第一章三角形的证明同步练习（含解析） 北师大版数学八年级下册

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第一章三角形的证明
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于，交于，下面说法：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若一个三角形的两个内角的度数分别为，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
3．如图，的周长是21，，分别平分和，于D，且，则的面积为（　　）
A．48 B．63 C．21 D．42
4．如图，在中，，边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点E，F，连接，，则的周长为（ ）
A．36 B．18 C．32 D．不能确定
5．如图，直线l，m相交于点O，夹角为α．P为这两直线外一点，且．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离为2.8，则α度数为（　　）
A．90° B．60° C．45° D．30°
6．如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E．若，则线段的长为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．2.5
7．如图，已知，直线与直线分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交直线b于点C，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，牧民从生活区边上某点出发，先到草地边上某点收马，再到小河边上某点饮马，最后回到点处．已知，点到的距离为，，若的周长为，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．
9．若三角形的内角比为，则最大的内角的外角的大小为（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，，点B，F，C，E共线，和交于点G．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．在中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，则∠C为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
二、填空题
13．如图，在中，分别是和的平分线，且，，则的周长是 ．
14．如图，中，，，，若 恰好经过点，交于，则的度数为 °
15．如图，在等腰三角形中，，，D是边上靠近点C的三等分点，且满足，点是点B关于直线的对称点，则线段的长为 ．
16．如图，在中，，点D是上一点，连接，于E，于F，若，则的度数是 ．
17．如图，五角星的顶点分别是A，B，C，D，E，那么 ．
三、解答题
18．如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交于点F．求证：．
19．（1）如图（1），在中，D，E分别在边上，且，求证．
（2）如图（2），当点D，E分别在的延长线上时，其他条件不变，（1）中的结论还成立么？请说明理由．
20．（1）如下图，在直线上作一点P，使点P到射线，的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下若点P到边的距离为2，点D在边上，且，则的面积为_______．
21．如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上．
(1)画，使它与关于直线l对称；
(2)在直线l找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短．
(3)在直线l找一点Q，使点Q到的距离相等．
22．如图，在中，平分交于点，过点作，且交的延长线于点，点在的延长线上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
23．如图，在中，，，平分，交于点，过点作，交于点．
(1)求的度数．
(2)若与的周长分别为和，求的长．
24．如图，平分，P是上任意一点，过P向，作垂线，垂足分别为D，E，连接．求证：垂直平分．
《第一章三角形的证明》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C A D C C B C A
题号 11 12
答案 B D
1．A
【分析】作于点，由角平分线的性质，结合三角形的面积公式，可判断，由角平分线的定义，结合等角的余角相等，可得，由平行线的判定和性质，可得，等量代换，可判断，由同角的余角相等，结合角平分线的定义，可判断，由等腰三角形的判定方法，可判断．
【详解】解：∵，
∴，
作于点，
∵平分，
∴，
∴，
∴正确，
∵在中，是高，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴正确，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即，
∴正确，
根据已知条件不能推出，即不能推出，
∴④不正确，
∴正确的是．
故选：A ．
【点睛】本题考查角平分线的定义，同角（等角）的余角相等，角平分线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定．
2．B
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据三角形内角和求出第三个内角，根据三角形的分类确定即可．
【详解】解：∵一个三角形的两个内角的度数分别为，
∴第三个角为：
∴这个三角形是锐角三角形，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了角平分线定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键．过点O作于点M，于点N，连结，根据角平分线定理，可求得，，再根据，即可求得答案．
【详解】解：过点O作于点M，于点N，连结，
平分，，
，
同理可得，
．
故选：C．
4．A
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点E，F，
∴，，
∵，
∴的周长，
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质与判定．连接，，得出，根据已知条件得出是等边三角形，进而得出，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
依题意，
∴，即，
∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，
∴，
∵，P1，P2之间的距离为2.8，
即，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故选：D．
6．C
【分析】根据，和的平分线相交于点F，得证，结合，计算选择即可．
【详解】因为，和的平分线相交于点F，
所以
所以，
所以，
因为，
所以，
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
7．C
【分析】根据题意可得直线是线段AB的垂直平分线，进而可得，利用平行线的性质及等腰三角形中等边对等角，可得，所以可求得．
【详解】∵已知分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交直线b于点C，连接，
∴直线垂直平分线段AB，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】题目主要考查线段垂直平分线的作法及性质、平行线的性质等，根据题意得出直线垂直平分线段AB是解题关键．
8．B
【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短，在上取一点，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、、、，由轴对称的性质可得的周长为，即当最小时，的周长最小，证明为等腰直角三角形，得出，由垂线段最短可得，当时，最小，即最小，结合题意可得的最小值为，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，在上取一点，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、、、，
，
由对称轴的性质可得：，，，，，，
∴的周长为，
∴当最小时，的周长最小，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
由垂线段最短可得，当时，最小，即最小，
∵点到的距离为，
∴的最小值为，
∴的最小值为，
故选：B．
9．C
【分析】设最小角为x,则另外两个角分别为x、,根据三角形的内角和为180°得到求解，再结合三角形外角的性质即可解答；掌握三角形内角和定理是解答本题的关键．
【详解】解：设最小角为x,则另外两个角分别为x、,
由题意可得：，解得：，
则最大的内角的外角．
故选C．
10．A
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理及外角性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
由全等三角形的性质可得，，即可得，再根据三角形外角性质即可求解，
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：．
11．B
【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得出，结合，即可求出的度数，再根据即可求出的度数．
【详解】解：在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
12．D
【分析】根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠C=90°﹣30°=60°，
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
13．
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，由题意易得和都是等腰三角形，然后由三角形周长公式及等量代换进行求解即可．
【详解】解： ，分别是和的角平分线，
，
，，
，
，
同理可得，
，
；
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟记性质并准确识图是解答本题的关键．
根据直角三角形两锐角互余，求出，根据全等三角形对应边相等得到，全等三角形对应角相等可得，然后根据等腰三角形的性质求出，再求出，然后根据三角形的外角的性质得到结果．
【详解】解：由已知得，
，，
，
，
，，
，
，
，
在中，
．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键．
连接．根据轴对称的性质得到点三点共线，则，，，由三角形内角和定理证明，由对称性可得，最后在中，由勾股定理求解．
【详解】解：如图，连接．
点是点关于直线的对称点，
．
，
点在上，即点三点共线，
．
又，
，
，．
，
，即．
，是边上靠近点的三等分点，
，
，
．
故答案为：．
16．/30度
【分析】先利用三角形内角和定理可得，又易证平分，然后利用角平分线的定义即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴平分，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的判定和定义．熟练掌握角平分线的判定定理是解题的关键．
17．/180度
【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角的性质，结合三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：如图，
∵，，
∴；
故答案为：．
18．证明见解析
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形．连接，求出，再根据可求出的度数，由直角三角形的性质即可求出．掌握相关性质，是解题的关键．
【详解】证明：连接，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
19．（1）见解析；（2）成立，理由见解析
【分析】（1）利用外角的性质建立角之间的关系证明即可．
（2）利用外角的性质建立角之间的关系证明即可．
【详解】（1）证明：∵是的外角，
∴．
∵，且，
∴．
∴．
（2）解：（1）中的结论还成立．理由如下：
∵是的一个外角，
∴．
∵，且，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形的外角，外角的性质揭示了外角和内角之间的等量关系，证明两个角相等时，若涉及内、外角，常用此性质建立等量关系．
20．（1）见解析；（2）5
【分析】本题考查了作角平分线，角平分线性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
（1）根据角平分线作法，作出的角平分线交于点，结合角平分线性质，即可解题．
（2）根据角平分线性质得到点P到边的距离为2，再结合三角形面积公式求解，即可解题．
【详解】解：（1）所作点P如图所示：
点P在的角平分线上，
点P到射线，的距离相等；
（2）点P到边的距离为2，
点P到边的距离为2，
，
的面积为，
故答案为：5．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查轴对称作图、角平分线的性质：
（1）利用格点找出三个顶点关于直线l对称点，顺次连接即可；
（2）当点P在直线l和交点处时，，为最小值；
（3）利用格点找出的角平分线与直线l的交点即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作．
（2）解：如图，点P即为所求作．

理由：根据（1）的结论，点A、点关于直线l成轴对称，
∴，
∴，
∴当点P在直线l和交点处时，，为最小值，
∴当点P在直线l和的交点处时，取最小值，
即点P到点A、点B的距离之和最短；
（3）解：如图，点Q即为所求作．
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，
（）由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，即得，进而得到，据此即可求证；
（）由平行线的性质可得，进而得到，再根据三角形外角性质即可求解；
【详解】（1）证明：，
∴，
∵平分交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质、等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是解题的关键．
（1）由三角形内角和定理得到，由平分得到，由三角形外角的性质得到，
（2）证明是等边三角形，则，由三角形周长得到，则，即可得到．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
（2）∵
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∵与的周长分别为和，
∴，
∴，
∴．
24．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，先证明，可得，，再证明，得到，，进而即可得出结论．
【详解】证明：平分，，，
则在和中，
，，，
，
，，
则在和中，
，，，
，
，，
垂直平分，
即垂直平分．