山东省滨州市2025-2026学年高三上学期1月期末模拟数学试题（含答案）

山东省滨州市2025-2026学年高三上学期1月期末模拟
数学试题
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则对应复平面内的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知是实数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知圆为的外接圆，是边上一点，且平分，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，若，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知将函数的图象向左平移个单位，所得的图象经过点，则( )
A. B. C. D.
7.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若的最大值为，则的值是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.个人坐在一排个座位上，则下列说法正确的是( )
A. 共有种不同的坐法 B. 空位不相邻的坐法有种
C. 空位相邻的坐法有种 D. 两端不是空位的坐法有种
10.已知，为复数，下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则的最小值为
C. 若，则 D. 若，则
11.若函数是定义在上的奇函数，，当时，，则( )
A. 函数图象关于直线对称 B.
C. 函数图象关于点中心对称 D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的二项展开式的第二项为 ．
13.已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
14.现有一块长为，宽和高均为的长方体木料，如图所示工人将其切掉一个四棱柱后，用余下的木料拼接成如图所示的几何体已知，，二面角的大小为，则图所示的几何体的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入图是该公司年至年的年份代码和年研发投入单位：亿元的散点图，其中年份代码分别对应年份．
根据散点图，分别用模型，作为年研发投入单位：亿元关于年份代码的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图所示的残差图结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值：
表中，．
根据残差图，判断模型和模型哪一个更适宜作为年研发投入单位：亿元关于年份代码的经验回归方程模型？并说明理由；
根据中所选模型，求出关于的经验回归方程；
设该科技公司的年利润单位：亿元和年研发投入单位：亿元满足且，问该科技公司哪一年的年利润最大？
附：对于一组数据，，，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
16.本小题分
已知为等差数列，前项和为，是首项为的等比数列，且公比大于，，，
求数列和的通项公式
求数列的前项和
17.本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，分别为，的中点．
求与平面所成角的正弦值；
线段的延长线上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
18.本小题分
已知双曲线的右焦点的坐标为，双曲线的一条渐近线方程为．
求双曲线的标准方程；
记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，，点在第一象限，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．
19.本小题分
已知函数
讨论函数的单调性
若函数的极大值为．
求实数的值；
令，实数求证：有两个极小值点，，且
答案
1.
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15.解：根据图可知，模型的残差波动性很大，说明拟合关系较差；
模型的残差波动性很小，基本分布在的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型更适宜．
设，所以，
所以，，
所以关于的经验回归方程为
由题设可得，
当取对称轴即，即时，年利润有最大值，
故该公司年的年利润最大．
16.解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由已知，得，而，所以，
又因为，解得，所以；
由，可得，
由，可得，
联立，解得，，由此可得；
所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为；
设数列的前项和为，
由，，有，
故，
，
上述两式相减，得
，
得．
所以数列的前项和为．
17.解：因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ， ，
又，
因为 ，所以 ．
以为原点，、、为 轴正方向建系，如图所示，
则 ，
所以 ，
设平面的法向量 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，所以 ，
设 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值 ．
假设存在点，设 ，则 ，
所以 ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
所以 ，
整理得 ，解得 或 ，
所以 或 舍，
所以存在点使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ，且 ．
18.
解：由题可知，，，又，可解得，，
故双曲线的标准方程为：．
证明：
由知，，．
显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，
设，，由，消去得，
若直线与双曲线交于两点，则，，
由韦达定理，可得，
直线的斜率，直线的斜率，
，即为定值．
利用双曲线的焦点坐标和渐近线求出，的值，从而得到双曲线方程；
联立直线方程和双曲线方程，通过韦达定理得到相关点的坐标关系，再根据直线斜率公式证明为定值．
本题主要考查双曲线的性质及标准方程，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
19.解：因为函数的定义域为，
所以，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，令，可得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
因为函数的极大值为，由知，
此时函数的极大值为，
所以，解得；
证明：，
则，
可知的定义域为，
构造，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，则，
且当趋近于或时，趋近于，
可知在内值域为，
令，可得，则，
且，令，解得，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
由的单调性和值域可知关于的方程有个不同的实数根，，不妨设，
因为，，则有：
当时，则，可知在内单调递减；
当时，则，可知在内单调递增；
当时，则，可知在内单调递减；
当时，则，可知在内单调递增；
所以有两个极小值点，，
又因为，
则，，
所以．