5.5.2 简单的三角恒等变换 教学设计

简单的三角恒等变换
1、教学目标
（1）通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。
（2）理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。
（3）通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．
2、教学重点与难点
教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．
3、教学过程
环节1：问题引入
已知
师生活动：1. 分析此题的已知和所求，是已知，求.
2.请大家想一想，本题中已知和所求的三角函数式中的角有什么特点？
解：
，
思考：此题能求吗？
【设计意图】复习导入，利用学过的二倍角公式复习迁移到新知识半角公式上，淡化对新知识的陌生感，使学生迅速将旧知与新知建立联系，降低探索和推导半角公式过程的难度.
环节2：新知探究：
探究一：利用公式进行简单的恒等变换
例1.试以
师生活动：（1）有什么关系？
（2）怎样运用倍角公式解决？
解：在倍角公式代替，以代替，即得，所以①.
在倍角公式中，以代替，以代替，即得，所以②.
将①②两个等式左右两边分别相除，得③.
师生活动：引导学生观察①②③式，归纳总结如下：
（1）用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数；
（2）由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”（即用此式可达到“降次”的目的）.
思考：代数变换与三角变换有什么不同？
引导学生通过这两种变换认识到：不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式，这是三角恒等变换的一个重要特点，代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.
【设计意图】例题中运用到了二倍角公式，加深了旧知的理解，同时巩固了新知.体现了三角函数各个公式恒定转换的奇妙，蕴含着化归这一数学思想方法.
半角公式：
；；
探究二：积化和差公式与和差化积公式
例2、求证：
（1）；
（2）．
证明：（１）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．；．
两式相加得；
即；
（2）由（1）得①；设，
那么．
把的值代入①式中得．
【设计意图】课本例题辅以教师的讲解，将所学的公式运用到相关问题去，且例题体现了换元与化归的思想，让学生深入理解“半”的含义，将半角公式推广到更广泛的“和角与差角”中去.
思考：在例2证明中用到哪些数学思想？（换元思想，转化与划归）
环节3：课堂练习：教材226页1、4
【设计意图】巩固本节课所学知识，加深学生对倍公式的理解和记忆
环节4：课堂小结
本节主要学习了怎样推导半角公式、积化和差、和差化积公式，以及如何利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，在解题过程中，应注意对三角函数式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形，还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，逆用公式等.
【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
环节5：作业布置：教材226页2、4（1）（3）/5（1）（2）
【设计意图】巩固新知，利于学生掌握公式.
板书设计
引入新课新知探究 简单的三角恒等变换.例1.半角公式 例2课堂小结：
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