4.4利用三角形全等测高同步练习（含解析） 北师大版数学七年级下册

中小学教育资源及组卷应用平台
4.4利用三角形全等测高
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列语句：①形状相同的三角形是全等三角形；②任意两边对应相等的两个直角三角形全等；③两个等边三角形一定全等；④有两角一边对应相等的两个三角形全等．其中错误的说法个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．如图，已知，点、分别在、上且，连接，，交于点，连接，过点分别作，垂足分别为，下列结论：①；②；③平分；④若点是的中点，则；⑤如果，则是的中点；其中正确结论的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图，已知，下列条件中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，若要使，则添加的一个条件不能是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在和中，，请添加一个条件 ，使得，添加正确的是（ ）

A． B． C． D．平分
6．如图，已知，再添加一个条件，仍不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，分别以△ABC的边AB、AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有下列结论：①；②；③OA平分∠BOC；④．其中一定正确的结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．如图，，由“”判定，则需添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
9．下列选项所给条件能画出唯一△ABC的是（ ）
A．，， B．，，
C．， D．，，
10．如图，与相交于点，，只添加一个条件，能判定的是( )

A． B． C． D．
11．如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，，，于点，于点，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B分别为x轴和y轴上一点，且，过点B作于点E，延长至点D，使得，连接，若点C在第一象限，点C的坐标为，连接，与交于点F，则点D的坐标为 ．
14．如图，在四边形中，，，，点E在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段上由点B向点C运动，设运动时间为，当与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为 ．

15．如图所示，已知，，垂足分别为，，要使，可增加的一个条件是 ．
16．如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使．

（1）若以“”为依据，则需添加一个条件是 ，
（2）若以“”为依据，则需添加一个条件是 ．
17．已知：如图，，点在上．下列结论：①；②；③．其中正确的是 （填序号）

三、解答题
18．两个三角形的两边及其中一边上的高对应相等，这两个三角形是否全等？若全等，请给出证明；若不全等，请说明理由．
19．课上老师提出了这样一个问题：已知：如图，，再添加一个条件，可以证明．
(1)同学们认为可以添加的条件并不唯一，
同学甲添加的条件是：，则的理由是______
同学乙添加的条件是：，则的理由是______
同学丙添加的条件是：，则的理由是______
(2)若添加的条件是，证明：．
20．【初步探索】
（1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ．
【灵活运用】
（2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数．
21．已知：如图，，，求证：．
22．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图（1），在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到的理由是______．
A． B． C． D．
（2）AD的取值范围是______．
A． B． C． D．
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
【方法应用】
（3）如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，．求证：．
【拓展延伸】
（4）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，则的长为______．
23．如图，，，点、、、在同一直线上，连接、交于点．
(1)添加一个条件：________，使得，并说明理由；
(2)用尺规作图在的下方作一点，使得．（要求保留作图痕迹，不写作法）
24．【教材呈现】
在人教版八年级上册数学教材的数学活动中有这样一段描述：
活动2 用全等三角形研究：“筝形”
如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想．
请结合教材内容，解决下面问题：
【概念理解】
（1）如图1，在正方形网格中，点是网格线交点，请在网格中画出筝形；
【性质探究】
（2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整．
已知：如图2，在筝形中，．求证：．
证明：
（3）如图3，连接筝形的对角线，交于点．因此，小丽探究了筝形对角线的性质，请帮她完成填空：对角线、的位置关系是：_____；与的数量关系是：_____．
【应用拓展】
（4）如图3，在筝形中，已知，求筝形的面积．
《4.4利用三角形全等测高》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D B D D B D B B
题号 11 12
答案 B C
1．C
【分析】严格按照三角形全等的判定进行判断．
【详解】解：①形状相同，但是大小不同的三角形不是全等三角形，故本项错误；
②任意两边对应相等的两个直角三角形全等，说法正确，故本项正确；
③两个等边三角形不一定全等，故本项错误；
④有两角一边对应相等的两个三角形全等，说法正确，故本项正确；
综上可得说法错误的有①③，共2个．
故选：C
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS；直角三角形的判定定理HL，此题难度不大，是一道基础题．
2．D
【分析】本题主要考查全等三角形判断与性质，四边形的内角和，以及三角形的面积等知识点，熟知以上知识点的性质定理是解本题的关键．
根据可证明，根据可证明；通过证明可证明，即乘平分；根据，四边形内角和以及平角的性质可求得；延长至N，使,连接，证明，得到，在中，利用三角形三边关系进一步判断即可；若，在中，和的高相等，即可得．
【详解】，
，
故①正确；
，
在和中
平分
故③正确；
，
在四边形中
又
故②正确；
延长至N，使,连接，
∵E是的中点，
∴
在和中，
由①可知：
在中，
故④正确；
若
则
在中，和的高相等，
∴为的中点，
故⑤正确；综上正确的有：①②③④⑤，
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即，直角三角形可用定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据三角形全等的判定定理：逐一判断即可．
【详解】解：A、，
，故A选项不符合题意；
B、∵，
∴，
，
，故B选项不符合题意；
C、∵ ，
∴，故C选项不符合题意；
D、，，不能判断，故D选项符合题意，
故选：D．
4．B
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
和中，已知的条件有，；要判定两三角形全等只需条件一组对应角相等，或或者即可．可据此进行判断，两边及一边的对角相等是不能判定两个三角形全等的．
【详解】解：A、当时，符合的判定条件，故A不符合题意；
B、当时，给出的条件是，不能判定两个三角形全等，故B错误,符合题意；
C、当时，则，即，符合的判定条件，故B正确，不符合题意；
D、当时，符合的判定条件，故D正确，不符合题意；
故选：B．
5．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据全等三角形的判定，即可判断答案．
【详解】若添加，不满足全等三角形的判定，故选项A不符合题意；
若添加，不满足全等三角形的判定，故选项B不符合题意；
若添加，不满足全等三角形的判定，故选项C不符合题意；
若添加平分，则，，满足“”, 可判断，故选项D符合题意．
故选：D．
6．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，分别判断各个选项中的条件能否使得 即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：、在和中，
，
∴，原选项不符合题意；
、在和中，
，
∴，原选项不符合题意；
、在和中，
，
∴，原选项不符合题意；
、添加，不能证明，原选项符合题意；
故选：．
7．B
【分析】根据轴对称的性质可得∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，再根据周角等于360°列式计算即可求出∠EAD＝90°，判断出①正确；再求出∠BAE＝∠CAD＝60°，根据翻折可得∠AEC＝∠ABD＝∠ABC，利用三角形的内角和定理可得∠BOE＝∠BAE，判断出②正确；根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出③正确；无法求出∠ADE=30°，判断出④错误．
【详解】解：∵△ABD和△ACE是△ABC的轴对称图形，
∴∠BAD＝∠CAE＝∠BAC，AB＝AE，AC＝AD，
∴∠EAD＝3∠BAC 360°＝3×150° 360°＝90°，
∴，故①正确．
∴∠BAE＝∠CAD＝（360° 90° 150°）＝60°，
由翻折的性质得，∠AEC＝∠ABD＝∠ABC，
又∵∠EPO＝∠BPA，
∴∠BOE＝∠BAE＝60°，故②正确．
∵△ACE≌△ADB，
∴，BD＝CE，
∴BD边上的高与CE边上的高相等，
即点A到∠BOC两边的距离相等，
∴OA平分∠BOC，故③正确．
在△EAD中，∠EAD＝90°，
当∠ADE=30°时，，
∵题中条件无法证明∠ADE=30°，故④错误；
综上所述，结论正确的是①②③共3个．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，轴对称的性质的综合运用，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
8．D
【分析】本题考查全等三角形的判定，已知，是公共边，具备了一边一角对应相等，再有，就可以用判定．
【详解】解：已知，是公共边，具备了一边一角对应相等，
A．添加后，由“”判定，不合题意；
B．添加后，由“”判定，不合题意；
C．添加后，不能判定，不合题意；
D．添加后，由“”判定，符合题意；
故选D．
9．B
【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可．
【详解】解：A、3+4=7＜8，不符合三角形三边关系定理，即不能画出三角形，故本选项错误；
B、∠A=50°，∠B=30°，AB=2，根据(ASA)能画出唯一△ABC，故此选项正确；
C、∠C=90°，AB=90，不能根据(SA)画出唯一三角形，故本选项错误；
D、AC=4，AB=5，∠B=60°，不能根据(SSA)画出唯一三角形，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．
10．B
【分析】根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可．
【详解】解：A、不能证明△，故此选项不合题意；
B、由可得，，可利用证明，故此选项符合题意；
C、不能证明，故此选项不合题意；
D、不能证明，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，．
11．B
【分析】根据三角形全等的判定做出选择即可．
【详解】A、，不能判断，选项不符合题意；
B、，利用SAS定理可以判断，选项符合题意；
C、，不能判断，选项不符合题意；
D、，不能判断，选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定，根据SSS、SAS、ASA、AAS判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键．
12．C
【分析】利用垂直定义及同角的余角相等可得∠AEC＝∠D＝∠ACB＝90°，∠A＝∠BCD，根据AAS证明△ACE≌△CBD，可得AE＝CD＝5cm，CE＝BD＝2cm，由此即可求出DE的长．
【详解】解：∵AE⊥CE，BD⊥CE，∠ACB＝90°，
∴∠AEC＝∠D＝∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠ACE＝90°，∠ACE＋∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵AC＝BC，
∴△ACE≌△CBD（AAS），
∴AE＝CD，CE＝BD，
∵AE＝5cm，BD＝2cm，
∴DE＝CD CE＝5 2＝3cm．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键．
13．
【分析】如图，先证明再根据证明，即得，接着再证明，即可得出，从而求得结果．
【详解】解：过点D作轴于点K，过点C作于点L，与x轴相交于点H，
如图所示：
，
，
在中，，
在中，，
，
，
在和中，
，
，
又，
，
即，
，
，
，
在和 中，
，
，
，
点C的坐标为，即，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是会添加辅助线，构造全等三角形．
14．1或
【分析】设点的运动速度为，则，，，由于，则当，时，根据“”判断，即，；当，时，根据“”判断，即，，然后分别解方程求出即可．
【详解】解：设点的运动速度为，则，，，
，
当，时，根据“”判断，
即，，解得，；
当，时，根据“”判断，
即，，解得，，
综上所述，点的运动速度为1或．
故答案为：1或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
15．
【分析】本题考查全等三角形判定．根据题干和两个条件，即已知一边及其对角对应相等，此时添加即可证明三角形全等，答案不唯一．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴此时若添加即可判定两个三角形全等，理由如下：
在和中，
，
∴（AAS）．
故答案为：（答案不唯一）．
16．
【分析】（1）根据“”证明全等进行求解即可；
（2）根据“”证明全等进行求解即可．
【详解】解：（1）在与中，已知，，
若添加，
∴；
故答案为：；
（2）∵在与中，已知，，
若添加，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定方法，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的判定方法．
17．①②③
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法是解题的关键．
根据题意，运用边边边证明，再运用边角边证明，，由此即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，故结论①正确；
∵，，，
∴，过结论②正确；
∵，
∴，
∵，，，
∴，故结论③正确；
故答案为：①②③．
18．不一定全等．理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，易错之处是认为题中三角形都是锐角三角形，从而得到两个三角形全等的结论．而事实上题目中的两个三角形并没有指明都是锐角三角形，因此容易犯特殊代替一般的错误．
【详解】解：不一定全等．理由如下：
当两个三角形均为锐角三角形或均为钝角三角形或均为直角三角形时全等，以两个三角形均为锐角三角形为例进行证明．（另外两种情况同理可证）．
已知：如图①，锐角三角形和锐角三角形中，，于点D，于点H，且．
求证：．
证明：因为，
所以．
在和中，
因为，
所以，
所以．
在和中，
因为，
所以．
当两个三角形不都是锐角三角形时不全等，反例如答②．
19．(1)；；
(2)详见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识点，
（1）根据全等三角形的判定定理逐一进行证明即可得解；
（2）根据全等三角形的判定定理推出，再根据全等三角形的性质得出，求出，再根据全等三角形的判定定理证明即可；
熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
【详解】（1）同学甲：在和中，
，
∴，
故答案为：；
同学乙：在和中，
，
∴，
故答案为：；
同学丙：在和中，
，
∴，
故答案为：；
（2）在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
在和中，
，
∴．
20．（1），理由见解析；（2）仍然成立，理由见解析；（3）
【分析】（1）延长到点G，使，连接，可判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出，据此得出结论；
（2）延长到点G，使，连接，先判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出；
（3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定≌，再判定≌，得出，最后根据，推导得到，利用，推导出的度数，即可得出结论．
【详解】解：（1），理由如下：
如图1，延长到点G，使，连接，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
故答案为：；
（2）上述结论仍然成立，理由如下：
如图2，延长到点G，使，连接，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
；
（3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
即，
，，
，
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．
21．见解析
【分析】由两角和夹边即可得出△ABD≌△ACE，由全等三角形的性质可到AE=AD，AB=AC，进而可得出结论BE=CD，再利用△BOE≌△COD，得出结论．
【详解】证明：在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴AE=AD，AB=AC，
∴AB-AE=AC-AD，
∴BE=CD，
在△BOE和△COD中，
，
∴△BOE≌△COD，
∴OE=OD
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质问题，解题的关键是理解全等三角形的判定能找出隐含的条件．
22．（1）B
（2）C
（3）证明见解析
（4）31
【分析】本题考查了用倍长中线构造全等三角形，三角形的三边关系，正确理解题意作辅助线构造全等是解题关键．
（1）由中线可得，结合已知条件和对顶角相等即可确定结果．
（2）将转化为，利用三角形三边关系可知．
（3）利用题目中给的延长中线的方法，构造，再利用已知条件证明即可证出．
（4）利用题目中给的延长中线的方法，构造可得，再证明可得，计算长度即可．
【详解】（1）解：D为中点，
，
，
，
证明方法为．
故选：B．
（2）解：由（1）得，
，
，
，
．
故选：C．
（3）证明：延长至点M，使，连结，
为的中线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（4）解：延长至点，使，连结，
为中点，
，
，
，
，
，
，
．
23．(1)，理由见解析
(2)画图见解析
【分析】（）根据全等三角形的判定解答即可；
（）分别以点为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，则，因为，所以由可证，故即为所求；
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】（1）解：当添加条件时，，理由如下：
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图所示，即为所求．
24．（1）见解析；（2）见解析；（3）；；（4）
【分析】本题主要考查筝形四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据等边四边形的定义进行画图即可；
（2）根据证明即可得到结论；
（3）证明，即可得到与的数量关系，再由得到位置关系；
（4）根据进行计算即可．
【详解】（1）解：在正方形网格中，如图1，四边形即为所求；
（2）证明：如图2，连接，在与中，
，
；
（3）；；
由（2）可得，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（4）四边形是筝形，
，
．