2025~2026学年山东省济南市市中区九年级第一学期数学期末考试试题（含答案）

2026 年九年级上学期数学期末学情调研试题
（满分150分 时间120分钟）
第 Ⅰ 卷（选择题 共 40 分）
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题目要求.
1.榫卯强调隐形连接，被誉为 “中华民族千年非遗瑰宝”．鲁班锁就是起源于我国古建筑中的榫卯结构．图 2 是六根鲁班锁（图 1）中的一个构件，其左视图是（ ）
2.已知=，则的值为（ ）
A. B. 2 C. D. 2
3.一个反比例函数图象过点(2, 3)，该图象也一定过点（ ）
A. ( 6, 1) B. (6,1) C. ( 3,2) D. ( 2, 3)
4.把抛物线y=(x+2)2+3的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）
A. y=(x 1)2+6 B. y=(x 1)2 6 C. y=(x+1)2+6 D. y=(x+1)2 6
5.一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的红色和黄色玻璃球，共计 40 个，将球搅匀，从中随机摸出一个，记下颜色后放回，搅匀再摸球，通过大量重复摸球试验后，将摸到红球的频率绘制成如下所示的统计图，由此可估计袋子中红色玻璃球的个数为（ ）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 24
6.如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是（ ）
A. 2 B. C. D.
7.阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．” 这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA=150cm，阻力臂OB=50cm，BD=20cm，则AC的长度是（ ）
A. 80cm B. 60cm C. 50cm D. 40cm
8.如图，AC是⊙O的直径．若∠ACB=65 ，则∠D的度数为（ ）
A. 15 B. 25 C. 45 D. 65
9.反比例函数y=(k≠0)和一次函数y= kx+3在同一平面直角坐标系的大致图象可能是（ ）
10.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A( 3,0)，与y轴交于点B，其对称轴为直线x= 1，以下结论：①abc>0；②当x>2时，y的值随x值的增大而减小；③5a+2b+c>0；④抛物线一定经过点( ,0)；⑤关于x的方程ax2+(b+1)x+c+1=0有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．直接填写答案．
11.已知∠A为锐角，且cosA=，则∠A等于______度．
12.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小得到△A′B′C′，若=，△A′B′C′的面积为4，则△ABC的面积为______．
13.如图，点A，D分别在函数y=，y=的图象上，点B，C在x轴上．若四边形ABCD为矩形且矩形的面积为8，则k的值为______．
14.如图，正八边形ABCDEFGH和正方形GHIJ的边长均为3，以顶点H为圆心，HG的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留π）
15.如图，线段AB=4，点C为平面上一动点，且∠ACB=90 ，点D为线段BC的中点，将BD绕点B顺时针旋转60 得到线段BE，连接AE，则线段AE的最大值为______．
三、解答题：本题共 10 小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（本小题满分 7 分）计算： 2cos45 +(π 2025)0+∣ ∣+() 1.
17.（本小题满分 7 分）如图，在△ABC中，∠C=90 ，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AB=10，BC=6，DE=3，求AD的长．
18.（本小题满分 7 分）码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天的装载量y（吨）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）由于紧急情况，要求装载货物不超过4天，那么平均每天至少要装载货物多少吨？
19.（本小题满分 8 分）数学社团开展 “讲数学家故事” 的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．
（1）小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是______；
（2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．
20.（本小题满分 8 分）图 1 是安装在倾斜屋顶上的热水器，图 2 是热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD=22 ，真空管AB与水平线AD的夹角∠BAD=30 ，真空管AB的长度为2米，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.2米．（参考数据：sin22 ≈0.37，cos22 ≈0.93，tan22 ≈0.40，≈1.73）
（1）求水平横管BC到水平线AD的距离；
（2）求水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）．
21.（本小题满分 9 分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE=∠ABC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BF=2，sin∠BEC=，求⊙O的半径．
22.（本小题满分 10 分）如图，用一根120cm的铁丝制作一个 “日” 字型矩形框架ABCD，铁丝全部用完．设矩形框架ABCD的一边长AB为x（单位：cm），所围成的矩形框架ABCD的面积为S（单位：cm2）．
（1）求出S与x之间的函数解析式，并直接写出x的取值范围；
（2）当x的值是多少时，矩形框架ABCD面积S最大？最大面积是多少？
23.（本小题满分 10 分）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知点B的坐标为( 2, 2)，点A的横坐标为4，连接OA．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）连接OB，求△OAB的面积；
（3）在y轴上存在一点P，使△PCD∽△AOD．求P点的坐标．
24.（本小题满分 12 分）如图，抛物线y= x2+bx+c的图象经过点C(0,3)，交x轴于点A，B（点A在点B左侧），点A( 1,0)，连接BC，直线y=kx+2(k>0)与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当=3时，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）第一象限内抛物线上是否存在一点P，使得△BCO中有一个锐角与∠PCB相等？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
25.（本小题满分 12 分）在△ABC中，CA=CB，∠ACB=α，点P是平面内不与A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图 1，当α=60 时，的值是______，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是______；
（2）类比探究
如图 2，当α=90 时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图 2 的情形说明理由；
（3）解决问题
如图 3，当α=90 时，点E，F分别是CA，CB的中点，点P在线段EF上，当点C，P，D在同一直线上，且AP=时，求出BD的长．
答案
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题目要求.
1.榫卯强调隐形连接，被誉为 “中华民族千年非遗瑰宝”．鲁班锁就是起源于我国古建筑中的榫卯结构．图 2 是六根鲁班锁（图 1）中的一个构件，其左视图是（ D ）
2.已知=，则的值为（ A ）
A. B. 2 C. D. 2
3.一个反比例函数图象过点(2, 3)，该图象也一定过点（ C ）
A. ( 6, 1) B. (6,1) C. ( 3,2) D. ( 2, 3)
4.把抛物线y=(x+2)2+3的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ C ）
A. y=(x 1)2+6 B. y=(x 1)2 6 C. y=(x+1)2+6 D. y=(x+1)2 6
5.一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的红色和黄色玻璃球，共计 40 个，将球搅匀，从中随机摸出一个，记下颜色后放回，搅匀再摸球，通过大量重复摸球试验后，将摸到红球的频率绘制成如下所示的统计图，由此可估计袋子中红色玻璃球的个数为（ C ）
A. 8 B. 12 C. 16 D. 24
6.如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是（ A ）
A. 2 B. C. D.
7.阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．” 这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA=150cm，阻力臂OB=50cm，BD=20cm，则AC的长度是（ D ）
A. 80cm B. 60cm C. 50cm D. 40cm
8.如图，AC是⊙O的直径．若∠ACB=65 ，则∠D的度数为（ B ）
A. 15 B. 25 C. 45 D. 65
9.反比例函数y=(k≠0)和一次函数y= kx+3在同一平面直角坐标系的大致图象可能是（ A ）
10.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A( 3,0)，与y轴交于点B，其对称轴为直线x= 1，以下结论：①abc>0；②当x>2时，y的值随x值的增大而减小；③5a+2b+c>0；④抛物线一定经过点( ,0)；⑤关于x的方程ax2+(b+1)x+c+1=0有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ B ）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．直接填写答案．
11.已知∠A为锐角，且cosA=，则∠A等于____30__度．
12.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小得到△A′B′C′，若=，△A′B′C′的面积为4，则△ABC的面积为___36___．
13.如图，点A，D分别在函数y=，y=的图象上，点B，C在x轴上．若四边形ABCD为矩形且矩形的面积为8，则k的值为___－2___．
14.如图，正八边形ABCDEFGH和正方形GHIJ的边长均为3，以顶点H为圆心，HG的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留π）
15.如图，线段AB=4，点C为平面上一动点，且∠ACB=90 ，点D为线段BC的中点，将BD绕点B顺时针旋转60 得到线段BE，连接AE，则线段AE的最大值为___2+2___．
三、解答题：本题共 10 小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（本小题满分 7 分）计算： 2cos45 +(π 2025)0+∣ ∣+() 1.
=2－+1++3
=6
17.（本小题满分 7 分）如图，在△ABC中，∠C=90 ，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AB=10，BC=6，DE=3，求AD的长．
解：在△ABC 中，∠C =90°, AC =8, BC =6
∴AB ==10
∵∠A =∠A , ∠AED =∠C ,
∴△ADE△ABC
则＝．即＝
∴AD =5.
18.（本小题满分 7 分）码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天的装载量y（吨）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）由于紧急情况，要求装载货物不超过4天，那么平均每天至少要装载货物多少吨？
解：(1）设这个反比例函数的表达式为y=(k≠0),
根据题意，得50=，解得 k =400,
这个反比例函数的表达式为 y =( x>0).
(2）当 x =4时， y =400÷4=100.由图象可知当 x≤4时， y ≥100.
答：平均每天至少要装载100吨货物．
19.（本小题满分 8 分）数学社团开展 “讲数学家故事” 的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．
（1）小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是______；
（2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率．
解：(1）∵共有4张卡片
∴小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是
(2）根据题意，画树状图如图
由图可得，共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的有6种
∴抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为=
20.（本小题满分 8 分）图 1 是安装在倾斜屋顶上的热水器，图 2 是热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD=22 ，真空管AB与水平线AD的夹角∠BAD=30 ，真空管AB的长度为2米，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.2米．（参考数据：sin22 ≈0.37，cos22 ≈0.93，tan22 ≈0.40，≈1.73）
（1）求水平横管BC到水平线AD的距离；
（2）求水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）．
解：(1）过 B 作 BF⊥AD 于 F , ∠AFB =90°,
在 Rt△ABF 中， sin∠BAF =
∵AB =2.5米，∠BAF =39°, BF = AB·sin39°≈2.5×0.629=1.5725≈1.6米．
答：水平横管 BC 到水平线 AD 的距离约为1.6米；
∵∠FBC =∠BCD =∠D =90°
∴四边形 BCDF 为矩形，
∴BC = DF , CD =BF =1.6米，CE =0.6米
∵DE = CD - CE =1.6-0.6=1（米）
在 Rt△ADE 中， tan∠DAE =
∵∠DAE =22°
∴AD =≈2.48（米）,
又：∵在 Rt△ABF 中， cos∠BAF =
∵AB =2.5米，∠BAF =39°
∴AF = AB·cos39°≈2.5x0.777=1.9425≈1.94（米）.
∴DF = AD - AF =2.48-1.94=0.54≈0.5（米）
∴BC = DF =0.5米，
答：水平横管 BC 的长度约为0.5米．
21.（本小题满分 9 分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE=∠ABC．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BF=2，sin∠BEC=，求⊙O的半径．
如图，连结 OE .
∵∠BCE =∠ABC ,∠BCE =∠BOE
∴∠ABC =∠BOE
∴OE // BC
∴∠OED =∠BCD
∵EF // CA
∴∠FEC =∠ACE
∴∠OED +∠FEC =∠BCD +∠ACE ,级∠FEO =∠ACB
∵AB 是直径
∴∠ACB =90°,∴∠FEO =90°
∴FE⊥EO .
∵EO 是⊙O 的半径
∴EF 是⊙O 的切线．
（2）∵EF // AC
∴△FEO△ACB
∵BF =2, sin∠BEC =，∠BEC =∠BAC
∴sin∠BAC ==
设⊙O 的半径为 r ，则 FO =2+ r , AB =2r
∴=
解得 r =3,.⊙O的半径是3.
22.（本小题满分 10 分）如图，用一根120cm的铁丝制作一个 “日” 字型矩形框架ABCD，铁丝全部用完．设矩形框架ABCD的一边长AB为x（单位：cm），所围成的矩形框架ABCD的面积为S（单位：cm2）．
（1）求出S与x之间的函数解析式，并直接写出x的取值范围；
（2）当x的值是多少时，矩形框架ABCD面积S最大？最大面积是多少？
解：(1）由题意可得：3x+2y=120,
∴y ==-x +60;
∴S= xy =x(-x +60)=-x2+60x;（0(3) S =-x2+60x=-x2(x -20)2+600,
由（2）可得：0当x =20时， S的值最大，为600cm2.
23.（本小题满分 10 分）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知点B的坐标为( 2, 2)，点A的横坐标为4，连接OA．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）连接OB，求△OAB的面积；
（3）在y轴上存在一点P，使△PCD∽△AOD．求P点的坐标．
（1）将B的坐标为( 2, 2)代入y=，得k=4
∴反比例函数表达式为y=
将A的横坐标为4代入y==1
将A（4，1）和B( 2, 2代入y=ax+b
解得
∴一次函数表达式为y=x－1
（2）3
（3）P（0，1）或（0，－3）
24.（本小题满分 12 分）如图，抛物线y= x2+bx+c的图象经过点C(0,3)，交x轴于点A，B（点A在点B左侧），点A( 1,0)，连接BC，直线y=kx+2(k>0)与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当=3时，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）第一象限内抛物线上是否存在一点P，使得△BCO中有一个锐角与∠PCB相等？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
（1）将C(0,3)和A( 1,0)代入y= x2+bx+c得
解得
∴抛物线表达式为y= x2+x+3
（2）E（2，）
（3）P的横坐标为或
25.（本小题满分 12 分）在△ABC中，CA=CB，∠ACB=α，点P是平面内不与A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图 1，当α=60 时，的值是______，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是______；
（2）类比探究
如图 2，当α=90 时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图 2 的情形说明理由；
（3）解决问题
如图 3，当α=90 时，点E，F分别是CA，CB的中点，点P在线段EF上，当点C，P，D在同一直线上，且AP=时，求出BD的长．
22.(1)1 60°
解：(2)=，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数为45°.
理由如下：∵∠ACB =90°, CA = CB ,
∴∠CAB =45°,=
同理可得∠PAD =45°,=,
∴=，∠CAB =∠PAD
∴∠CAB +∠DAC =∠PAD +∠DAC , ∠DAB =∠PAC .
∴△DAB△PAC .
∴=，∠DBA =∠PCA .
设 BD 交 CP 于点 G , BD 交 CA 于点H .
∵∠BHA =∠CHG ,
∴∠CGH =∠BAH =45°
∴直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数为45°.
(3)AD 的值为2+或2-