2.1不等式及其性质同步练习（含解析） 北师大版数学八年级下册

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2.1不等式及其性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各式变形正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
2．若，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．平面直角坐标系中，过点的直线l经过第一、二、三象限，若点，，都在直线l上，则下列判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．设，则不成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列不等式的解集是全体数的是（ ）
A． B． C． D．
6．若，则下列不等式中，不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列各式中，是不等式的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知关于的方程组，其中，给出下列结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，的值互为相反数；③若，则；④是方程组的解，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知实数，满足，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，A、B两点在数轴上表示的数分别是a、b，则下列式子中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．下列式子中，是不等式的是（ ）
A． B． C． D．
12．如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．像156＞155，155＜156，x＞50，这样，我们把用符号“＞”或“＜”连接而成的式子叫做 ．像a≠2这样的式子也叫做不等式．
使不等式成立的未知数的值叫做 ．
14．饮料标签上标有“脂肪含量”，该式表示的含义是 ．
15．用不等式表示“与的平方和不小于它俩积的两倍”为
16．命题“如果，那么”是 命题．（填“真”或“假”）
17．已知，下列结论：①；②；③若，则；④若，则．其中正确的结论是 （填序号）．
三、解答题
18．已知，试比较与a的大小．
19．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为“”或“”的形式，并说出每次变形的依据．
(1)
(2)
(3)
(4)
20．阅读下列解题过程，再解题．
已知，试比较与的大小．
解：∵，第一步
∴，第二步
故．第三步
(1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误．
(2)请写出正确的解题过程．
21．阅读材料，解决下列问题．
材料：已知实数、满足，求证：．
证明：且，均为正 （已知）
，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）
（不等式的传递性）
即，
解决问题（要求：采用推理方式解决下列问题，可以不写各步骤的依据）
(1)若，求证：；
(2)已知有理数，，满足：，，．试求的最小值．
22．（1）如果，那么a b；如果，那么a b；如果，那么a b．（填、、）
（2）试用（1）提供的方法比较与的大小．
23．【阅读】在证明命题“如果，，那么”时，小明的证明方法如下：
证明：∵，
∴> ． ∴ ．
∵，，
∴ ． ∴ ．
∴．
【问题解决】
(1)请将上面的证明过程填写完整；
(2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ．
24．二次根式的学习，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与完全平方，不等式等相结合的一些运算，从而更好地指导我们解决生活实际问题．
【问题提出】比较与（，）的大小，
【问题探究】我们不妨特殊化问题，分别给a、b进行赋值．
(1)比较下列各式大小，（填“>”或“<”或“≥”或“≤”或“=”）
______；______；______
(2)由（1）中各式猜想______（，），当且仅当a______b时，．
猜想证明过程如下：
=…
请补全上述证明过程；
(3)【灵活应用】万众一心齐携手，众志成城抗疫情．其中，高速入检处就解决临时隔离问题用48米长的钢丝网靠墙（墙的长度不限）围建了6间相同的矩形隔离房．设每间隔离房的面积为S（米），当每间隔离房的长、宽各为多少时，每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？
《2.1不等式及其性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D C D C C C D A
题号 11 12
答案 C B
1．A
【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
根据不等式的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 由，得，故该选项正确，符合题意；
B. 由，得，故该选项不正确，不符合题意；
C. 由，得，故该选项不正确，不符合题意；
D. 由，得，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
2．A
【分析】本题考查不等式的基本性质，熟记不等式的基本性质是解决问题的关键．根据不等式的基本性质：加减性质：不等式两边加（或减）同一个数，不等号方向不变；乘除正数：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；乘除负数：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变；逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A．若，则，故选项A成立，符合题意；
B．若，则，故选项B不成立，不符合题意；
C．若，则，故选项C不成立，不符合题意；
D．若，则，故选项D不成立，不符合题意；
故选：A．
3．D
【分析】设出一次函数解析式为，根据图象经过的象限确定，把代入解析式，得到用m表示的函数关系式，把三个点代入解析式，判断各个选项是否正确．
【详解】解：设直线l的解析式为y＝mx+n，
由于直线l经过第一、二、三象限，
所以．
由于点在直线l上，
所以，即，
所以一次函数解析式为：，
当时，，
∵，
∴，
故选项B不合题意；
当时，，
∵，
∴，
故选项C不合题意，
∴，即，
故选项A不合题意，
当时，，
即，
因为．所以，
即，
故选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象和性质以及不等式的性质，利用不等式的性质是解决本题的关键．
4．C
【分析】根据不等式的性质进行逐一判断即可．
【详解】解：A、∵，∴，故此选项不符合题意；
B、∵，∴，故此选项不符合题意；
C、∵，∴，故此选项符合题意；
D、∵，∴，故此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去一个相同的数，不等式仍然成立；不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等式不改变符号；不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等式的符号改变．
5．D
【分析】根据不等式的性质，分别求各个不等式的解集即可．
【详解】A. ，解得，故该选项不符合题意；
B. ，解得，故该选项不符合题意；
C. ，解得，故该选项不符合题意；
D. ，解得是全体实数，故该选项符合题意；．
故选D．
【点睛】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
6．C
【分析】本题考查了不等式的性质，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
根据不等式的性质逐项判断即可．
【详解】解：A．若，根据不等式的性质①，两边同时加3得，，原变形成立，故本选项不符合题意；
B．若，根据不等式的性质①两边同时减4得，，原变形成立，故本选项不符合题意；
C．若，根据不等式的性质③两边同时乘得，，不等号的方向改变，原变形不成立，故本选项符合题意；
D．若，根据不等式的性质③得，，原变形成立，故本选项不符合题意；
故选：C．
7．C
【分析】本题主要考查了不等式的定义，即用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式，根据不等式的定义解答即可．
【详解】解：根据不等式定义：用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式，
所以满足条件的只有C符合题意．
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了不等式的性质，解二元一次方程组．解方程组得，①把代入求得，，即可判断；②把代入求得，，即可判断；③当时，求得，则，即即可判断．④将代入，结合可判断得出结论．
【详解】解：∵，
解得：，
①把代入求得，
此时，，
即，是方程的解，故①正确；
②当时，，，
∴x，y的值互为相反数；故②正确；
③当时，，解得，
∴，
∴，即；故③正确；
④当时，且，
解得，与矛盾，则④错误．
综上可知，正确的是①②③，共3个，
故选：C．
9．D
【分析】本题考查不等式的性质，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变．
【详解】解：∵，
∴，
故选项A、C错误，不符合题意，选项D正确，符合题意；
若，满足，则，故选项B错误，不符合题意，
故选：D．
10．A
【分析】根据数轴可以得到a、b的正负和范围，利用不等式的性质，即可得到哪个选项是正确的．
【详解】解；由数轴可得，
，，，，
∵，，∴，故选项A正确；
∵，∴，则，故选项B错误；
∵，∴，故选项C错误；
∵，，∴，故选项D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查数轴、绝对值，解题的关键是明确数轴的特点，不等式的性质，利用数形结合的思想解答．
11．C
【分析】本题考查了不等式，根据不等式的定义逐项判断即可求解，掌握不等式的定义是解题的关键．
【详解】解：、是代数式，该选项不合题意；
、是等式，该选项不合题意；
、是不等式，该选项符合题意；
、是代数式，该选项不合题意；
故选：．
12．B
【分析】本题考查了不等式的性质．解题的关键在于对不等式性质的熟练掌握与灵活运用．
【详解】解：A、如果，那么，故此选项不正确，不符合题意；
B、如果，那么，故此选项正确，符合题意；
C、如果，那么，故此选项错误，不符合题意；
D、如果，那么不能确定，故此选项错误，不符合题意，
故选：B．
13． 不等式 不等式的解
【解析】略
14．脂肪含量不超过
【分析】本题考查了不等式在生活中的应用；根据不等式的含义即可完成．
【详解】解：“脂肪含量”表示：脂肪含量不超过；
故答案为：脂肪含量不超过．
15．
【分析】此题主要考查了列不等式，根据已知得出两数的平方和及两数的积是解题关键．实际问题抽象出不等式，根据已知表示出两数a，b的平方和，进而得出这两数的积的两倍，即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
16．真
【分析】根据不等式的性质进行求解即可．
【详解】解：若，那么，
∴命题“如果，那么”是真命题，
故答案为：真．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质和判断命题真假，熟知不等式的性质是解题的关键．
17．④
【解析】略
18．
【分析】比较与a的大小，可以利用不等式的基本性质，也可以利用数轴，直接得出与a的大小．
【详解】解法一 ∵ （已知），
∴（不等式的基本性质3）．
解法二 在数轴上分别表示和a的点，如图
位于a的左边，所以．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
19．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了不等式的基本性质的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．
（1）先移项，再合并；
（2）不等式的两边都乘以；
（3）先移项，再合并；
（4）先移项，再不等式的两边都乘以．
【详解】（1）解：∵，
∴（不等式的基本性质1），
∴（合并同类项）；
（2）解：∵，
∴（不等式的基本性质2）；
（3）解：∵，
∴（不等式的基本性质1），
∴（合并同类项）；
（4）解：∵，
∴（不等式的基本性质1），
∴（不等式的基本性质3）．
20．(1)二
(2)见解析
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
（1）根据不等式的性质求解即可；
（2）根据不等式的性质即可解答．
【详解】（1）解：上述解题过程中，从第二步开始出现错误，错误地运用了不等式的基本性质，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变．
故答案为：二．
（2）解：正确的解题过程如下：
∵，
∴，
∴．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质．
（1）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题．
（2）由条件可得，而，进一步可得，结合可得答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
；
（2）解：，，
，
即，
又，
，
，
，
，
的最小值是．
22．（1）；；；（2）
【分析】
本题考查等式的性质，整式加减运算，不等式的性质，掌握等式、不等式的性质是正确判断的前提．
（1）根据不等式的性质逐项进行判断即可；
（2）将两个式子作差计算，即可得到结论．
【详解】
解：（1）如果，那么，
如果，那么，
如果，那么；
（2），
∴，
即．
23．(1)见解析
(2)②④，证明见解析
【分析】（1）根据，可得> ab．从而得到 ．再由，，可得ac．从而得到 ．即可求证；
（2）选择②④ ．理由：根据a【详解】（1）证明：∵，
∴> ab．
∴ ．
∵，，
∴ac．
∴ ．
∴ ．
（2）解∶选择②④ ．
证明如下： ∵a∴a<0．
∴，．
∵a < b，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的性质，熟练掌握不等式的性质，绝对值的性质是解题的关键．
24．(1)>；；=
(2)≥，=；证明见解析
(3)每间隔离房长为4米，宽为3米时，S的最大值为12平方米．
【分析】（1）先计算，再利用估算，比较大小即可；
（2）利用完全平方公式配方，根据偶次方的非负性即可证明；
（3）设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，根据题意可列出方程，再结合题干所给材料可得出结论．
【详解】（1）解：，，
∵，∴，
∴；
=9，，
∵，∴，
∴；
=14，，
∴=；
故答案为：；；=；
（2）解：猜想≥（，），当且仅当a=b时，．
证明：
∵
，
∴≥；
故答案为：≥，=；
（3）解：设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，
依题意得：6x+8y=48，即3x+4y=24，
∵3x＞0，4y＞0，
∴3x+4y≥2，
即24≥2，
整理得：xy≤12，
即S≤12，
∴当3x=4y时Smax=12，
此时x=4，y=3，
即每间隔离房长为4米，宽为3米时，S的最大值为12平方米．
【点睛】本题属于创新题型，根据阅读材料，考查学生的理解能力和学习能力，在解题的过程中，要注意抓住“当且仅当a=b时等号成立”这一条件，得出取得最大值和最小值时候的条件．