江苏省淮安市多校2026届高三上学期12月联考数学试卷（含答案）

江苏省淮安市多校2026届高三上学期12月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知幂函数在上单调递增，则的值为( )
A. B. C. D. 或
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.设集合，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数函数，则下列结论正确的是( )
A. 若，则恰有个零点
B. 若恰有个零点，则的取值范围是
C. 若恰有个零点，则的取值范围是
D. 若，则恰有个零点
5.已知正三棱台的体积为，则与平面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
6.已知为锐角，，则( )
A. B. C. D.
7.现计划将某山体的一面绿化，自山顶向山底栽种排塔松，第排栽种棵，第排比第排多栽种棵，第排比第排多栽种棵，，第排比第排多栽种棵且，则第排栽种塔松的棵数为( )
A. 棵 B. 棵 C. 棵 D. 棵
8.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则在内所有的零点之和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数，则下列说法正确的有( )
A. 函数有三个零点
B. 是的极小值点
C. 函数的对称中心为
D. 过可以作三条直线与的图象相切
10.已知与函数的周期相同，则下列说法正确的是( )
A. 在区间上单调递减
B. 在区间内只有个极值点
C. 直线是曲线的对称轴
D. 直线是曲线的切线
11.如图，已知正方体的棱长为是的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列结论正确的是( )
A. 若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线
B. 若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为
C. 若直线与平面所成的角为，则的轨迹为椭圆
D. 若直线与直线所成的角为，则的轨迹为双曲线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.能够说明“设是任意实数，若，则”是假命题的一组整数的值依次为 ．
13.已知偶函数的定义域为，且当时，，当， ．
14.已知，分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上运动，当的值最小时，的内切圆的半径为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，若，且的面积为．
求的值；
若，求边上的高．
16.本小题分
已知数列，是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，．
求与的通项公式；
数列的前项和，求及的最小值和最大值；
设，求．
17.本小题分
已知，，．
当时，讨论的单调性；
设，若在上有极值，求的取值范围并证明此极值小于．
18.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，，，的中点，，．
求证：平面；
求二面角的余弦值；
证明：直线与平面相交．
19.本小题分
已知函数，其中，为自然对数的底数．
当时，求函数的单调区间；
当时，证明：对于任意的，都有；
若函数存在极小值点，且，求的取值范围．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.，，答案不唯一
13.
14.
15.解：因为，，
所以，
所以的面积，即，
解得．
由正弦定理得，，
所以，
由知，
所以，
在中，由余弦定理得，，
所以，即，
又的面积，
所以．
16.解：由，则，
故，即，
当时，，则，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，故；
，则数列的公差为，故；
，
则，
当为偶数时，，随的增大而增大，
当为奇数时，，随的增大而减小，
故当时，有最小值，
当时，有最大值；
由
则
，
则，
则，
故
，
则．
17.解：当时，，则，
当时，，所以在上单调递减；
当时，令，解得，，解得，
所以在上单调递减；上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减；上单调递增；
由题意，若在上有极值，则在上有变号零点，
当时，，不满足题意；
当时，令，则，所以在上单调递增，
令，解得，即；
则在上有唯一零点，
设，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以为的极小值点，所以，
又，所以，即极小值小于．
18.解：证明：，分别是，的中点，
，
平面，
平面，
又平面，
，
，是的中点，
，
又平面，平面，
平面；
由可知，，，平面，
又平面，，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，即，令，可得，
又，，
且，平面，平面，
平面，
为平面的一个法向量，
，，
由图形可知，二面角为钝二面角，
二面角的余弦值为；
证明：，，
，
，
与不垂直，
与平面不平行，
又平面，
与平面相交．

19.解：当时，，，
则，
设，，则，
所以在单调递增，又，
可知时，，时，，
所以的单调递增区间为，的单调递减区间为．
当时，，
设，，
则，
设，，则，
所以在上单调递增，
又，则，
所以在上单调递增，则，
即对于任意的，都有．
由，，则，
设，，可知在上单调递增，
因为函数存在极小值点，所以在存在零点，
即，
此时，即，
设，，且，
当时，，，则；
当时，，，则，
可得，则，此时，
则的取值范围为．
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