图，在和中，，，那么由所给条件判定和全等的依据可以简写为 ．
三、解答题
18．判断下列各组中的两个三角形是否全等，并说明理由
(1)图（1）中的与．已知条件是，
(2)图（2）中的与．已知条件是，
(3)图（3）中的与．已知条件是，，
19．已知：如图，中，D、E为AC边的三等分点，，交BD的延长线于F，求证：点D是BF的中点．
20．如图，已知，，，且B、C、D三点在同一直线上．
求证：．把以下证明过程补充完整．
证明：，
________________，
________________．
在和中，
（________）．
．
21．小聪同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，，相交于O，．垂足为D，已知米，请根据上述信息求标语的长度．
22．如图，已知四边形，其中，，．
(1)求证：．
(2)作的垂直平分线，分别交，于点，（保留作图痕迹，不写作法）．
23．如图，在中，，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，垂足为，．
(1)当直线不与底边相交时．
①求证：，
②猜想，，之间的数量关系并证明．
(2)将直线绕点顺时针旋转，使与底边交于点（不与点，重合），请你探究，，之间的数量关系．
24．如图，要测量池塘的长度，但点，之间不能直接测量，已知点，，，在同一条直线上，小明想了个办法先在的一边取了个点，连接，再在的另一边取了个点，使得，且，同时．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
《4.3探索三角形全等的条件》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D B D B A D D D
题号 11 12
答案 A B
1．B
【分析】根据三角形具有稳定性即可判断．
【详解】解：选项B是由两个三角形组成，具备稳定性，
故选B．
【点睛】本题考查了多边形中三角形具有稳定性，掌握三角形具备稳定性是解题关键．
2．B
【分析】以为圆心，长为半径画弧，与射线有1个交点，则可得到形状唯一确定的，否则不能得到形状唯一确定的．根据此观点进行解答便可．本题主要考查全等三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：①当，时，以为圆心，6为半径画弧，与射线有两个交点，则的形状不能唯一确定，故①错误；
②当，时，以为圆心，10为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故②正确；
③当，时，以为圆心，12为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故③正确；
故选：B．
3．D
【分析】本题考查的是三角形的稳定性，根据点A、B、O组成一个三角形，利用三角形稳定性解答即可．
【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形状，
所以，主要运用的几何原理是三角形具有稳定性．
故选：D．
4．B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，余角性质，由已知可得，进而由余角性质得到，即可得到，得到，，再根据线段的和差关系可求出的值，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：，，
，
．
，
，
在和中，
，
∴，
，，
，
故选：．
5．D
【分析】本题考查了正方形中的规律，根据每个阴影面积是正方形面积的即，根据规律一共有n个，计算即可．
【详解】如图，设第一个正方形的一个顶点为Ｆ，两个正方形的边的交点分别为点Ｄ和点Ｅ，过点作于点Ｂ，作于点Ｃ，
∵是正方形的中心，且每个大正方形的面积都是2，
∴，四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵两个正方形构成一个1阴影，3个正方形构成2个阴影，4个正方形构成3个阴影，
∴个正方形构成n个阴影，
∴它们的和为，
故选：D．
6．B
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解答的关键．证明，利用全等三角形的对应边相等即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据题意得出，再根据同角的余角相等得出，根据证明，最后根据全等三角形的性质及线段的差与和即可得出答案．
【详解】解：∵是锐角的高，
，
，
，
，
，
，，
．
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据全等三角形的判定即可求解．
【详解】解：①先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和；
②连接并延长到点，使，A选项正确；
③连接并延长到点，使，B选项正确；
④连接，量出的长即为的距离，C选项正确；
该方案的依据是，D选项错误，
故选：D．
9．D
【分析】利用三角形内角和定理求出∠BAC=112°，利用全等三角形的性质证明∠BED=∠BAD即可解决问题．
【详解】解：∵∠ABC=30°，∠C=38°，
∴∠BAC=112°，
在△BMA和△BME中，
．
∴△BMA≌△BME（ASA），
∴BA=BE，
在△BDA和△BDE中，
，
∴△BDA≌△BDE（SAS），
∴∠BED=∠BAD=112°，
∴∠CED=68°，
∴∠CDE=180°-∠C-∠CED=74°，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．D
【分析】根据三边对应相等的两个三角形全等利用尺规作图作一个角等于已知角．
【详解】解：在△OCD和△中，
，
∴（SSS），
∴∠DOC=∠．
故选择D．
【点睛】本题考查做一个角等于已知角，三角形全等判定与性质，掌握尺规作图一个角等于已知角的依据，三角形全等判定与性质是关键．
11．A
【分析】本题主要借助尺规作图考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
根据题意先画出相应的图形，然后进行推理论证即可得出结论．
【详解】甲的作法如图一：
∵为等边三角形，是的角平分线
∴
由甲的作法可知，
在和中，
故甲的作法正确；
乙的作法如图二：
在和中，
故乙的作法正确；
故选：A．
12．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；根据题意可证，则，问题得解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
即这样测量的依据是，
故选：B．
13．24
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据角平分线和垂直证明，然后利用全等三角形的性质可得，，从而利用等量代换进行计算即可解答．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵的周长为18，
∴，
∴，
∴的周长，
故答案为：24．
14．
【分析】本题考查了全等三角形的 判定和性质，利用可证，进而得到，即可求解，掌握全等三角形的 判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握证明两三角形全等是解题的关键．
【详解】解：在和中，
，
∴，
故答案为：．
16．4或10
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法．设点E运动的时间为，分两种情况讨论，一是点E从点B出发沿射线方向运动，可证明，则，而，且，所以，求得；二是点E从点B出发沿射线方向运动，可证明，则，此时，所以，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：设点E运动的时间为，
如图1，点E从点B出发沿射线方向运动，
∵为边上的高，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
解得；
如图2，点E从点B出发沿射线方向运动，则，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
解得，
综上所述，当点E运动或时，，
故答案为：4或10．
17．
【分析】本题考查三角形全等的判定，根据，和即可得证．解题的关键灵活选用全等三角形判定的方法解决问题．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴由所给条件判定和全等的依据可以简写为，
故答案为：．
18．(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
（1）根据定理即可证出；
（2）根据定理即可证出；
（3）先根据线段的和差可得，再根据定理即可证出．
【详解】（1）解：，理由如下：
在和中，
，
∴．
（2）解：，理由如下：
在和中，
，
∴．
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴．
19．见解析．
【分析】先根据已知条件，利用ASA证明，则有BD=FD，故即可证点D是BF的中点．
【详解】证明：∵中，D、E为AC边的三等分点，
∴AD=DE．
∵，
∴∠BAD=∠FED．
在和中
∠ADB=∠FDE，AD=DE，∠BAD=∠FED，
∴（ASA）．
∴BD=FD．
∴点D是BF的中点．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定定理和性质，能证明三角形全等是解答此题的关键．
20．；；；；；
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
由得出，再证明，即可得解．
【详解】证明：，
．
．
在和中，
，
．
21．
【分析】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定和性质，灵活选用判定三角形全等的方法是解题的关键．利用平行线的性质和题意证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
答：标语的长度为．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接用证明三角形全等即可；
（2）分别以、为圆心，大于长为半径作弧交于两点，过两交点作直线，即为所作垂直平分线．
【详解】（1）证明：在和中，
．
（2）如图，即为所求．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，作垂直平分线，熟练掌握全等三角形的判定、垂直平分线尺规作图是解题关键．
23．(1)①见解析；②，见解析
(2)或，见解析
【分析】（1）①根据同角的余角相等证明即可；
②利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，，结合图形证明结论；
（2）分、两种情况，根据全等三角形的判定定理和性质定理证明即可．
【详解】（1）解：①证明：∵，
∴．
∵直线，
∴，
∴；
②．
理由：在和中，，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：如图1，当时，
∵，直线，
∴．
∵，直线，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴；
如图2，当时，
∵，直线，
∴．
∵，直线，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质．
（1）先由平行线的性质得到，再利用证明即可；
（2）利用全等三角形的性质证明，再结合已知条件即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
答：的长是．