河北省唐山市2025-2026学年上学期期末高三数学试卷（含答案）

2025—2026学年度高三年级第一学期期末考试
数 学
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则
A. B.
C. D.
2.若复数满足，则
A. B.
C. D.
3.函数在区间上的零点个数为
A.2 B.3 C.4 D.5
4.下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是
A. B.
C. D.
5.已知，分别为椭圆、，为椭圆上一点，
若，，则的离心率为
A. B.
6.在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，则点到
轴距离的最大值为
A. B.
7. 在中，，，，点在边上（不含端点），延长到，若，且，则线段的长度是
A. B.
C. D.
8. 已知，则，，的大小关系不可能为
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。
9. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，点到的距离为，则下列说法正确的有
A.
B. 准线方程为
C. 轴
D.
10. 已知圆台的上、下底面半径分别为和，母线长为，则
A. 圆台的侧面积为
B. 圆台的母线与底面所成角的正切值为
C. 圆台的体积为
D. 圆台的外接球表面积为
11. 在中，内角，，的对边分别是，，，若，，且，点，分别是边，上的动点（不含端点），则下列说法正确的有
A.
B.
C.
D. 若，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知等比数列的前项和为，且公比为，则 = ______。
13. 已知直线是曲线的一条切线，则 = ______。
14. 记，，，，为，，，，的任意排列，，则所有取值中最小值为 ______；的取值为偶数的概率为 ______。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知等差数列的前项和为，且，。
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和。
16.（15分）
如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，，，。
（1）证明：平面平面；
（2）为的中点，求平面与平面夹角的余弦值。
17.（15分）
已知函数存在两个极值点，，记，。
（1）若，求的值；
（2）若曲线上存在点，使得，求的取值范围。
18.(17分)
已知双曲线 过点 ，且上焦点为 ，直线 交 于 ， 两点。
（1） 求 的方程。
（2） 弦 的中点坐标能否为 ？若能，求此时直线 的方程；若不能，请说明理由。
（3） 若直线 的方程为 ，过 ， 作直线 的垂线，垂足分别为 ，。点 为线段 的中点，判断四边形 的形状，并给出证明。
19.(17分)
为测试甲、乙两种新药的疗效，现进行动物试验，试验方案如下：共进行 场试验，，每场包含若干轮对比试验，每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验。对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药。一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药在该场胜出。当一种药物胜出的场数超过半数，则认为该药有效。为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分。假设甲、乙两种药的治愈率分别为0.8和0.5。
（1） 一轮试验中甲药得分记为 ，求 的分布列。
（2） 记甲、乙两种新药在每场试验开始时都赋予4分， 表示“甲药的累计得分为 时，最终认为该场甲药胜出”的概率。则 ，，
，
其中 ，，。
（Ⅰ） 求 ；
（Ⅱ） 记 为每场甲药胜出的概率，现拟增加两场试验，试分析能否提高甲药有效的概率？
2025－2026学年度高三年级第一学期期末考试
数学参考答案
一、选择题（单选）：
1～4.CBAC 5～8.BDBA
二、选择题（多选）：
9.ABD 10.AD 11.ABC
三、填空题：
12.16 13.4 14. ，（第一空2分；第二空3分）
四、解答题：（若有其他解法，请参照给分）
15. 解：
（1）设等差数列的首项为，公差为，
由得，；2分
又，解得，，4分
则数列的通项公式为。6分
（2）因为，
所以， ①
。 ② 8分
①－②得
，10分
，12分
，
所以数列的前项和。 13分
16. 解：
（1）因为底面为矩形，所以。1分
又因为，，，所以。
因为，，满足，所以。3分
又因为，，平面，
所以 平面 ． 5分
又因为 平面 ，所以平面 平面 ． 6分
（2）以 为坐标原点，， 所在直线的方向分别为 ， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
则 ，，，，，
，
，，
，． 8分
设平面 的一个法向量为 ，
平面 的一个法向量为 ，则
即 所以 ； 10分
即 所以 ． 12分
设平面 与平面 的夹角为 ，则
，， 14分
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ． 15分
17. 解：
(1) ， 1分
当 时，不符合题意，故 ． 2分
令 解得 ，，
此时 ，， 4分
由 解得 ． 6分
（2） 因为 ，，
所以点 在 的中垂线 上． 8分
又 在曲线 上，则方程 存在正数解，
即 在 存在零点． 10分
在 上单调递减且 ，
故 在 单调递增， 单调递减． 12分
因为 ，由零点存在定理可知，
只需 即可，得 ． 14分
所以 的取值范围为 ． 15分
18.解：
（1）由题意得，， …………………………………………………………… 2分
将代入得，
解得，， ……………………………………………………………………… 4分
所以的方程为。 …………………………………………………………… 5分
（2）不存在. ………………………………………………………………………… 6分
理由：设，，则
，得，
化简整理，得， ………………………………………… 7分
所以直线的方程为，即. ③ ……………………………… 9分
检验：③与联立可得，故这样的直线不存在. ……………………………… 10分
（3）四边形为梯形. ………………………………………………………………… 11分
证明：由得，，
由韦达定理，得，. ④ ………………………………………… 12分
由，且，
可得
，（*） ………………………………………………………… 14分
将④代入（*）式分子得
，
所以，即. ……………………………………………………………… 16分
又因为与不平行，所以四边形为梯形. ………………………………………… 17分
19. 解：
（1） 的所有可能取值为 ，，。
， 1分
， 2分
。 3分
所以 的分布列为
5分
（2）（ⅰ）由（1）可知 ，
故
即 。 7分
又因为 ，
则 是公比为 ，首项为 的等比数列。 9分
。
由于 ，故 ， 11分
所以 。
12分
（ⅱ）由题意知每场试验甲药胜出的概率为 ，
设 场中甲药有效的概率为 ；增加两场甲药有效的概率为 ，则：
①当 场中甲胜出 场的概率为 ，
增加两场甲药有效的概率为 ； 13分
②当 场中甲胜出 场的概率为 ，
增加两场甲药有效的概率为 ； 14分
③当 场中甲至少胜出 场的概率为 ，
增加两场甲药一定有效。
所以 ，整理
得 ， 16分
又 ，故 ，故能够提高甲药有效的概率。 17分