陕西省西安中学2025-2026学年上学期期末高三数学试卷（无答案）

西安中学2025—2026学年度第一学期期末考试
高三数学试题
时间：120分钟 满分：150分
第一部分 （选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数的共轭复数 =（ ）
A. B.
C. D.
2. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知，数列满足，且对一切，有，则（ ）
A. 是等差数列
B. 是等比数列
C. 是等比数列
D. 是等比数列
5. 如图1，正方形的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形的周长是（ ）
A.4 B.6
C. D.8
6. 在椭圆上有一点，左、右焦点分别为和，则下列说法正确的是（ ）
A. 的周长为8
B. 存在点使得
C. 满足的点有且只有4个
D. 如果线段的中点在轴上，此时的面积为
7．若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知：，直线：，为上的动点．过点作的切线，，切点为，，当四边形面积最小时，直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分．
9．设随机变量的分布列为，，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图2，是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（ ）
A．圆锥的母线长为3
B．圆锥的表面积为
C．圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为
D．若一蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点，则爬行的最短距离为
11．已知双曲线：的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，为双曲线上任意一点，判断以下选项正确的是（ ）
A．若，则或
B．当点不在轴上时，直线与的斜率之积为
C．点到双曲线的两条渐近线的距离之积为
D．的内心到轴的距离为2
第二部分 （非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 某小型餐饮公司统计了最近300天的营业额（单位：元），发现每天的营业额满足：。据统计，每天营业额不低于4000元的天数为90，则该公司每天营业额在的天数约为______天。
13. 已知的展开式中，的系数记为，则 ______。
14. 已知函数，曲线在点处的切线与平行。则的最小值为______。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且。
（1）求的离心率；
（2）射线与交于点，且，求的周长。
16.（本小题满分15分）
设为数列的前项和，已知，，且为等差数列。
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求的前项和。
17.（本小题满分15分）
已知函数。
（1）求在上的单调递增区间；
（2）在锐角中，内角、、的所对的边分别为、、，且，，求的取值范围。
18.（本小题满分17分）
某社区100名居民参加2026年元旦活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按，40)，，50)，，60)，，70)，，分组，得到的频率分布直方图如图3所示．
（1）求的值，并估计该社区参加2026年元旦活动的居民的年龄中位数；
(2)现从年龄在，60)，，的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用表示参与座谈的居民的年龄在，的人数，求的分布列和数学期望；
(3)若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地30岁至80岁之间的市民中抽取20名进行调查，其中有名市民的年龄在，50)的概率为(，，，，)，当最大时，写出的值．
19．（本小题满分17分）
如图4，正四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面与底面平行且与四棱锥的四条侧棱（不含端点）分别交于点，，，，四棱台与四棱锥的棱长和相等（“棱长和”指多面体的所有棱长之和）．
（1）若是棱的中点，求四棱台的体积；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值；
（3）已知四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱长为，且侧棱与底面所在平面所成的角为（），若平面任意上下平移时，总存在正数，，使得四棱柱与四棱台有相同的体积，也有相同的棱长和，求的取值范围．