四川省泸州市2025-2026学年高一上学期期末质量监测数学试题（含答案）

四川省泸州市2025-2026学年高一上学期期末质量监测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.半径为，圆心角为弧度的扇形的面积是( )
A. B. C. D.
3.已知为实数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.函数在区间上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.已知函数，使成立的的取值集合是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数，，的零点分别为，，，则，，，的大小顺序为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，且，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
10.下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的有( )
A. B.
C. D.
11.给定函数，且，分别用，表示，中的较小者，较大者，记为，下列说法正确的是( )
A. 当时，
B.
C. 若直线与的图象有三个不同交点，则
D. 函数的值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算 ．
13.已知函数，则的值域是 ．
14.已知函数，若，满足，且，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集为，集合，．
求，；
已知集合，若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
若在上单调递增，求实数的最大值；
当时．
求不等式的解集；
若在上的值域为，求实数的取值范围．
17.本小题分
在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区年底至年底新能源汽车保有量如下表：
年份年
新能源汽车保有量辆
假设从年底起经过年后，该地区新能源汽车保有量为辆，根据表中提供的数据，从函数且和中选择一个恰当的函数模型来描述新能源汽车保有量的增长趋势，并求出解析式；
年底该地区传统能源汽车保有量为辆，且传统能源汽车保有量每年均下降若每年新能源汽车保有量按中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量参考数据：
18.本小题分
已知函数，．
求；
当时，若，求的值；
若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
判断的奇偶性，并证明；
解不等式；
若函数在定义域内某个区间上的值域为，则称为的优美区间．若存在优美区间，求的取值范围，并证明：．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：集合，，
所以，，
所以或；
集合，集合，
因为，所以．
所以实数的取值范围是．
16.解：函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为．
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
若在上单调递增，则，即，
所以实数的最大值为；
当时，．
令，则，即，解得．
所以不等式的解集为；
易知在上单调递减，在上单调递增，且，．
若在上的值域为，则．
当时，．
在上单调递减，所以在上的最小值为，最大值为，所以值域为，符合题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
若在上的值域为，则，即，即
解得．
综上所述，实数的取值范围为．
17.解：由于，所以新能源汽车保有量不是随年份增长而匀速增长，而是越来越快，
所以可用函数且来描述．
代入点，得，解得，．
所以．
年的数据，满足，
所以描述新能源汽车保有量的增长趋势的函数解析式为．
设从年底起经过年后，新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．
由题意知，从年底起经过年后，新能源汽车保有量为；
从年底起经过年后，传统能源汽车保有量为．
所以，即．
两边取常用对数，得．
因为，，
所以．
所以从年底起经过年后，新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．
即到年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．
18.解：由，得，即，
所以所以．
因为，所以．
由得．
若，则，即．
所以，所以．
因为，所以．
所以．
所以，所以．
．
由，得，即，
所以，即
当时，，所以，所以，
所以．
因为，
当且仅当时，即时，即时，等号成立．
所以，所以，即．
所以实数的取值范围是．
19.解：是奇函数证明如下：
由，得．
因为恒成立，所以恒成立，所以的定义域为．
，
所以是奇函数．
设，
则．
因为，所以，即；
因为，所以，即，即．
所以函数是增函数．
，得，
所以，即，即．
因为恒成立，所以，解得．
所以不等式的解集为．
由知是增函数，所以是增函数．
所以在区间的值域为．
因为为的优美区间，所以．
即方程有两个实数解，分别为，且．
当，即时，方程显然不成立；
当，即时，即时，方程有唯一解，不合题意；
当且时，有两个实数解，
令，，．
因为是增函数，在上单调递减，所以有两解．
因为当时，，，当且仅当，即，时，等号成立．
所以当时，有两解．
即时，有两个实数解，且．
当时，，所以，
当且仅当，即时，等号成立．
因为，所以等号不成立，且单调递减，有唯一解，且．

即或时，有唯一实数解，不合题意．
综上所述，的取值范围是，且．