5.5.2 简单的三角恒等变换 教学设计

简单的三角恒等变换
内容：本节的主要内容是由三角恒等变换，让学生感受数形结合及转化的思想方法。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
1.教学目标:
（1）通过三角恒等变形将形如asin x＋bcos x的函数转化为y＝Asin(x＋φ)的函数，提升数学运算的核心素养；
（2）.灵活利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题，强化数学运算的核心素养。
2.教学重点与难点
重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．
难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力
3.教学过程设计
例1.求下列函数的周期、最大值与最小值：
(1); （2）
师生互动：学生自主解答，师点评完善并总结。
小结：研究形如f(x)＝asinx＋bcosx的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，例如sinx±cosx＝sin；sinx±cosx＝2sin等.
练习：已知函数.
（1）求函数的单调减区间；
（2）当时，求函数的值域.
【解析】（1）
，
所以
令，解得，
故函数的减区间为.
（2）当时，所以，所以，
故函数的值域为
三角恒等变换在实际问题中的应用
例2.某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如右图)．
【解析】连接OC，设∠COB＝θ，则0°<θ<45°，OC＝1.
∵AB＝OB－OA＝cosθ－AD＝cosθ－sinθ，
∴S矩形ABCD＝AB·BC＝(cosθ－sinθ)·sinθ＝－sin2θ＋sinθcosθ
＝－(1－cos2θ)＋sin2θ＝(sin2θ＋cos2θ)－＝cos(2θ－45°)－.
当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，Smax＝ (m2)．
∴割出的长方形桌面的最大面积为 m2.
【类题通法】三角函数应用题的特点和处理方法
(1)实际问题的意义反映在三角形的边、角关系上．
(2)引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行推理，解决最优化问题．(3)解决三角函数应用问题与解决一般的应用问题一样，先建模，再讨论变量的性质，最后做出结论并回答问题．
【巩固练习】如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
【解析】连接OB(图略)，设∠AOB＝θ，
则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈.
因为A，D关于原点对称，所以AD＝2OA＝40cos θ.
设矩形ABCD的面积为S，则S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.
因为θ∈，所以当sin 2θ＝1，即θ＝时，Smax＝400(m2)．
此时AO＝DO＝10(m)．
故当A，D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.
【设计意图】通过三角函数的实际应用，培养学生数学建模的核心素养。
（四）操作演练 素养提升
1．若cos α＝，α∈(0，π)，则cos的值为(　　)
A.　　B．－ C．± D．±
2．函数的最小正周期为________．
3．化简的结果为________．4．已知＝，则sin x－cos x＝________.
【答案】1.A 2. 3.sin 1＋cos 1 4.
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固函数的表示法，树立用函数解析式解决相关问题的意识。