4.3公式法同步练习（含解析） 北师大版数学八年级下册

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4.3公式法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．多项式因式分解的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
3．将分解因式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列因式分解正确的是（ ）
A．a4b﹣6a3b＋9a2b＝a2b（a2﹣6a＋9）
B．x2﹣x＋＝（x﹣）2
C．x2﹣2x＋4＝（x﹣2）2
D．x2﹣4＝（x＋4）（x﹣4）
5．下列分解因式结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．计算：（ ）
A．5000a B．1999a C．10001a D．10000a
7．如果一个三角形的三边，满足，那么这个三角形一定是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8．多项式与多项式的公因式为（ ）
A． B． C． D．
9．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：南，爱，我，数，学，河．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱河南 B．爱河南 C．我爱学 D．河南数学
10．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．下列结论：①所有的正奇数都是“智慧数”；②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整数都不是“智慧数”．其中正确的结论有（ ）个．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
11．下列因式分解变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．若是完全平方式，则实数的值为（ ）
A． B．或 C．5 D．4
二、填空题
13．分解因式： = ．
14．将分式和进行通分时，分母可因式分解为 ，分母可因式分解为 ，因此最简公分母是 ．
15．因式分解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
16．已知实数，满足，，则 ．
17．若a、b是的两条边的长度，且满足，则面积的最大值是 ．
三、解答题
18．下列多项式能否用平方差公式分解因式？为什么？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
19．分解因式：
(1)；
(2)．
20．因式分解：
(1)；
(2)
21．（1）计算：20212＋10212－2021×2042；
（2）因式分解：x3＋x2―x―1．
22．小明、小花和老师一起探究一个问题：将因式分解．
小花根据大家的提示，整理出解答过程：
请你依照上述做法，将下列各式因式分解：
（1）；
（2）
23．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？
我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数．
例：计算时，可依照的计算方法用竖式进行计算．
因此．
(1)的商是______，余式是______．
(2)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值．
24．因式分解：
《4.3公式法》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D B D D B A A C
题号 11 12
答案 C B
1．B
【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法求解即可．
【详解】，
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．两个平方项的符号需相同；另一项是两底数积的2倍，是易错点．能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两平方项底数积的2倍，据此逐项分析即可．
【详解】A中，不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意；
B中，不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意；
C中，，符合题意；
D中，不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意，
故选：C．
3．D
【分析】此题考查平方差公式分解因式，根据平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
故选：D．
4．B
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断即可．
【详解】解：A、a4b﹣6a3b＋9a2b＝a2b（a2﹣6a＋9）＝a2b（a﹣3）2，故此选项错误；
B、x2﹣x＋＝（x﹣）2，故此选项正确；
C、x2﹣2x＋4，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项错误；
D、x2﹣4＝（x＋2）（x﹣2），故此选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法进行解题．
5．D
【分析】根据因式分解的步骤，先提公因式，再用公式法分解，即可求得答案．注意分解要彻底．
【详解】解：A、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．
6．D
【分析】先提取公因式，再运用平方差公式即可求解．
【详解】
，
故选：D．
【点睛】本题考查了运用提取公因式和平方差公式对代数式进行化简的知识，掌握平方差公式是解答本题的关键．
7．B
【分析】本题考查了三角形形状的判定，因式分解的应用，其关键在于对等式的变形，推导出的关系．
将等式进行移项和因式分解，得出，得到或，从而确定三角形的形状．
【详解】解：，
，
，
或，
或，
三角形是等腰三角形，
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了公因式，提公因式法、公式法进行因式分解．熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解题的关键．
利用提公因式法、公式法进行因式分解，然后判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，，
∴公因式为，
故选：A．
9．A
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式对多项式进行因式分解，得到因子后对应密码字，并按顺序排列形成密码信息．
本题考查了因式分解，选择适当的方法分解因式是解题的关键．
【详解】解：
∵ ，
又∵ ，
∴
，
∵对应密码字：我， 爱，河，南，
∴密码信息为“我爱河南”，
故选：A．
10．C
【分析】本题考查了平方差公式法因式分解以及整数的奇偶性分析．理解“智慧数”的定义是解题的关键．
根据“智慧数”的定义，通过对中、的取值分析来判断各个结论是否正确．
【详解】解：∵1不能表示成两个正整数m，n的平方差，故①错误；
设能被4整除的正整数为（为正整数且），
，令，
将两式相加可得：，即，
解得：，
将代入，解得．
为正整数且，
、为正整数，
除4以外所有能被4整除的正整数都可以表示成两个正整数的平方差，即除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”，
故②正确；
假设存在正整数、，使得是被4除余2的正整数，即（为正整数）．
与的奇偶性相同，若与都是奇数，则都是奇数，不可能是这种偶数；
若与都是偶数，则能被4整除，也不可能是；
被4除余2的正整数都不是“智慧数”．
故③正确；
综上所述，正确的结论是②③．
故选：C．
11．C
【分析】本题主要考查了因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要提取公因式，再考虑运用公式法分解．
根据提公因式分解因式可得出A错误；根据平方差公式可得B错误；根据完全平方公式可得C正确；根据十字相乘法可判断D错误．
【详解】A、，故此选项错误；
B、，不符合平方差公式，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误．
故选：C．
12．B
【分析】本题考查了完全平方公式的应用知识点，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
本题根据完全平方公式，分析多项式的结构，得出“中间项系数需满足与首项、末项的关系”的结论，进而通过解方程求出的值，即可解决根据完全平方式的结构特征求字母参数的问题．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
∵，
∴，
即：，
当时，；
当时，，
综上：或．
故选 ：B．
13．
【分析】根据平方差公式分解因式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查平方差公式分解因式，掌握平方差公式是解题的关键．
14．
【分析】本题考查分式的基本性质，通分，熟练掌握通分的方法，是解题的关键，利用平方差公式法和提公因式法进行因式分解，再利用三定法确定最简公分母即可．
【详解】解：分母可因式分解为；分母可因式分解为，因此最简公分母是；
故答案为：，，
15．
【分析】（1）根据平方差公式因式分解即可求解；
（2）根据平方差公式因式分解即可求解；
（3）根据平方差公式因式分解即可求解；
（4）先提公因式，然后根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】（1）；
故答案为：．
（2）；
故答案为：．
（3）；
故答案为：．
（4），
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
16．
【分析】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．将等式括号中的代数式配方后，利用完全平方式的非负性确定与的值，即可求出的值．
【详解】，
，
即，
，，
，，
又，且，
，，
解得，，
，
，
得，
故答案为：．
17．
【分析】利用因式分解得到，利用非负性，求出的值，再根据两条边互相垂直时，三角形的面积最大，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
设：，
∵直角三角形的斜边大于直角边，
∴边上高，
∴当时，的面积最大，最大值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解的应用，以及非负性．熟练掌握因式分解的方法，以及非负数的和为0，每一个非负数均为0，是解题的关键．
18．（1）不能，这是平方和；（2）能，；（3）能，；（4）不能，这是平方和的相反数
【分析】根据平方差公式＝（a＋b）（a b）逐项判定可求解．
【详解】（1）两项符号相同，是平方和，不能用平方差公式分解因式，
（2）符合平方差公式，
（3）符合平方差公式，
（4）两项符号相同，这是平方和的相反数，不能用平方差公式分解因式．
【点睛】本题主要考查运用公式法分解因式，掌握平方差公式的特点是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查用提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．
（1）先提公因式，再运用平方差公式分解因式即可；
（2）先提公因式，再运用完全平方公式分解因式即可．
【小题1】解：原式；
【小题2】解：原式．
20．(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式因式分解；
（2）提公因式即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查的是因式分解，解决本题的关键是（1）题先提公因式，再用完全平方公式因式分解．（2）题提公因式法因式分解．
21．（1）1 000000；（2）（x＋1）2（x－1）．
【分析】（1）设a＝2021，b＝1021，再把原式化为： 再代入计算即可得到答案；
（2）利用分组法把原式化为： 再每组提取公因式，再利用平方差公式分解即可.
【详解】解：（1）设a＝2021，b＝1021，
则原式＝a2＋b2－a·2b＝(a－b)2＝(2021－1021)2＝1 000 000，
（2）原式＝(x3＋x2)－(x＋1)＝x2 (x＋1)－(x＋1)＝(x＋1)(x2－1)＝(x＋1)2(x－1).
【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，平方差公式分解因式，分组分解法，因式分解的应用，掌握把多项式进行适当的分组，再分解因式是解题的关键.
22．（1）；（2）
【分析】（1）（2）根据题干所给方法进行添项，构成乘法公式进行因式分解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）原式
．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用乘法公式进行因式分解是解题的关键．
23．(1)；
(2)
【分析】本题考查多项式除以多项式，抓住整除的定义找到系数的关系是求解本题的关键．
（1）根据多项式除以多项式的法则计算．
（2）根据多项式除以多项式的法则计算．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：；．
（2）解：．
多项式能被整除．
，．
，．
．
24．
【分析】本题考查了因式分解．前三项利用十字相乘法分解，再将看作整体，然后利用十字相乘法分解继续分解即可．
【详解】解：
．