广东省广州市真光中学2025-2026学年高一上学期12月阶段测试数学试题
1．（2025高一上·广州月考）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2025高一上·广州月考）已知幂函数为偶函数，则（ ）
A．或2 B．2 C． D．1
3．（2025高一上·广州月考）用二分法求方程的近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高一上·广州月考）玻璃的透光性是玻璃的一项重要的性能指标．某玻璃厂在进行产品的性能测试时，发现光线通过一块玻璃，强度要损失10%．设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后，光线强度为，要使光线削弱为原来的，至少需要通过几块这样的玻璃？（已知，）（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
5．（2025高一上·广州月考）下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025高一上·广州月考）若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高一上·广州月考）已知函数，若，，则（ ）
A．25 B．20 C．10 D．5
8．（2025高一上·广州月考）已知，函数，若恒成立，则（ ）
A．的最小值为8； B．的最小值为2；
C．的最小值为； D．的最小值为.
9．（2025高一上·广州月考）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的解集为
C．
D．的解集为
10．（2025高一上·广州月考）下列结论中正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．函数的图象必过定点
C．若某扇形的周长为，面积为，圆心角，则
D．函数的单调增区间
11．（2025高一上·广州月考）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则（ ）
A．的解析式为
B．若（且），则实数 的取值范围为
C．函数的零点为1，
D．方程 有四个不同的实数根，求的取值范围为
12．（2025高一上·广州月考） .
13．（2025高一上·广州月考）如图，在Rt中，，以为圆心、为半径作圆弧交于点，若圆弧分的面积为(扇形部分是2份)，且弧度，则 ．
14．（2025高一上·广州月考）已知实数x，y满足，，则 .
15．（2025高一上·广州月考）在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边在第二象限与单位圆交于点，点的横坐标为．
（1）求的值．
（2）若将射线绕点逆时针旋转，得到角，求的值．
16．（2025高一上·广州月考）计算下列各式的值：
（1）
（2）设，，用a，b表示；
（3）已知，试求的值.
17．（2025高一上·广州月考）某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y（单位：万元）是销售利润x（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择：
A．；B．；C．．
（1）请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；
（2）根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题：
①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？
②总奖金能否超过销售利润的五分之一？
18．（2025高一上·广州月考）已知定义在上的函数是奇函数．
（1）求函数的解析式；
（2）判断的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若存在，使得关于x的不等式能成立，求实数k的取值范围．
19．（2025高一上·广州月考）我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有的同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
（1）由上述信息，若的图象关于点成中心对称图形，证明：；
（2）已知函数，写出图象的对称中心，并求的值.
（3）若函数具有以下性质：
①定义域为，
②在其定义域内单调递增，
③，都有.
函数，求使不等式成立的实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：当时，，即必要性成立；
若，则或，即充分性不成立，
则“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据三角函数的性质，结合充分、必要条件的定义判断即可.
2．【答案】B
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数为幂函数，所以，解得或，
当时，，不是偶函数，不合题意；
当时，，是偶函数，符合题意，
则.
故答案为：B.
【分析】根据函数为幂函数，可得，求得a的值，再根据函数为偶函数，确定a的值即可.
3．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数，
计算各点函数值：
，
，
，
，
，
根据二分法可知，零点位于区间内.
故答案为：B.
【分析】函数，计算各点函数值，结合零点存在性定理判断即可.
4．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：设通过x块这样的玻璃以后，光线削弱为原来的，
由题意可得，即，
解得，
故至少需要通过16块这样的玻璃.
故答案为：D.
【分析】设通过x块这样的玻璃以后，光线削弱为原来的，由题意列方程，利用对数运算性质求解即可.
5．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：A、函数在上单调递增， 因为 ，所以，故A错误；
B、因为在上单调递增，所以，
又因为在上单调递增，所以，所以，故B错误；
C、，故C错误；
D、，因为在上单调递增，所以，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据指数函数、幂函数的单调性即可判断AB；根据三角函数的性质即可判断C；利用对数运算，结合对数函数的单调性即可判断D.
6．【答案】B
【知识点】三角函数值的符号；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：当时，，
则.
故答案为：B.
【分析】由，可得，根据同角关系凑出平方关系去掉根号化简即可.
7．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意，函数的图象如下，
根据，且，
结合函数图象，可得：，
根据二次函数图象的对称性，得，则，
当时，；当时，，
由，得，
则，解得，所以，
则.
故答案为：C.
【分析】根据分段函数的图象判断所在区间，由对称性得出的值，再利用对数函数的图象和对数的运算法则，从而可得的值，进而得出的值.
8．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为单调递增，单调递增，且恒成立，
所以与零点相等，
令，可得；
令，可得，
所以 .
对于选项A：因为，
所以，则，
所以，则，当且仅当时，即当时取等号，所以选项A错误；
对于选项B：由，可知，
易知，，
所以，当且仅当时等号成立，所以选项B错误；
对于选项C：因为，所以，
则，
所以，
当且仅当时，即当取等号，所以选项C正确；
对于选项D：由，
可知：，
由，得，
则当且仅当时，取最小值，所以选项D错误.
故答案为：C.
【分析】先根据函数、的单调性得出函数零点相等，从而得出，利用基本不等式构造不等式，则判断选项A；根据和基本不等式则判断出选项B；根据结合配凑法可判断出选项C；先化简，再结合选项A，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
9．【答案】A,D
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由题意可知：是方程的两个根，且，
则，解得，故A正确；
B、由A可知：不等式可化为，即，解得，
则的解集为，故B错误；
C、由A可得：，故C错误；
D、由A可知：不等式可化为，即，
解集为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】 由题意可知：是方程的两个根，且， 利用韦达定理得，再逐项计算判断即可.
10．【答案】A,B,C
【知识点】命题的否定；指数型复合函数的性质及应用；扇形的弧长与面积；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、命题“”的否定是“”，故A正确；
B、令，解得，，则函数的图象必过定点，故B正确；
C、设扇形半径为，弧长为，则周长为，解得或，
当时，，则不符合题意；当时，，此时，故C正确；
D、函数需满足，解得，
令，则是减函数，对称轴为，
所以在上是单调递增，在上是单调递减，
根据复合函数“同增异减”原则，函数的单调增区间，故错D误.
故答案为：ABC.
【分析】根据命题否定的概念即可判断A；令，求得x的值，再求函数值得定点坐标即可判断B；根据扇形的周长以及面积求解即可判断C；根据复合函数的单调性求解即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、由题意可得：，即，
函数的图象与无限接近，可得，则，，故A错误；
B、由A可知，满足，即为偶函数，
当时，为单调递增函数，
由，可得，解得或，
则实数 的取值范围为，故B正确；
C、令，即，即，则，解得，故C正确；
D、要使有四个不同的实数根，令，则在上有两个不相等的实数根，故，解得，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意可得，，求得即可判断A；先判断函数的奇偶性，再根据函数的单调性以及奇偶性将不等式转化为，根据对数不等式求解即可判断B；解指数方程即可判断C；将问题转化为在上有两个不相等的实数根，利用一元二次方程根的分布求解即可判断D.
12．【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为，
又因为，
所以.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和诱导公式，从而化简求值.
13．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形部分的半径为，
则扇形的面积为，
在直角三角形中，，
又因为的面积为，
由题意，知圆弧分的面积为(扇形部分是2份)，
，，
．
故答案为：．
【分析】先设出扇形的半径，再求出扇形的面积，解三角形求出高，再计算出直角三角形的面积，由已知建立与的关系式，从而得出的值．
14．【答案】
【知识点】函数单调性的判断与证明；指数函数的图象与性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由，可得，
由，可得，即，
则，
因为函数在上为增函数，所以，则．
故答案为：．
【分析】由，可得，由，可得，利用函数的单调性求解即可.
15．【答案】（1）解：因为在单位圆上，点的横坐标为，所以，
又因为点在第二象限，所以，所以，
则；
（2）解：由题意可得，则，
，，
故.
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【分析】（1）根据任意角的三角函数的定义求得，进一步得到的值，再利用弦化切求解即可；
（2）由题意，利用诱导公式求得，再利用同角三角函数的基本关系求解即可.
（1）因为在单位圆上，的横坐标为，
所以根据三角函数的定义得，
又点在第二象限，所以，所以，
则；
（2）由题知，则，
，则，
故
.
16．【答案】（1）解：
（2）解：；
（3）解：由，可得，则，，
即，，则.
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【分析】（1）根据对数的运算法则及换底公式求解即可；
（2）利用换底公式，结合对数的运算性质求解即可；
（3）利用指数、对数互化，结合对数的运算性质及换底公式运算求解即可.
（1）原式
.
（2）.
（3）因为，所以，则，，
则，，所以.
17．【答案】（1）解：模型A．，因为，所以匀速增长，不符合；
模型B．，因为，先慢后快增长，不符合；
模型C．，因为，先快后慢增长，所以模型C最符合题意；
（2）解：因为销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元，所以，即，
又因为销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元，所以，即，
由解得，所以，
①、如果总奖金不少于9万元，即，
即，即，解得，则至少应完成销售利润210万元；
②、设，即，
因为与有交点，且增长速度比慢，
所以当时，恒在的下方，所以无解，
则总奖金不会超过销售利润的五分之一.
【知识点】对数函数的图象与性质；“对数增长”模型
【解析】【分析】（1）根据函数的图象，结合各个函数的性质选择模型即可；
（2）①、由题意求得，令解对数不等式即可；
②、 设，即，结合函数图象的增长速度解释即可.
（1）模型A．，因为，所以匀速增长，
模型B．，因为，先慢后快增长，
模型C．，因为，先快后慢增长，
所以模型C最符合题意.
（2）因为销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元，
所以，即，
又因为销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元，
所以，即，
由解得，所以，
①如果总奖金不少于9万元，即，
即，即，解得，
所以至少应完成销售利润210万元.
②设，即，
因为与有交点，
且增长速度比慢，
所以当时，恒在的下方，
所以无解，
所以总奖金不会超过销售利润的五分之一.
18．【答案】（1）解：因为函数是定义在的奇函数，
所以，解得，则，
满足，
则是奇函数，满足题意，
故；
（2）解：是上的减函数，
证明如下：，且，
则，
因为且，所以，
所以，即，
故是上的减函数；
（3）解：因为是上的奇函数，所以不等式，
即，
又因为是上的减函数，所以在时能成立，
令，则，当且仅当时取等号，
在时能成立，
，
令，
因为在上均单调递增，所以在上单调递增，
所以，
则，即实数k的取值范围
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1） 由函数是定义在的奇函数，可得，求得的值，再检验即可；
（2）利用函数单调性定义判断并证明即可；
（3）利用函数的单调性与奇偶性，将问题转化为“在时能成立”，再通过换元法，结合函数的单调性求解即可．
（1）∵定义在上的函数是奇函数，∴，∴．
此时，，
∴是奇函数，满足题意，
∴．
（2）是上的减函数，证明如下：
，设且，
∴，
∵且，∴，
∴，即，
∴是上的减函数．
（3）∵是上的奇函数，
∴不等式即为，
∵是上的减函数，
∴在时能成立，
令，则，当且仅当时取等号，
故在时能成立，
∴，
令，
∵在上均单调递增，
∴在上单调递增，
∴，
故．
19．【答案】（1）证明：设，
若的图象关于点成中心对称图形，则，即，
设，则，即，即；
（2）解：函数，
，
因为为奇函数，所以，
则，解得，
则图象的对称中心为，
即，
即，，，
，
则；
（3）解：因为，，所以，
又因为，都有，所以，
所以，
整理得，即，
因为函数的定义域为，所以的定义域为，
因为在内单调递增，所以在内单调递增，
则，解得，
故实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【分析】（1）设函数，由题意可得，令，利用换元法证明即可；
（2）由题意先求函数，再根据为奇函数，求出，，可得，据此求解即可；
（3）先得到，然后将代入并整理得到，根据单调性列不等式组，求解的取值范围即可.
（1）设，
由已知得，即，
设，所以，
所以，即；
（2）因为，
所以
，
因为为奇函数，所以，
所以，
解得，
所以图象的对称中心为，
所以，
即，，，
，
所以
；
（3）因为，，
所以，
因为，都有，所以，
所以，
整理得，即，
因为函数的定义域为，
所以的定义域为，
因为在内单调递增，所以在内单调递增，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
1 / 1广东省广州市真光中学2025-2026学年高一上学期12月阶段测试数学试题
1．（2025高一上·广州月考）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：当时，，即必要性成立；
若，则或，即充分性不成立，
则“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据三角函数的性质，结合充分、必要条件的定义判断即可.
2．（2025高一上·广州月考）已知幂函数为偶函数，则（ ）
A．或2 B．2 C． D．1
【答案】B
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数为幂函数，所以，解得或，
当时，，不是偶函数，不合题意；
当时，，是偶函数，符合题意，
则.
故答案为：B.
【分析】根据函数为幂函数，可得，求得a的值，再根据函数为偶函数，确定a的值即可.
3．（2025高一上·广州月考）用二分法求方程的近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数，
计算各点函数值：
，
，
，
，
，
根据二分法可知，零点位于区间内.
故答案为：B.
【分析】函数，计算各点函数值，结合零点存在性定理判断即可.
4．（2025高一上·广州月考）玻璃的透光性是玻璃的一项重要的性能指标．某玻璃厂在进行产品的性能测试时，发现光线通过一块玻璃，强度要损失10%．设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后，光线强度为，要使光线削弱为原来的，至少需要通过几块这样的玻璃？（已知，）（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：设通过x块这样的玻璃以后，光线削弱为原来的，
由题意可得，即，
解得，
故至少需要通过16块这样的玻璃.
故答案为：D.
【分析】设通过x块这样的玻璃以后，光线削弱为原来的，由题意列方程，利用对数运算性质求解即可.
5．（2025高一上·广州月考）下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：A、函数在上单调递增， 因为 ，所以，故A错误；
B、因为在上单调递增，所以，
又因为在上单调递增，所以，所以，故B错误；
C、，故C错误；
D、，因为在上单调递增，所以，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据指数函数、幂函数的单调性即可判断AB；根据三角函数的性质即可判断C；利用对数运算，结合对数函数的单调性即可判断D.
6．（2025高一上·广州月考）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角函数值的符号；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：当时，，
则.
故答案为：B.
【分析】由，可得，根据同角关系凑出平方关系去掉根号化简即可.
7．（2025高一上·广州月考）已知函数，若，，则（ ）
A．25 B．20 C．10 D．5
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意，函数的图象如下，
根据，且，
结合函数图象，可得：，
根据二次函数图象的对称性，得，则，
当时，；当时，，
由，得，
则，解得，所以，
则.
故答案为：C.
【分析】根据分段函数的图象判断所在区间，由对称性得出的值，再利用对数函数的图象和对数的运算法则，从而可得的值，进而得出的值.
8．（2025高一上·广州月考）已知，函数，若恒成立，则（ ）
A．的最小值为8； B．的最小值为2；
C．的最小值为； D．的最小值为.
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为单调递增，单调递增，且恒成立，
所以与零点相等，
令，可得；
令，可得，
所以 .
对于选项A：因为，
所以，则，
所以，则，当且仅当时，即当时取等号，所以选项A错误；
对于选项B：由，可知，
易知，，
所以，当且仅当时等号成立，所以选项B错误；
对于选项C：因为，所以，
则，
所以，
当且仅当时，即当取等号，所以选项C正确；
对于选项D：由，
可知：，
由，得，
则当且仅当时，取最小值，所以选项D错误.
故答案为：C.
【分析】先根据函数、的单调性得出函数零点相等，从而得出，利用基本不等式构造不等式，则判断选项A；根据和基本不等式则判断出选项B；根据结合配凑法可判断出选项C；先化简，再结合选项A，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
9．（2025高一上·广州月考）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的解集为
C．
D．的解集为
【答案】A,D
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由题意可知：是方程的两个根，且，
则，解得，故A正确；
B、由A可知：不等式可化为，即，解得，
则的解集为，故B错误；
C、由A可得：，故C错误；
D、由A可知：不等式可化为，即，
解集为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】 由题意可知：是方程的两个根，且， 利用韦达定理得，再逐项计算判断即可.
10．（2025高一上·广州月考）下列结论中正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．函数的图象必过定点
C．若某扇形的周长为，面积为，圆心角，则
D．函数的单调增区间
【答案】A,B,C
【知识点】命题的否定；指数型复合函数的性质及应用；扇形的弧长与面积；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、命题“”的否定是“”，故A正确；
B、令，解得，，则函数的图象必过定点，故B正确；
C、设扇形半径为，弧长为，则周长为，解得或，
当时，，则不符合题意；当时，，此时，故C正确；
D、函数需满足，解得，
令，则是减函数，对称轴为，
所以在上是单调递增，在上是单调递减，
根据复合函数“同增异减”原则，函数的单调增区间，故错D误.
故答案为：ABC.
【分析】根据命题否定的概念即可判断A；令，求得x的值，再求函数值得定点坐标即可判断B；根据扇形的周长以及面积求解即可判断C；根据复合函数的单调性求解即可判断D.
11．（2025高一上·广州月考）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则（ ）
A．的解析式为
B．若（且），则实数 的取值范围为
C．函数的零点为1，
D．方程 有四个不同的实数根，求的取值范围为
【答案】B,C,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、由题意可得：，即，
函数的图象与无限接近，可得，则，，故A错误；
B、由A可知，满足，即为偶函数，
当时，为单调递增函数，
由，可得，解得或，
则实数 的取值范围为，故B正确；
C、令，即，即，则，解得，故C正确；
D、要使有四个不同的实数根，令，则在上有两个不相等的实数根，故，解得，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意可得，，求得即可判断A；先判断函数的奇偶性，再根据函数的单调性以及奇偶性将不等式转化为，根据对数不等式求解即可判断B；解指数方程即可判断C；将问题转化为在上有两个不相等的实数根，利用一元二次方程根的分布求解即可判断D.
12．（2025高一上·广州月考） .
【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为，
又因为，
所以.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和诱导公式，从而化简求值.
13．（2025高一上·广州月考）如图，在Rt中，，以为圆心、为半径作圆弧交于点，若圆弧分的面积为(扇形部分是2份)，且弧度，则 ．
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形部分的半径为，
则扇形的面积为，
在直角三角形中，，
又因为的面积为，
由题意，知圆弧分的面积为(扇形部分是2份)，
，，
．
故答案为：．
【分析】先设出扇形的半径，再求出扇形的面积，解三角形求出高，再计算出直角三角形的面积，由已知建立与的关系式，从而得出的值．
14．（2025高一上·广州月考）已知实数x，y满足，，则 .
【答案】
【知识点】函数单调性的判断与证明；指数函数的图象与性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由，可得，
由，可得，即，
则，
因为函数在上为增函数，所以，则．
故答案为：．
【分析】由，可得，由，可得，利用函数的单调性求解即可.
15．（2025高一上·广州月考）在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边在第二象限与单位圆交于点，点的横坐标为．
（1）求的值．
（2）若将射线绕点逆时针旋转，得到角，求的值．
【答案】（1）解：因为在单位圆上，点的横坐标为，所以，
又因为点在第二象限，所以，所以，
则；
（2）解：由题意可得，则，
，，
故.
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【分析】（1）根据任意角的三角函数的定义求得，进一步得到的值，再利用弦化切求解即可；
（2）由题意，利用诱导公式求得，再利用同角三角函数的基本关系求解即可.
（1）因为在单位圆上，的横坐标为，
所以根据三角函数的定义得，
又点在第二象限，所以，所以，
则；
（2）由题知，则，
，则，
故
.
16．（2025高一上·广州月考）计算下列各式的值：
（1）
（2）设，，用a，b表示；
（3）已知，试求的值.
【答案】（1）解：
（2）解：；
（3）解：由，可得，则，，
即，，则.
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【分析】（1）根据对数的运算法则及换底公式求解即可；
（2）利用换底公式，结合对数的运算性质求解即可；
（3）利用指数、对数互化，结合对数的运算性质及换底公式运算求解即可.
（1）原式
.
（2）.
（3）因为，所以，则，，
则，，所以.
17．（2025高一上·广州月考）某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y（单位：万元）是销售利润x（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择：
A．；B．；C．．
（1）请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；
（2）根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题：
①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？
②总奖金能否超过销售利润的五分之一？
【答案】（1）解：模型A．，因为，所以匀速增长，不符合；
模型B．，因为，先慢后快增长，不符合；
模型C．，因为，先快后慢增长，所以模型C最符合题意；
（2）解：因为销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元，所以，即，
又因为销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元，所以，即，
由解得，所以，
①、如果总奖金不少于9万元，即，
即，即，解得，则至少应完成销售利润210万元；
②、设，即，
因为与有交点，且增长速度比慢，
所以当时，恒在的下方，所以无解，
则总奖金不会超过销售利润的五分之一.
【知识点】对数函数的图象与性质；“对数增长”模型
【解析】【分析】（1）根据函数的图象，结合各个函数的性质选择模型即可；
（2）①、由题意求得，令解对数不等式即可；
②、 设，即，结合函数图象的增长速度解释即可.
（1）模型A．，因为，所以匀速增长，
模型B．，因为，先慢后快增长，
模型C．，因为，先快后慢增长，
所以模型C最符合题意.
（2）因为销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元，
所以，即，
又因为销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元，
所以，即，
由解得，所以，
①如果总奖金不少于9万元，即，
即，即，解得，
所以至少应完成销售利润210万元.
②设，即，
因为与有交点，
且增长速度比慢，
所以当时，恒在的下方，
所以无解，
所以总奖金不会超过销售利润的五分之一.
18．（2025高一上·广州月考）已知定义在上的函数是奇函数．
（1）求函数的解析式；
（2）判断的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若存在，使得关于x的不等式能成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）解：因为函数是定义在的奇函数，
所以，解得，则，
满足，
则是奇函数，满足题意，
故；
（2）解：是上的减函数，
证明如下：，且，
则，
因为且，所以，
所以，即，
故是上的减函数；
（3）解：因为是上的奇函数，所以不等式，
即，
又因为是上的减函数，所以在时能成立，
令，则，当且仅当时取等号，
在时能成立，
，
令，
因为在上均单调递增，所以在上单调递增，
所以，
则，即实数k的取值范围
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1） 由函数是定义在的奇函数，可得，求得的值，再检验即可；
（2）利用函数单调性定义判断并证明即可；
（3）利用函数的单调性与奇偶性，将问题转化为“在时能成立”，再通过换元法，结合函数的单调性求解即可．
（1）∵定义在上的函数是奇函数，∴，∴．
此时，，
∴是奇函数，满足题意，
∴．
（2）是上的减函数，证明如下：
，设且，
∴，
∵且，∴，
∴，即，
∴是上的减函数．
（3）∵是上的奇函数，
∴不等式即为，
∵是上的减函数，
∴在时能成立，
令，则，当且仅当时取等号，
故在时能成立，
∴，
令，
∵在上均单调递增，
∴在上单调递增，
∴，
故．
19．（2025高一上·广州月考）我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有的同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
（1）由上述信息，若的图象关于点成中心对称图形，证明：；
（2）已知函数，写出图象的对称中心，并求的值.
（3）若函数具有以下性质：
①定义域为，
②在其定义域内单调递增，
③，都有.
函数，求使不等式成立的实数的取值范围.
【答案】（1）证明：设，
若的图象关于点成中心对称图形，则，即，
设，则，即，即；
（2）解：函数，
，
因为为奇函数，所以，
则，解得，
则图象的对称中心为，
即，
即，，，
，
则；
（3）解：因为，，所以，
又因为，都有，所以，
所以，
整理得，即，
因为函数的定义域为，所以的定义域为，
因为在内单调递增，所以在内单调递增，
则，解得，
故实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【分析】（1）设函数，由题意可得，令，利用换元法证明即可；
（2）由题意先求函数，再根据为奇函数，求出，，可得，据此求解即可；
（3）先得到，然后将代入并整理得到，根据单调性列不等式组，求解的取值范围即可.
（1）设，
由已知得，即，
设，所以，
所以，即；
（2）因为，
所以
，
因为为奇函数，所以，
所以，
解得，
所以图象的对称中心为，
所以，
即，，，
，
所以
；
（3）因为，，
所以，
因为，都有，所以，
所以，
整理得，即，
因为函数的定义域为，
所以的定义域为，
因为在内单调递增，所以在内单调递增，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
1 / 1
