5.2简单的轴对称图形同步练习 （含解析） 北师大版数学七年级下册

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5.2简单的轴对称图形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图AD是∠BAC的平分线，EF∥AC交AB于点E，交AD于点F，∠1＝30°，∠BAD的度数（　　）
A．20° B．30° C．60° D．120°
2．下列尺规作图中，属于作一个锐角平分线的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，直线表示一条河，，表示两个村庄，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，则所需管道最短的方案是（　　）

A． B．
C． D．
4．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB=4，DE=2，则AC的长是（　　）
A．4 B．3 C．6 D．5
5．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（ ）
A．A B．B C．C D．D
6．如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，交 于点 ，交 于点，再分别以点，为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线 ，点为上一点，，垂足为点， 若，则点到 的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
8．如图，中，平分，于点E，于H，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：
①是等腰三角形；②；③；④．
其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．等腰三角形的一个内角是70°,则它顶角的度数是( )
A． B．或 C．或 D．
10．如图，在中，，，直线，顶点C在直线b上，直线a交于点D，交于点E，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（　　）

A．20° B．35° C．40° D．70°
12．如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）

A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8
二、填空题
13．如图，是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄，，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点，则小聪设计的理由是 ．
14．如图，正方形的边长为4，M是中点，N是中点，P是对角线上一个动点，则的最小值为 ．
15．如图，已知，点D，E分别在的垂直平分线上，且D，A，E三点共线，若四边形的周长为20，，则的长为 ．
16．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为C，OA的垂直平分线交x轴于点B，当时，△ABC的周长是 ．
17．如图，AD∥BC，BD为∠ABC的角平分线，DE、DF分别是∠ADB和∠ADC的角平分线，且∠BDF＝α，则∠A与∠C的等量关系是 （等式中含有α）

三、解答题
18．在图中直线n上作出点C，使的值最小．（不写作法，保留作图痕迹）
19．如图，四边形和四边形关于某条直线成轴对称，记这条直线为．
(1)在图①中用直尺和圆规作出直线．
(2)图中的对应线段所在的直线是否相交？如果相交，交点与对称轴有什么关系？如果不相交，这组对应线段所在的直线与对称轴有什么位置关系？由此你能归纳出什么结论？
(3)根据②中的结论，如果只有一把无刻度的直尺，你还有别的方法可以画出直线吗？请你在图②中尝试一下．
20．直线m表示一条公路，公路两旁分别有两个村庄A和B，要在公路上建一个临时车站P，使它到两个村庄距离之和最小，车站P应建在什么位置？在图中画出车站的位置，并说明这样的理由．
21．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与关于直线l成轴对称的；
(2)线段被直线l______；
(3)在直线l上找一点P，使的长最短；
(4)的面积＝______．
22．如图，中，是边的垂直平分线．若的平分线与交于点G，连结，试探究与满足的等量关系，并证明你的结论．
23．如图，在若干个长度为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上．

(1)在图中画出与关于直线l成轴对称的；
(2)求的面积；
(3)在直线l上找到一直P，使的长最短，在图中标出这一点的位置．
24．如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）：
(1)作出关于直线对称的；
(2)在直线上作一点P，使得的周长最小．
《5.2简单的轴对称图形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D B C D B A B A
题号 11 12
答案 B B
1．B
【分析】先根据平行线的性质得到，再根据角平分线即可得到∠BAD的度数．
【详解】∵EF∥AC，
∴
∵AD是∠BAC的平分线
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线及平行线的性质，熟练掌握相关性质定理是解决本题的关键．
2．A
【分析】此题主要考查了基本作图．作一个角的平分线．
【详解】解：选项A属于作一个锐角平分线；
故选：A．
3．D
【分析】本题考查了最短路径的数学问题，依据两点之间，线段最短，将所求路线长转化为两定点之间的距离是解答本题的关键．
依题意，分析出所需管道最短，利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【详解】解：如图，
画出点关于的对称点，则：
连接，交直线于点，
，
此时，最小，
故选：．
4．B
【详解】过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF=2，
∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，
解得AC=3．
故选B．
5．C
【分析】本题围绕最短路径问题展开，掌握利用轴对称性质，将折线转化为线段求最短路径是解题的关键．
要在直线上找一点使最短，根据两点之间线段最短及轴对称的性质，需作出其中一点关于直线l的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求点．
【详解】解：作出点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为使最短的点；
通过观察图形，可知该交点为点．
故选：C．
6．D
【分析】本题考查作角平分线，角平分线的性质．
作于点，由角平分线的性质，可得，即可得点到 的距离．
【详解】解：作于点，
由作图可知，平分，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴点到 的距离为．
故选：D．
7．B
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握是解题的关键．
先证明垂直平分，得，再根据垂直平分，得，根据，即得．
【详解】解：∵，且点为线段的中点，
∴垂直平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，以及平行线的性质，熟练应用三角形全等的判定和性质是解题的关键．通过角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，以及平行线的性质，逐一判断各结论，即可得到结果．
【详解】解：平分，，，
，
，
，
平分，，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故结论④正确，符合题意；
，
，
，
，
又，，
，
故结论③正确，符合题意；
，
，
又，
，
是等腰三角形，
故结论①正确，符合题意；
在等腰中，，平分，
，
故结论②正确，符合题意，
综上所述，四个结论均正确，
故选：A．
9．B
【分析】首先要进行分析题意， “等腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角， 所以要分两种情况进行讨论 ．
【详解】解： 本题可分两种情况：
①当角为底角时， 顶角为；
②角为等腰三角形的顶角；
因此这个等腰三角形的顶角为或．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数， 做题时要注意分情况进行讨论， 这是十分重要的， 也是解答问题的关键 ．
10．A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的拐点模型．
利用等腰三角形的性质求出，再利用拐点模型求的度数即可．
【详解】解：过点B作直线，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
11．B
【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°－∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°．
【详解】∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，
∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°－∠CAB）=70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=∠ACB=35°．
故选B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键．
12．B
【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，,故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值．
【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：

则，
∴．
即的最小值为．
∵，，，，
∴，
∵，
∴，
即的最小值为9.6．
故选：B．
【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键．
13．两点之间线段最短
【分析】根据两点之间线段最短即可求解．
【详解】解：两点之间线段最短．
【点睛】本题主要考查线段的基本事实，理解线段的基本事实是解题的关键．
14．4
【分析】本题考查的是轴对称的性质和正方形的性质，根据题意作出对称后的图形是解题的关键．作M关于的对称点E，结合正方形性质确定其为的中点，当E、P、N三点共线时，的值最小值．
【详解】解：作M关于的对称点E，连接，
又∵四边形为正方形，
∴，点E为的中点，
∵，
∴当E、P、N三点共线时，最短，
∵N是中点，点E为的中点，
∴．
∴的最小值为4．
故答案为：4．
15．4
【分析】此题考查了垂直平分线的性质．根据垂直平分线的性质得到，得到，再根据四边形的周长为20即可求出的长．
【详解】解：∵点D，E分别在的垂直平分线上，
∴，
∵，
∴
∵四边形的周长为20，
∴，
即，
解得，
故答案为：
16．/
【分析】根据点A在反比例函数（）上，轴，求得OC的长度，再根据垂直平分线的性质得到，将△的周长转化为即可．
【详解】解：∵点A在反比例函数（）上，轴
∴
∵
∴
∵的垂直平分线交轴于点
∴
∴△的周长=
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点坐标的特征、线段垂直平分线的性质等知识点，掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
17．∠A＝∠C+2α
【分析】由角平分线定义得出∠ABC＝2∠CBD，∠ADC＝2∠ADF，又因AD∥BC得出∠A+∠ABC＝180°，∠ADC+∠C＝180°，∠CBD＝∠ADB，等量代换得∠A＝∠C+2α即可得到答案．
【详解】解：如图所示：

∵BD为∠ABC的角平分线，
∴∠ABC＝2∠CBD，
又∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∴∠A+2∠CBD＝180°，
又∵DF是∠ADC的角平分线，
∴∠ADC＝2∠ADF，
又∵∠ADF＝∠ADB+α
∴∠ADC＝2∠ADB+2α，
又∵∠ADC+∠C＝180°，
∴2∠ADB+2α+∠C＝180°，
∴∠A+2∠CBD＝2∠ADB+2α+∠C
又∵∠CBD＝∠ADB，
∴∠A＝∠C+2α，
故答案为：∠A＝∠C+2α．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题需要熟练掌握角平分线的定义，平行线的性质和等式的性质，重点掌握平行线的性质．
18．作图见解析
【分析】作出A点关于直线n的对称点D，连接BD交直线n于点C，连接AC，点C为所求．
【详解】作出A点关于直线n的对称点D，连接BD交直线n于点C，连接AC，点C即为所求．
理由：∵AC=CD，
∴AC+BC=CD+BC≥BD，
∴当B，C，D三点共线时，AC + BC有最小值．
【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称的性质来求最短距离的方法是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】此题考查了轴对称的性质，画对称轴，解题的关键是掌握轴对称的性质．
（1）连接，作出的垂直平分线即为所求作直线；
（2）根据轴对称的性质求解即可；
（3）连接，交于点M，延长，交于点N，连接，所在直线即为所求作．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：图中的对应线段所在的直线不一定相交，
如果相交，交点在对称轴上；如果不相交，这组对应线段所在的直线与对称轴平行．
（3）解：如图所示，
20．见解析
【分析】连接AB，则AB与直线m的交点就是车站P的位置．
【详解】如图，连接AB，则AB与直线m的交点就是车站P的位置，
理由：两点之间线段最短．
【点睛】本题考查了两点之间线段最短的实际应用，掌握两点之间线段最短是解答本题的关键．
21．(1)见解析
(2)垂直平分
(3)见解析
(4)
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）由轴对称可知，线段被直线l垂直平分．
（3）连接，交直线l于点P，连接，此时的长最短．
（4）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：由轴对称可知，线段被直线l垂直平分．
故答案为：垂直平分；
（3）解：如图，点P即为所求．
（4）解：的面积=．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
22．∠BAC+∠BGC=180°，证明见解析
【分析】过点G作GE⊥AB于E，GF⊥AC交AC延长线于F，由角平分线的性质和线段垂直平分线的线段可以得到GB=GC，GF=GE，从而证明△BEG≌△CFG，得到∠GBE=∠GCF，则∠EBG+∠ACG=180°，再根据四边形内角和为360°，即可证明．
【详解】解：∠BAC+∠BGC=180°，证明如下：
如图所示，过点G作GE⊥AB于E，GF⊥AC交AC延长线于F，
∵MN垂直平分BC，
∴GB=GC，
∵GA平分∠BAC，GE⊥AB，GF⊥AC，
∴GF=GE，∠GEB=∠GFC=90°，
∴△BEG≌△CFG（HL），
∴∠GBE=∠GCF，
∵∠ACG+∠GCF=180°，
∴∠EBG+∠ACG=180°，
∵∠BGC+∠ACG+∠BAC+∠ABG=360°，
∴∠BAC+∠BGC=180°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
23．(1)见解析
(2)3
(3)见解析
【分析】（1）根据网格结构找出点B、C关于直线l的对称点的位置，然后顺次连接即可；
（2）用长方形的面积减去3个直角三角形的面积求解即可；
（3）根据轴对称确定最短路线，连接，与对称轴l的交点即为所求点P．
【详解】（1）如图所示，即为所求；

（2）的面积；
（3）如图所示，连接交直线l于P，点P即为所求；
由对称的性质可得，
∴，
∴当三点共线时，有最小值．
【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题，掌握轴对称的性质是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题主要考查了作图-轴对称变换．
（1）首先确定A、B、C三点关于轴对称的对称点位置，再连接即可；
（2）连接交直线于点P，则，即可知的周长最小．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解：如图所示：连接交直线于点P，点P即为所求．
，
∴此时最小，的周长最小，
∴点P即为所求．