1.4线段的垂直平分线同步练习（含解析）北师大版数学八年级下册

中小学教育资源及组卷应用平台
1.4线段的垂直平分线
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，以的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，过点作射线，连接．则下列说法正确的是（ ）
A．垂直平分线段
B．是等边三角形
C．射线是的平分线
D．，两点关于所在直线对称
3．如图，在中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G．若的周长为16，且，则的长为（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
4．如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（ ）
A． B． C． D．
6．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ）
A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线
7．如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，AD＝6，BE＝8，P是AD上的一个动点，连接PE，PC，则CP+EP的最小值是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
8．如图，的顶点A，B，C都在边长为1的小正方形网格的格点上，于点D，与网格线交于点F，取格点E，连接．对于四个说法：①，②，③，④点F在的平分线上，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在中，，，，点D是边AC的中点，点E是边AB的中点，则的周长是（ ）
A．6 B． C． D．
10．下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．两直线平行，同位角相等
B．全等三角形的对应边相等
C．对顶角相等
D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
11．如图，在中，，．分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，连接．下列说法中，错误的是（ ）
A． B．是的平分线
C． D．
12．已知：如图，中，点是边上一点，，，平分，且于，与相交于点，若于，交于点．有以下结论：
①；②；③若连接，则；④点是的中点；⑤与成轴对称．以上五个结论中正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤
二、填空题
13．如图，已知，边的垂直平分线交与点D，连接，如果，，那么的周长等于 ．
14．如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则为 度．
15．如图，在中，边的垂直平分线交于，交于，若平分，，则 度．
16．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D是AC的中点，ED⊥AC交AB于点E，，已知AC＝6，DE＝2，则BC的长为 ．
17．如图中，，．通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的 ，射线是的 ；并求的度数为 ．
三、解答题
18．尺规作图，在直线l上找一点P，使它到线段两端的距离相等，保留作图痕迹．
19．在中，．
(1)利用直尺和圆规完成如下操作，作的平分线和的垂直平分线，交点为（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接，若，求的度数．
20．（1）如图，为三个住宅小区，为方便这三个小区居民购买日常生活用品，计划建一个超市，使到三个小区的距离相等，请你用尺规作图在下图中作出点．

（2）已知点，点和直线，在直线上求作一点，使最小．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

21．如图，在中，按下列要求画图并解答：
(1)过点A画出直线的垂线，交直线于点D．
(2)用直尺和圆规作出的边的垂直平分线，分别交直线于点E、F，那么点F到直线的距离是线段______的长．（保留作图痕迹）
(3)过点D画出直线的平行线，交直线于点G，那么线段与线段长度的大小关系是：______．（填“＞”、“＜”或“=”）
22．如图，在中，，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于点，交于点．
（1）求的度数；
（2）是什么三角形？说明理由．
（3）若将题目中“”改为“∠BAC=120°”，且FM=4，其他条件不变，求AB的长．
23．如图，在四边形中，，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)如图1，作出四边形的对称轴l；
(2)如图2，，过点D作的垂线．
24．如图，在中，，点、在上，，过、、三点作，连接并延长，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，，求的半径长．
《1.4线段的垂直平分线》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B A C B C D B C
题号 11 12
答案 D A
1．B
【分析】本题考查了尺规作图和等腰三角形的判定，对各项的尺规作图分析，再根据等腰三角形的判定即可，解题的关键是掌握基本的尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质的应用．
【详解】A.由作法可知，以点A为圆心，为半径画弧，交于点D，
，
是等腰三角形，不符合题意；
B.由作法可知，是线段是垂直平分线，
和不一定是等腰三角形，符合题意；
C. 由作法可知，分别以点B、点A为圆心，大于为半径画弧，连接弧线，交于点D，交于点E，
是线段是垂直平分线，
是等腰三角形，不符合题意；
D. 由作法知，是的角平分线，
，
是等腰三角形，不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了尺规作图作一个角的平分线、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，由尺规作图可知，，所以是线段的垂直平分线，故A选项错误；由作图可知，所以是等腰三角形，不一定是等边三角形，故B选项错误；由作图可知射线是的平分线，故C选项正确；因为是的垂直平分线，所以点、关于直线对称，故D选项错误．
【详解】解：如下图所示，连接、，
由作图可知，，
是线段的垂直平分线，不一定是的垂直平分线，
故A选项错误；
由作图可知，
是等腰三角形，不一定是等边三角形，
故B选项错误；
在和中，，
，
，
射线是的平分线，
故C选项正确；
由作图可知，，
是线段的垂直平分线，
、两点关于直线对称，、两点不一定关于所在直线对称，
故D选项错误．
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了线段的垂直平分线，三角形的周长等知识．解决问题的关键掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．
【详解】解：∵中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G．
∴．
∵的周长为16，即，
∵，
∴．
故选：B．
4．A
【分析】本题主要考查作图基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．
根据内角和定理求得，由中垂线性质知，即，从而得出答案．
【详解】解：在中，，，
，
由作图可知为的中垂线，
，
，
，
故选A
5．C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，进而可得的周长，即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴的周长，
故选：．
6．B
【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案．
【详解】解：由作图可得：，
∴线段一定是的高线；
故选B
7．C
【分析】如图连接PB，只要证明PB＝PC，即可推出PC+PE＝PB+PE，由PE+PB≥BE，可得P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度．
【详解】解：如图，连接PB，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PC+PE＝PB+PE，
∵PE+PB≥BE，
∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度，
CP+EP的最小值是：8．
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．D
【分析】①用等积法求出即可判断；
②用勾股定理求出即可；
③根据平行线的判定方法进行判断即可；
④连接并延长交与点G，根据等腰三角形的性质即可判定．
【详解】解：①，
，
∴，故此项正确；
②，
，故此项正确；
③∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故此项正确；
④连接并延长交与点G，如图所示：
∵，，
∴，
即，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∵为等腰三角形，为底，
∴平分，故此项正确，
综上分析可知，正确的有4个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理，垂直平分线的判定，三角形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质．
9．B
【分析】先根据含30°直角三角形的性质求出AC=4，进而求出AD，再根据勾股定理求出AB，可得BE，然后说明DE是△ABC的中位线，可求DE，即可得出DE是AB的垂直平分线，得出BD，即可得出答案．
【详解】在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，
∴AC=2BC=4，
则，
即．
∵点D，E是AC，AB的中点，
∴AD=2，，DE是△ABC的中位线，
∴，，
∴DE⊥AB，
∴DE是AB的垂直平分线，
∴BD=AD=2，
∴△BDE的周长=．
故选：B．
【点睛】这是一道关于三角形的综合题目，考查了中点的定义，直角三角形的性质，三角形中位线的定义和性质，线段垂直平分线的定义和性质等．
10．C
【分析】本题主要考查命题的逆命题及平行线判定、全等三角形判定、对顶角定义、垂直平分线性质，熟练掌握这些定理和定义是解题关键．先写出各命题的逆命题，再依据相关数学定理（平行线判定、全等三角形判定、对顶角定义、垂直平分线性质 ）判断逆命题真假．
【详解】解：原命题逆命题为“同位角相等，两直线平行”．
这是平行线判定定理，是真命题
A不符合题意，排除．
原命题逆命题为“对应边相等的三角形全等”．
符合SSS（边边边）全等判定，是真命题
B不符合题意，排除．
原命题逆命题为“相等的角是对顶角”．
存在相等但不是对顶角的角（如两直线平行，同位角相等，同位角不是对顶角 ），是假命题
C符合题意．
原命题逆命题为“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”．
这是垂直平分线判定定理，是真命题
D不符合题意，排除．
故选：C ．
11．D
【分析】本题考查了作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，角的直角三角形的性质，先根据垂直平分线的性质判断A选项；然后利用等边对等角得到，即可判断B选项；根据角的直角三角形的性质判断C选项；然后根据高相等的两三角形的面积比等于底的比判断D选项解答即可．
【详解】解：由作图可得垂直平分，
∴，故A选项正确，不符合题意；
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，是的平分线，故B、C选项正确，不符合题意；
∴，故D选项错误，符合题意；
故选：D．
12．A
【分析】证明，判断①，角平分线结合全等三角形的性质，判断②，连接，三线合一，全等三角形的性质，结合等边对等角，得到，判断③，中垂线的性质，结合斜边大于直角边，判断④，证明，得到垂直平分，判断⑤．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，故①正确；
∵平分，
∴，
∴；故②错误；
连接，
∵，
∴，
∴
∵，
∴垂直平分，，
∴，，故③正确；
在中，，
∴，故④错误；
∵，平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴与成轴对称，故⑤正确；
故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，成轴对称等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．
13．
【分析】边的垂直平分线交与点D，连接，由此可知，的周长的是，由此即可求解．
【详解】解：边的垂直平分线交与点D，连接，如果，，
∴，
∴，
的周长等于，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质求线段的关系，掌握垂直平行的性质是解题的关键．
14．
【分析】如图，连接，，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，由角平分线和线段垂直平分线的性质可得，证明，得到，即可得答案．
【详解】解：如图，连接，，
，，
平分，
，
是的垂直平分线，
，
，
，，
，
，，
，
由折叠得：，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形全等的性质和判定，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，证明是解本题的关键．
15．
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．由线段垂直平分线和角平分线的定义可得，在中由三角形内角和定理可求得．
【详解】解：在线段的垂直平分线上，
，
，
平分，
，
又，
，
故答案为：．
16．
【分析】根据题意知DE是AC的垂直平分线，得CE＝AE，再通过角度可证明∠B＝∠CEB，得CE＝BC，在Rt△CDE中，利用勾股定理求出CE即可．
【详解】解：∵D是AC的中点，ED⊥AC交AB于点E，
∴DE是AC的垂直平分线，
∴CE＝AE，
∴∠A＝∠ECA＝36°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝72°，
∴∠BCE＝36°，
∴∠CEB＝180° ∠B BCE
＝180° 72° 36°
＝72°，
∴∠B＝∠CEB，
∴CE＝BC，
∵D是AC的中点，
∴CD＝3，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
CE＝，
∴BC＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，证明CE＝BC是解题的关键．
17． 垂直平分线 角平分线 /25度
【分析】（1）根据作图痕迹判断即可；
（2）根据三角形内角和定理及角平分线求出∠CAD，可得结论．
【详解】解：通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的垂直平分线，射线AE是∠DAC的 角平分线．
∵DF垂直平分线段AB，
∴DA=DB，
∴∠BAD=∠B=40°，
∵∠B=40°，∠C=50°，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=50°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE=∠CAD=25°．
故答案为：垂直平分线，角平分线，25°；
【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
18．见解析
【分析】首先作出AB的垂直平分线EF，EF与l的交点就是P的位置．
【详解】解：如图所示：点P即为所求．
【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
19．(1)作图见解析
(2)
【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的作法及其性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
（）根据角平分线和线段垂直平分线的作法作图即可；
（）由三线合一可得，即得，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可求解；
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；
（2）解：，为的平分线，
，
∴，
∴，，
点在的垂直平分线上，
，
．
20．（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查作图－应用与设计作图，轴对称求最短距离．
（1）由题意可得，作出线段的垂直平分线、的交点D，即可求解；
（2）作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，连接，则点即为所求．
【详解】解：如图，点D即为所求，
；
（2）点P即为所求，
；
21．(1)见解析
(2)见解析，点F到直线的距离是线段的长
(3)
【分析】本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质等；
（1）根据题意画出即可；
（2）分别以点A、B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线即可；
（3）根据题意画平行线即可．
【详解】（1）解：如图所示，为所求作的垂线，
（2）解：如图所示，即为所求；
点F到直线的距离是线段的长；
（3）解：
∵，，，
∴
22．（1）∠ADE =20°；（2）△ADF是等腰三角形，证明见解析；（3）AB=16．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B和∠C，求出∠BDE，即可求出答案；
（2）根据垂直平分线的性质定理和等边对等角可求得∠FDC，再根据三线合一和直角三角形两锐角互余可求得∠DAF和∠ADF得出它们相等即可得出△ADF为等腰三角形；
（3）可求得∠C=30°根据30°角所对直角边是斜边的一般可得FC，可证明△ADF为等边三角形即可求得AF，从而求得AC，继而求得AB．
【详解】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=×（180°-∠BAC）=40°，
∵BD=BE，
∴∠BDE=∠BED=×（180°-∠B）=70°，
∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADE=∠ADB-∠BDE=20°；
（2）△ADF是等腰三角形，
理由是：∵CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M，
∴DF=CF，
∵∠C=40°，
∴∠FDC=∠C=40°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAF=90°-∠C=50°，
∴∠ADF=50°，
∴∠DAF=∠ADF，
∴AF=DF，
∴△ADF是等腰三角形；
（3）∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=×（180°-∠BAC）=30°，
又∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠DAC=90°-∠C=60°，
∵CD的垂直平分线MF，
∴∠FMC=90°，DF=FC，
∴∠FDC=∠C=30°，
∴∠ADF=∠ADC-∠FDC=60°，∠AFD=∠C+∠FDC=60°，
∴△ADF为等边三角形，AF=DF=FC，
∵MF=4，
∴FC=2MF=8，
∴AF= 8，
∵AC=AF+CF=8+8=16，
∵AB=AC，
∴AB=16．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称图形的性质是解答本题的关键；
（1）作直线，即为所求的直线．
（2）连接交于点，作直线，交于点，则直线即为所求．
【详解】（1）解：如图1，作直线，
则直线即为所求的直线．
（2）解：如图2，连接交于点，作直线，交于点，
则直线即为所求．
24．(1)见解析
(2)的半径为5
【分析】（1）连接、、、，先证明，得到，再由，可得垂直平分，即，
（2）设求的半径为，由（1）可知为中点，则，利用勾股定理求出，再求出，，，由勾股定理建立方程，解得，则的半径为5．
【详解】（1）证明：连接、、、，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴垂直平分，即，
（2）解：设求的半径为，
由（1）可知，
∴为中点，为中点，
∴，
在中，，
在中，，，，
∵
∴，
解得，
∴的半径为5．
【点睛】本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，圆的基本性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．