【2026中考人教数学二轮复习（讲本）】50 题型突破三 几何探究题 课件 (共124张PPT)

2026中考人教数学一轮复习 新考向情景题 讲解课件
2026中考人教数学一轮复习 考点突破 分层讲练
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题型三　几何探究题
分层精讲本
2026湖北数学
类型一　与折叠有关的探究
(省卷：2024.23)
1. (2024省卷23题)在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将
矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点
为点G，PG交BC于点H.
(1)如图①，求证：△DEP∽△CPH；
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，∴∠DPE＋∠DEP＝90°，
由折叠的性质，得∠EPH＝∠A＝90°，
∴∠DPE＋∠CPH＝90°，∴∠CPH＝∠DEP，
∴△DEP∽△CPH；
点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应
点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H.
(2)如图②，当P为CD的中点，AB＝2，AD＝3时，求GH的长；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠D＝90°，
∵P为CD的中点，
∴DP＝CP＝???????? CD＝1，
根据折叠的性质，得EP＝AE，PG＝AB，
?
∴设EP＝AE＝x，
则ED＝AD－AE＝3－x，
在Rt△EDP中，EP2＝ED2＋DP2，
即x2＝(3－x)2＋1，解得x＝???????? ，
∴EP＝AE＝???????? ，ED＝???????? ，
由(1)知△DEP∽△CPH，
∴???????????????? ＝???????????????? ，即???????????? ＝???????????????? ，
解得PH＝???????? ，
∵PG＝AB＝2，∴GH＝PG－PH＝???????? ；
?
点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应
点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H.
(3)如图③，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与
AB的数量关系，并说明理由.
(3)解：AB＝???? BG，理由如下：
如解图，延长AB，PG交于点M，连接AP，
由折叠的性质，得AP⊥EF，BG⊥直线EF，
∴BG∥AP，
∵AE＝EP，∴∠EAP＝∠EPA，
∴∠BAP＝∠GPA，∴△MAP是等腰三角形，
∴MA＝MP，
?
解图
∵P为CD的中点，∴设DP＝CP＝y，
∴AB＝PG＝CD＝2y，
∵H为BC的中点，∴BH＝CH，
∵∠BHM＝∠CHP，∠CBM＝∠C，
∴△MBH≌△PCH(ASA)，
∴BM＝CP＝y，HM＝HP，
∴MP＝MA＝MB＋AB＝3y，
∴HP＝???????? PM＝???????? y，
?
解图
在Rt△PCH中，CH＝????????????????????????? ＝???????? y，
∴BC＝2CH＝???? y，∴AD＝BC＝???? y，
在Rt△APD中，AP＝????????????＋???????????? ＝???? y，
∵BG∥AP，∴△BMG∽△AMP，
∴???????????????? ＝???????????????? ＝???????? ，∴BG＝???????? AP＝???????? y，
∴???????????????? ＝???????????????????? ＝???? ，∴AB＝???? BG.
?
解图
2. (2025孝感模拟)已知正方形ABCD，点E为AD上一点，将正方形
ABCD沿BE折叠，点A落在点F处.延长EF与CD交于点G，连接BG.
(1)如图①，求证：BG平分∠CBF；
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠C＝90°，
∵△ABE沿BE折叠得到△FBE，
∴∠ABE＝∠FBE，BF＝AB，∠BFE＝90°，
∴BF＝BC，∠BFG＝∠C＝90°，
又∵BG＝BG，∴Rt△BFG≌Rt△BCG(HL)，
∴∠GBF＝∠CBG，即BG平分∠CBF；
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点E为AD上一点，将正方形ABCD沿BE折叠，点A落在点F处.延长
EF与CD交于点G，连接BG.
(2)连接AC，与BE交于点H，与BG交于点K，连接EK.
①如图②，请探究△BEK的形状，并说明理由；
(2)解：①△BEK的形状为等腰直角三角形，理由如下：
由(1)知BG平分∠CBF，∠ABE＝∠FBE，
∴∠EBG＝∠EBF＋∠GBF＝???????? ∠ABC＝45°，
∴∠EBG＝∠CAD＝45°，
∴A，B，K，E四点共圆，
∵∠BAK＝45°，
∴∠BEK＝∠BAK＝45°，
∴△BEK的形状为等腰直角三角形；
?
点E为AD上一点，将正方形ABCD沿BE折叠，点A落在点F处.延长
EF与CD交于点G，连接BG.
(2)连接AC，与BE交于点H，与BG交于点K，连接EK.
②如图③，若点E为AD的中点，请直接写出AH∶HK∶CK的值.
解：②AH∶HK∶CK＝4∶5∶3.
【解法提示】根据题意，得BC＝2AE，由AE∥BC，得???????????????? ＝???????????????? ＝????????????????
＝???????? ，设BC＝AB＝a，则AE＝???????? a，AC＝???? a，在Rt△ABE中，由勾
股定理，得BE＝????????????＋???????????? ＝???????? a，∴AH＝???????? AC＝???????? a，EH＝???????? BE
＝???????? a，BH＝???????? BE＝???????? a，由①知∠BEK＝∠BAK＝45°，
又∵∠AHB＝∠EHK，∴△AHB∽△EHK，则???????????????? ＝???????????????? ，
∴HK＝???????????????? a，CK＝AC－AH－HK＝???????? a，
∴AH∶HK∶CK＝4∶5∶3.
?
3. (2025恩施州模拟)如图，将矩形ABCD沿对角线BD翻折，点A落在点
A'处，A'D交BC于点E，点F在CD上，连接EF，且CE＝4CF.
(1)如图①，△BDE是 三角形；
等腰　
【解法提示】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，由折叠的性质，得∠ADB＝
∠BDE，∴∠DBC＝∠BDE，∴BE＝DE，
∴△BDE是等腰三角形.
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将矩形ABCD沿对角线BD翻折，点A落在点A'处，A'D交BC于点E，
点F在CD上，连接EF，且CE＝4CF.
(2)若∠DEF＝45°，求???????????????? 的值；
?
解：(2)如解图①，过点F作FM⊥DE于点M，
∵∠DEF＝45°，∴EF＝???? FM，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，
∵CE＝4CF，∴设CF＝a，则CE＝4a，
∴EF＝???????? a，∴MF＝???????????? a，
?
解图①
∵∠C＝90°，FM⊥DE，
∴ sin ∠MDF＝???????????????? ＝???????????????? ，
设DF＝x，
∴???????????????????? ＝???????????????? ，∴DE＝???????????????????? x，
∴在Rt△DEC中，DE2＝CE2＋CD2，
即(???????????????????? x)2＝(4a)2＋(x＋a)2，
?
解图①
解得x＝???????????? a或x＝－???????????? a(舍去)，
∴DF＝???????????? a，
∴CD＝DF＋CF＝???????????? a＋a＝???????????? a，
∴???????????????? ＝???????????????????????? ＝???????? ；
?
解图①
将矩形ABCD沿对角线BD翻折，点A落在点A'处，A'D交BC于点E，点F在CD上，连接EF，且CE＝4CF.
(3)如图②，在(2)的条件下，点G在BD上，且不与B，D两点重合，连接EG并延长到点H，使得EH＝BE，连接BH，DH，将△BDH沿DH翻折，点B的对应点B'恰好落在EH的延长线上，当BH＝6时，求GH的长.
解：(3)如解图②，过点E作EN⊥BH于点N，
由折叠的性质，得∠B'＝∠HBD，∠B'DH＝
∠BDH，
∴∠DHE＝∠B'＋∠B'DH＝∠HBD＋∠BDH，
∵BE＝EH＝DE，
∴∠DHE＝∠EDH＝∠BDE＋∠BDH，
∴∠HBD＝∠BDE，∴BH∥DE，
∴∠HBE＝∠DEC，
∵∠BNE＝∠C＝90°，BE＝DE，
解图②
∴△BNE≌△ECD(AAS)，∴BN＝CE，
∵BE＝EH，EN⊥BH，BH＝6，
∴CE＝BN＝NH＝3，
由(2)得CD＝???????? CE，则CD＝5，
∴EH＝DE＝????????????＋???????????? ＝????????＋???????? ＝???????? ，
∵∠HBD＝∠BDE，∠HGB＝∠DGE，
∴△DEG∽△BHG，
∴???????????????? ＝???????????????? ，∴???????????? ＝????????????????????????? ＝????????????????????????? ，∴GH＝18???????? －102.
?
解图②
4. 在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC，D是AC的中点，E
在AB边上运动，连接DE，将△ADE沿着DE折叠得到△FDE，点A的
对应点为F，其中DF交AB于点G，连接AF，BF.
(1)如图①，当∠ADF＝90°时，求证：DG＝FG；
(1)证明：∵∠ADF＝∠ABC＝90°，∠CAB＝∠GAD，
∴△ABC∽△ADG，
∵AB＝2BC，∴AD＝2DG，
∵△ADE沿着DE折叠得到△FDE，
∴AD＝DF，∴DF＝2DG，∴DG＝FG；
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将△ADE沿着DE折叠得到△FDE，点A的对应点为F，其中DF交AB于点G，连接AF，BF.
(2)如图②，当∠AEF＝90°时，用等式表示线段DG与BF之间的数量关系，并证明；
(2)解：BF＝2???? DG，证明如下：
如解图①，过点D分别作AB，DE的垂线，
分别交AB于点M，N，连接DB，
∵AB＝2BC，∠AMD＝∠ABC＝90°，
∠DAM＝∠CAB，
∴△AMD∽△ABC，∴AM＝2DM，
?
解图①
∵∠AEF＝90°，
∴由折叠可知∠AED＝∠FED＝???????? ×(360°－90°)＝135°，
∴∠DEM＝45°，∴△DEM为等腰直角三角形，
∴DM＝EM，
∵AM＝2DM，∴AE＝EM＝DM，
由折叠可知AE＝EF，
∴EF＝DM，
∵∠FEG＝∠DMG＝90°，∠EGF＝∠MGD，
∴△FEG≌△DMG，∴FG＝DG，
?
解图①
∵DN⊥DE，DM⊥AB，
∴△DEN为等腰直角三角形，
∴DE＝DN，DM＝EM＝NM，
∵AE＝EM＝DM，
∴AE＝EM＝NM＝DM，
∴AN＝3DM，
∵D为AC的中点，DM⊥AB，CB⊥AB，
∴DM是△ABC的中位线，
∴BC＝2DM，
解图①
∵AB＝2BC，
∴AB＝4DM，
∴BN＝DM＝EF，
∵在Rt△ABC中，DB为斜边的中线，
∴DB＝DA，
由折叠可知DA＝DF，
∴DB＝DF，
∴△DEF≌△DNB，
∴∠EDF＝∠NDB，
解图①
∵∠EDF＋∠FDN＝90°，
∴∠NDB＋∠FDN＝90°，即∠FDB＝90°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BF＝???? DF，
∵DF＝2DG，
∴BF＝2???? DG；
?
解图①
将△ADE沿着DE折叠得到△FDE，点A的对应点为F，其中DF交AB
于点G，连接AF，BF.
(3)在点E的运动过程中，当AE＝1，AD＝???? 时，过点G作GQ⊥BF于
点Q，连接EQ，请直接写出∠FEQ的度数.
?
备用图
(3)解：∠FEQ＝45°.
【解法提示】如解图②，过点D作DP⊥AB于点P，∵∠DPA＝∠CBA
＝90°，∠DAP＝∠CAB，∴△ADP∽△ACB，
∵AB＝2BC，∴AP＝2DP，∴DP∶AP∶AD＝1∶2∶???? ，
∵AD＝???? ，∴DP＝1，AP＝2，
∵AE＝1，∴DP＝AE＝EP＝1，∴△DEP为等腰直角三角形，
∠DEP＝45°，∴∠AED＝135°，
∴由折叠的性质可知∠FED＝∠AED＝135°，
∴∠FEP＝90°，∴∠FEP＝∠DPA，由折叠的性质
可知AE＝EF，∴DP＝EF，
?
解图②
∵∠EGF＝∠DGP，∴△FEG≌△DPG，∴EG＝PG，FE＝DP＝AE＝EP＝1，∴EG＝PG＝???????? ，
∵DP⊥AB，CB⊥AB，∴DP∥CB，
∵D为AC的中点，∴DP为△ABC的中位线，∴AB＝2AP＝4，
∴BG＝???????? ，∴S△BFG＝???????? BG·FE＝???????? ，
在Rt△BEF中，FE＝1，BE＝AB－AE＝3，
∴BF＝????????????＋???????????? ＝???????? ，
∴S△BFG＝???????? BF·GQ＝???????? ×???????? ·GQ＝???????? ，解得GQ＝???????????? ，
?
解图②
∵∠BEF＝∠BQG＝90°，∠EBF＝∠QBG，∴△BEF∽△BQG，∴???????????????? ＝???????????????? ，即???????????? ＝???????????????? ，解得BQ＝???????????????? ，∴FQ＝BF－BQ＝???????? －???????????????? ＝???????????? ＝GQ，∴∠FGQ＝45°，
∵∠FEG＝∠FQG＝90°，
∴E，F，Q，G四点共圆，
∴∠FEQ＝∠FGQ＝45°.
?
解图②
类型二　与旋转有关的探究
(省卷：2025.23)
5. (2025省卷23题)在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得
到△DEC，点A的对应点D落在边AB上，连接BE.
(1)如图①，求证：△BCE∽△ACD；
(1)证明：由旋转的性质得AC＝DC，CB＝CE，
∠ACD＝∠BCE，
∴???????????????? ＝???????????????? ，
∴△BCE∽△ACD；
?
∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D落在
边AB上，连接BE.
(2) 如图②，当BC＝2，AC＝1时，求BE的长；
一题多解法
解法一：由(1)得AC＝DC，∵BC＝2，AC＝1，∠ACB＝90°，
∴AC＝CD＝1，AB＝????????????＋???????????? ＝???? ，∠A＋∠ABC＝90°，
∴DE＝AB＝???? ，
由(1)得△BCE∽△ACD，
∴∠A＝∠CBE，∴???????????????? ＝???????????????? ＝2，
?
∴∠A＋∠ABC＝∠CBE＋∠ABC＝90°，即∠ABE＝90°，
设AD＝x，则BE＝2x，BD＝AB－AD＝???? －x，
?
在Rt△BDE中，BD2＋BE2＝DE2，
即(?????????)???? ＋(2x)2＝(????)???? ，
?
解得x＝0(舍去)或x＝???????????? ，
∴2x＝???????????? ，即BE＝???????????? ；
?
解法二：由(1)得AC＝DC，∵BC＝2，AC＝1，∠ACB＝90°，
∴AC＝CD＝1，AB＝????????????＋???????????? ＝???? ，tanA＝???????????????? ＝2，
?
如解图①，过点D作DH⊥AC于点H，
∴CH＝AC－AH＝1－AH，tanA＝???????????????? ＝2，
∴DH＝2AH，
?
∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D落在
边AB上，连接BE.
(2) 如图②，当BC＝2，AC＝1时，求BE的长；
一题多解法
解图①
在Rt△CDH中，CH2＋DH2＝CD2，
即(1－AH)2＋(2AH)2＝12，
解得AH＝???????? 或AH＝0(舍去)，
∴DH＝???????? ，
在Rt△ADH中，由勾股定理得AD＝????????????＋???????????? ＝???????????? ，
由(1)得△BCE∽△ACD，
∴???????????????? ＝???????????????? ，即???????????????????? ＝???????? ，∴BE＝???????????? ；
?
解图①
∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D落在
边AB上，连接BE.
(3)如图③，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F，过点B作AC的
平行线交EF于点G，DE与BC交于点K.
①求证：AC＝CF；
证明：设旋转角为α，则∠ACD＝∠BCE＝α，
由(1)得AC＝DC，CB＝CE，
∴∠CDA＝∠A＝????????????°?∠???????????????? ＝90°－???????? α，∠CEB＝∠CBE＝????????????°?∠???????????????? ＝90°－???????? α，
?
∵∠ACB＝90°，∴∠BCF＝90°，∠DCB＝90°－α，
∴∠ECF＝90°－α，∴∠DCB＝∠ECF，
∵GF∥AB，∴∠F＋∠A＝180°，
∵∠CDA＋∠CDB＝180°，∠CDA＝∠A，
∴∠CDB＝∠F，∴△BCD≌△ECF，
∴CD＝CF，
∵CD＝AC，∴AC＝CF；
∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D落在
边AB上，连接BE.
(3)如图③，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F，过点B作AC的
平行线交EF于点G，DE与BC交于点K.
②当???????????????? ＝???????? 时，直接写出???????????????? 的值.
?
②解：???????????????? ＝???????????? .
?
【解法提示】∵GF∥AB，BG∥AF，∴四边形ABGF是平行四边形，由①得AC＝CF，∵???????????????? ＝???????? ，
∴设BA＝GF＝5k(k＞0)，则FA＝GB＝
6k，AC＝CF＝3k，∵∠ACB＝90°，∴BC＝4k，如解图②，延长GF交BC的延长线于点H，易得△ACB≌△FCH，∴BC＝HC＝4k，
AB＝FH＝5k，
又∵BD∥EH，△KDB∽△KEH，∴???????????????? ＝???????????????? ，
?
解图②
由①得△BCD≌△ECF，∴∠CBD＝∠CEF，BD＝EF，∴HE＝FH＋EF＝FH＋BD，GE＝GF－EF＝BA－BD，∴???????????????? ＝????????????????＋???????? ＝????????????????＋???????? ，故欲求???????????????? 的值只需求BD与k的关系，由①得∠CEB＝
∠CBE，∴∠CEF＋∠CEB＝∠CBD＋∠CBE，即∠BEF＝∠EBD，又∵GF∥BA，∴∠BEF＋∠EBD＝180°，∴∠BEF＝∠EBD＝90°，即BE⊥GF，BE⊥AB，设BD＝EF＝a，
?
解图②
在Rt△EBD中，BE2＝DE2－BD2，由旋转得DE＝
BA，∴BE2＝BA2－BD2，在Rt△EBG中，BE2＝
GB2－GE2，∴BA2－BD2＝GB2－(BA－BD)2，即
(5k)2－a2＝(6k)2－(5k－a)2，解得a＝???????? k，
∴BD＝???????? k.∴???????????????? ＝????????????????＋???????? ＝???????????? .
?
解图②
6. 【知识背景】
如图①，在△ABC与△CDE中，∠ABC＝∠CED＝90°，∠BAC＝
30°，连接AD，F为AD的中点，连接BE，BF，EF.
(1)当点D在边BC上，点E在边AC上时，求证：△BEF是等边三角形；
(1)证明：∵F是AD的中点，∠ABC＝∠CED＝90°，
∴BF＝EF＝AF＝FD，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BFD＋∠EFD＝2(∠BAF＋∠EAF)＝2∠BAC＝60°，
∴△BEF是等边三角形；
【理解探究】
(2)如图②，将图①中的△DEC绕点C按逆时针方向旋转，使点D落在AC
边上，判断(1)中的结论是否仍然成立，并说明理由；
(2)解：成立，理由如下：
如解图①，延长EF到点G，使GF
＝EF，连接AG，BG，
∵F为AD的中点，
∴FA＝FD，
解图①
又∵∠GFA＝∠EFD，∴△GAF≌△EDF(SAS)，
∴AG＝DE，∠GAF＝∠EDF，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB＝???? BC，∠BCA＝60°，
由旋转的性质得∠DCE＝∠ACB＝60°，
∵∠CED＝90°，∴DE＝???? CE，
∴AG＝DE＝???? CE，∠BCE＝∠ACB＋∠DCE＝120°，
∴???????????????? ＝???????????????? ＝???? ，
?
解图①
∵∠GAF＝∠EDF＝∠DEC＋∠DCE＝150°，
∴∠BAG＝∠GAF－∠BAC＝120°，
∴∠BAG＝∠BCE，∴△GAB∽△ECB，
∴∠GBA＝∠EBC，???????????????? ＝???????????????? ＝???? ，
∴∠GBA＋∠ABE＝∠EBC＋∠ABE，
即∠GBE＝∠ABC＝90°，
∵CF＝EF，∴BF＝EF＝???????? EG，
在Rt△BGE中，tan∠BEG＝???????????????? ＝???? ，
∴∠BEG＝60°，∴△BEF是等边三角形；
?
解图①
【拓展应用】
(3)如图③，将图①中的△DEC绕点C按逆时针方向旋转，使点D落在线
段AE上，若CE＝2，???????????????? ＝???????? ，求线段BF的长.
?
(3)解：如解图②，延长EF到点H，使HF＝
EF，连接BH，
由(2)知，在Rt△DEC中，∠DCE＝60°，
∴∠CDE＝30°，
∵CE＝2，∴CD＝4，DE＝2???? .
∵???????????????? ＝???????? ，∴BC＝5，
?
解图②
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝5???? ，AC＝10，
∴在Rt△AEC中，由勾股定理，得AE＝
????????????????????????? ＝4???? ，
∵FH＝FE，F为AD的中点，
∴AF＝DF，
∴AH＝DE＝2???? ，
∴???????????????? ＝???????????????? ＝???? ，
?
解图②
∵∠BAH＝180°－∠BAC－∠CAE＝150°－
∠CAE，∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝∠ACB＋
∠DCE＋∠CDE－∠CAE＝150°－∠CAE，
∴∠BAH＝∠BCE，∴△HAB∽△ECB，
∴∠HBA＝∠EBC，
∴∠HBA＋∠ABE＝∠EBC＋∠ABE，即
∠HBE＝∠ABC＝90°，
∵EH＝AE＋AH＝4???? ＋2???? ，
∴BF＝???????? EH＝2???? ＋???? .
?
解图②
7. (2025襄阳模拟)如图，在正方形ABCD中，将△ABD绕点B顺时针旋
转(旋转角小于90°)得到△EBF，点A与点E对应，点D与点F对应，连
接DE，CF.
(1)如图①，求证：DE＝CF；
(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵△ABD绕点B顺时针旋转(旋转角小于90°)得到△EBF，点A与点E对应，点D与点F对应，
∴AB＝EB，BD＝BF，∠ABD＝∠EBF＝45°，
∴BE＝BC，∠EBD＋∠DBF＝∠CBF＋∠DBF＝45°，
∴∠EBD＝∠CBF，
在△BED和△BCF中，&????????＝???????? &∠????????????＝∠????????????&????????＝???????? ，
∴△BED≌△BCF(SAS)，
∴DE＝CF；
?
在正方形ABCD中，将△ABD绕点B顺时针旋转(旋转角小于90°)得到
△EBF，点A与点E对应，点D与点F对应，连接DE，CF.
(2)如图②，O是BD的中点，连接OE，求证：DE＝???? OE；
?
(2)证明：由(1)得AB＝EB，设正方形ABCD的边长为x，则BE＝AB＝
x，BD＝???? x，
∵O是BD的中点，∴OB＝???????? BD＝???????? x，
∴OB·BD＝x2＝BE2，∴???????????????? ＝???????????????? ，
∵∠OBE＝∠EBD，∴△BOE∽△BED，
∴???????????????? ＝???????????????? ＝???????? ，∴DE＝???? OE；
?
在正方形ABCD中，将△ABD绕点B顺时针旋转(旋转角小于90°)得到
△EBF，点A与点E对应，点D与点F对应，连接DE，CF.
(3)如图③，当△ABD旋转到BF∥DE时，若CF＝2，求AB的长.
(3)解：如解图，过点F作FG⊥BC交BC延长线于点G，则∠G＝90°，
由(1)得BD＝BF，
在正方形ABCD中，∠BDC＝45°，
∠BCD＝90°，AB＝BC，
∴∠DCG＝90°，
∵BF∥DE，∴∠BDE＝∠DBF，
解图
由(1)知△BED≌△BCF，
∴∠BDE＝∠BFC，∴∠DBF＝∠BFC，
∴BD∥CF，
∴∠FCD＝∠BDC＝45°，
∴∠FCG＝∠DCG－∠FCD＝45°，
∴∠FCG＝∠CFG＝45°，
∴CG＝FG，
∵CG2＋FG2＝CF2＝22，
∴CG＝FG＝???? ，
?
解图
设正方形ABCD的边长为y，则AB＝BC＝y，BF＝BD＝???? y，
∴BG＝BC＋CG＝y＋???? ，
?
在Rt△BGF中，由勾股定理得BG2＋FG2＝BF2，
∴(????＋????)???? ＋(????)???? ＝(????????)???? ，
?
解得y1＝???? ＋???? ，y2＝???? －???? (舍去)，
∴AB＝???? ＋???? .
?
解图
8. (2025襄阳模拟)综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动.
在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得
到矩形AEFG(点E不与点B重合)，其中E，F分别是点B，C的对应点.
(1)如图①，连接DG，BE，则???????????????? 的值为?　???????? 　；
?
???????? 　
?
【解法提示】由旋转的性质知AD＝AG＝6，AB＝AE＝8，∠DAG＝∠BAE，∴???????????????? ＝???????????????? ＝???????? ＝???????? ，∴△DAG∽△BAE，∴???????????????? ＝???????????????? ＝???????? .
?
(2)如图②，当点E恰好落在边CD上，连接BG交AE于点O，连接BE.
①DE的长度为 ?；
2???? 　
?
【解法提示】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AB＝AE＝8，
∵AD＝6，∴DE＝????????????????????????? ＝2???? .
?
将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AEFG(点E不与点B重合)，其
中E，F分别是点B，C的对应点.
②求证：OG＝OB；
证明：如解图①，过点B作BM⊥AE于点M，
由旋转可知，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CEB，
∴∠CEB＝∠AEB，∴EB平分∠AEC，
解图①
又∵∠C＝90°，BM⊥AE，
∴BC＝BM，
由旋转可知，
AG＝AD＝BC，
∴AG＝BM，
∵∠GAO＝∠BMO＝90°，
∠AOG＝∠MOB，
∴△AOG≌△MOB(AAS)，
∴OG＝OB；
解图①
将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AEFG(点E不与点B重合)，其
中E，F分别是点B，C的对应点.
(3)若直线EB，DG交于点H，当BE＝8时，请直接写出BH的长.
备用图
解：(3)BH的长为3???? －4或3???? ＋4.
?
【解法提示】由旋转得AD＝AG，AB＝AE，∠DAG＝∠BAE，∴∠ADG＝∠AGD＝∠ABE＝∠AEB，
∵∠ABE＋∠ABH＝180°，∴∠ADH＋∠ABH＝180°，在四边形ADHB中，∠DAB＝90°，∴∠DHB＝90°，
∵AB＝AE＝BE＝8，∴△ABE为等边三角形，同理△ADG为等边三角形，如解图②，令DH与BC的交点为I，
∴∠IDC＝30°，∠DIC＝∠BIH＝60°，
∴CI＝???????????? ，BI＝6－???????????? ，
∴BH＝BI· sin 60°＝3???? －4，如解图③，
同理可得BH＝3???? ＋4，
综上所述，BH的长为3???? －4或3???? ＋4.
?
解图②
解图③
类型三　与动点有关的探究
9. (2025襄阳模拟)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一动点，
且???????????????? ＝n(n为正整数)，在直线BC上方作△ADE，∠ADE＝90°，???????????????? ＝
n，连接BE.
?
(1)如图①，在点D运动过程中，求证：△ACD∽△ABE；
(1)证明：∵???????????????? ＝n，???????????????? ＝n，
∴???????????????? ＝???????????????? ，∴???????????????? ＝???????????????? ，
∵∠ACB＝∠ADE＝90°，
∴△ACB∽△ADE，
∴∠CAB＝∠DAE，???????????????? ＝???????????????? ，
∴???????????????? ＝???????????????? ，∠CAB－∠BAD＝∠DAE－∠BAD，
∴∠CAD＝∠BAE，∴△ACD∽△ABE；
?
D为BC边上一动点，且???????????????? ＝n(n为正整数)，在直线BC上方作△ADE，∠ADE＝90°，???????????????? ＝n，连接BE.
(2)如图②，若AC＝1，n＝2，M为AB中点，当点E在射线CM上时，求CD的长；
?
(2)解：如解图①，过点C作CG⊥AB于点G，则
∠AGC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACG＋∠BAC＝∠ABC＋∠BAC＝90°，
∴∠ACG＝∠ABC＝90°－∠BAC，
解图①
∵AC＝1，???????????????? ＝n，∴BC＝nAC＝n，
∵n＝2，∴BC＝2，
∴AB＝????????????＋???????????? ＝????????＋???????? ＝???? ，
∵M为AB中点，∴AM＝BM＝???????? AB＝???????? ，
∵???????????????? ＝ sin ∠ACG＝ sin ∠ABC＝???????????????? ＝???????? ＝
???????? ，???????????????? ＝ cos ∠ACG＝ cos ∠ABC＝???????????????? ＝???????? ＝???????????? ，
∴AG＝???????? AC＝???????? ×1＝???????? ，CG＝???????????? AC＝???????????? ×1＝???????????? ，
?
解图①
∴MG＝AM－AG＝???????? －???????? ＝???????????????? ，
由(1)得△ACD∽△ABE，
∴∠ACD＝∠ABE＝∠MGC＝90°，???????????????? ＝???????????????? ，
∵∠BME＝∠GMC，
∴???????????????? ＝tan∠BME＝tan∠GMC＝???????????????? ＝???????? ，
∴???????????????? ＝???????????????????? ＝????????×???? ＝???????? ，∴???????????????? ＝???????????????? ＝???????? ，
∴CD＝???????? AC＝???????? ，∴CD的长是???????? ；
?
解图①
D为BC边上一动点，且???????????????? ＝n(n为正整数)，在直线BC上方作△ADE，
∠ADE＝90°，???????????????? ＝n，连接BE.
(3)如图③，若n＝2，AE∥BC，AB与CE交于点F，试探究线段AF与
BF之间的数量关系，并说明理由.
?
(3)解：4AF＝5BF，
理由如下：如解图②，过B作BH⊥AE于点H，
∴∠AHB＝90°，
∵AE∥BC，
∴∠ACB＋∠CAE＝180°，∠ABC＝
∠BAH，
∴∠ACB＝∠CAE＝∠AHB＝90°，
∴四边形ACBH是矩形，∴AC＝BH，BC＝AH，
解图②
∵???????????????? ＝n，n＝2，∴BC＝2AC，
设AC＝BH＝a，则BC＝AH＝2a，
由(1)得△ACD∽△ABE，
∴∠ACD＝∠ABE＝90°，
∴∠ABH＋∠HBE＝∠ABH＋∠BAH＝90°，
∴∠HBE＝∠BAH＝∠ABC，
∴tan∠ABC＝???????? ＝tan∠HBE＝???????????????? ，∴???????????? ＝???????? ，
?
解图②
∴HE＝???????? a，
∴AE＝AH＋HE＝2a＋???????? a＝???????? a，
∵AE∥BC，
∴△AFE∽△BFC，
∴???????????????? ＝???????????????? ＝???????????????????? ＝???????? ，即4AF＝5BF.
?
解图②
10. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，P是边AD上的动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，连接BD，与PQ交于点E，取DE的中点F，连接AF，PF，FQ.
(1)如图①，连接AQ，求证：△AFQ是等腰直角三角形；
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠ADB＝∠CBD＝45°，
∵PQ∥AB. ∴∠DPE＝∠PQB＝90°，AP＝BQ，
∴△BEQ和△DEP是等腰直角三角形，
∴AP＝BQ＝QE，PE＝PD，∠QEF＝135°.
∵F是DE的中点，∴PF＝EF，PF⊥DE，∠DPF＝45°，
∴∠APF＝180°－45°＝135°，∴∠APF＝∠QEF.
在△APF和△QEF中，&????????＝???????? &∠????????????＝∠????????????，&????????＝????????
∴△APF≌△QEF(SAS)，∴AF＝QF，∠AFP＝∠QFE.
∵∠AFP＋∠AFB＝90°，
∴∠QFE＋∠AFB＝90°，即∠AFQ＝90°，
∴FQ⊥AF，∴△AFQ是等腰直角三角形；
?
在边长为6的正方形ABCD中，P是边AD上的动点，过点P作PQ∥AB
交BC于点Q，连接BD，与PQ交于点E，取DE的中点F，连接AF，
PF，FQ.
(2)如图②，延长AF交CD于点G，连接QG.
①试判断线段BQ，DG与QG的数量关系，
并证明你的结论；
(2)解：①BQ＋DG＝QG.
证明如下：
如解图，连接AQ，将△ADG绕点A顺时针旋转
90°得到△ABH，
则AH＝AG，BH＝DG，∠HAB＝∠GAD，
∠ABH＝∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝90°，∴∠ABC＋∠ABH＝180°，
∴Q，B，H三点共线.
由(1)知△AFQ是等腰直角三角形，∴∠QAF＝45°，
解图
∴∠QAB＋∠GAD＝90°－45°＝45°，
∴∠HAQ＝∠QAB＋∠HAB＝∠QAB＋∠GAD＝45°，
∴∠QAH＝∠QAG.
在△AQH和△AQG中，&????????＝???????? &∠????????????＝∠????????????，&????????＝????????
∴△AQH≌△AQG(SAS)，∴HQ＝GQ.
∵HQ＝HB＋BQ＝DG＋BQ，∴BQ＋DG＝QG；
?
解图
在边长为6的正方形ABCD中，P是边AD上的动点，过点P作PQ∥AB
交BC于点Q，连接BD，与PQ交于点E，取DE的中点F，连接AF，
PF，FQ.
(2)如图②，延长AF交CD于点G，连接QG.
②当点P是AD的三等分点时，求线段FG的长.
解：②分情况讨论：
(ⅰ)当AP＝???????? PD时，
∵AD＝6，
∴AP＝BQ＝2，PD＝CQ＝4.
?
由(2)①知BQ＋DG＝QG，
设DG＝x，则CG＝6－x，QG＝2＋x，
在Rt△CGQ中，由勾股定理，得CG2＋CQ2＝QG2，即(6－x)2＋42＝
(2＋x)2，
解得x＝3，即DG＝3，
∴AG＝????????????＋???????????? ＝3???? .
∵AB∥CD，∴△ABF∽△GDF，∴???????????????? ＝???????????????? ，
即???????? ＝????????????????????????? ，解得FG＝???? ；
?
(ⅱ)当AP＝2PD时，则AP＝4，PD＝CQ＝2，
由(2)①知BQ＋DG＝QG，设DG＝y，则CG＝6－y，QG＝4＋y，
在Rt△CGQ中，由勾股定理，得(6－y)2＋22＝(4＋y)2，
解得y＝???????? ，即DG＝???????? ，∴AG＝????????????＋???????????? ＝???????????????? .
∵AB∥CD，∴△ABF∽△GDF，
∴???????????????? ＝???????????????? ，即???????????? ＝????????????????????????????????? ，
解得FG＝???????????? .综上所述，FG的长为???? 或???????????? .
?
11. (2025甘肃省卷)四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一动点(点D
除外)，△EFG是直角三角形，EG＝EF，点G在CD的延长线上.
(1)如图①，当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出BF和DG的数
量关系，并说明理由；
解：(1)BF＝DG. 理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠CDA＝90°，
∴∠FBA＝∠GDA＝90°.
∵EF＝EG，点E与点A重合，∴AF＝AG，
∴Rt△FBA≌Rt△GDA(HL)，∴BF＝DG；
点E是边AD上一动点(点D除外)，△EFG是直角三角形，EG＝EF，点
G在CD的延长线上.
(2)如图②，当点E与点A不重合，且点F在正方形ABCD内部时，FE的
延长线与BA的延长线交于点P，如果EF＝EP，写出AE和DG的数量关
系，并说明理由；
解：(2)AE＝DG. 理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠CDA＝90°，
∴∠EAP＝∠GDE＝90°.
∵△EFG是直角三角形，EG＝EF，
∴∠GEF＝90°，
∴∠GEP＝90°，
∴∠AEP＋∠GED＝∠DGE＋∠GED＝90°，
即∠AEP＝∠DGE.
又∵EP＝EF，
∴EP＝EG.
∴△EAP≌△GDE(AAS)，
∴AE＝DG；
点E是边AD上一动点(点D除外)，△EFG是直角三角形，EG＝EF，点
G在CD的延长线上.
(3)如图③，在(2)的条件下，连接BF，写出BF和DG的数量关系，并说
明理由.
解：(3)BF＝???? DG. 理由如下：
如解图，过点F作FH⊥AB于点H，
∵EA⊥AB，∴EA∥FH，∴???????????????? ＝???????????????? .
∵PE＝EF，∴PA＝AH，
∴EA是△PFH的中位线，∴FH＝2EA.
?
解图
由(2)知，△EAP≌△GDE，AE＝DG，
∴FH＝2DG，AP＝DE，
∴DE＝AH，
又∵AD＝AB，
∴AD－DE＝AB－AH，
∴EA＝HB＝DG，
∴在Rt△FHB中，BF＝????????????＋???????????? ＝
(????????????)????＋???????????? ＝???? DG，即BF＝???? DG.
?
解图
12. 在?ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，P为射线CD上的动
点(点P不与点D重合)，连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E.
(1)如图①，当P为线段CD的中点时，求证：PA＝PE；
(1)证明：如解图①，连接PB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵AD＝BD，
∴BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C＝45°，
∴∠DBC＝90°，
解图①
∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝90°，
∵P是CD的中点，∴BP＝PD＝PC，BP⊥CD，
∴∠PBD＝45°，∴∠PDA＝∠PBE＝135°，
∵EP⊥AP，∴∠APE＝90°＝∠DPB，
∴∠DPB－∠BPA＝∠APE－∠BPA，
即∠DPA＝∠BPE，
在△PAD和△PEB中，&∠????????????＝∠????????????&????????＝???????? &∠????????????＝∠???????????? ，
?
∴△PAD≌△PEB(ASA)，∴PA＝PE；
解图①
∠C＝45°，AD＝BD，P为射线CD上的动点(点P不与点D重合)，连
接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E.
(2)如图②，当点P在CD的延长线上时，试猜想PA和PE的数量关系，并
说明理由；
(2)解：PA＝PE. 理由如下：
如解图②，过点P作PQ⊥PD交AD于点Q，则∠QPD＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠ADP＝∠C＝45°，
∴∠PQD＝∠PDQ＝45°，
∴PD＝PQ，∠AQP＝135°，
解图②
由(1)知∠DBC＝90°，
∴∠QDB＝∠DBC＝90°，
∴∠EDP＝∠QDB＋∠PDQ＝135°，∴∠AQP＝∠EDP，
∵EP⊥AP，∴∠APE＝90°，
∵∠QPD＝90°，
∴∠APE－∠QPE＝∠QPD－∠QPE，
即∠APQ＝∠EPD，
在△AQP和△EDP中，&∠????????????＝∠????????????&????????＝???????? &∠????????????＝∠???????????? ，
?
∴△AQP≌△EDP(ASA)，∴PA＝PE；
解图②
∠C＝45°，AD＝BD，P为射线CD上的动点(点P不与点D重合)，连
接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E.
(3)点P在射线CD上运动，若AD＝3???? ，AP＝5，求线段BE的长.
?
(3)解：如解图③，解图④，过点A作AM⊥CD交CD的延长线于点M，
过点P作CD的垂线交直线BD于点F，
易得∠MDA＝∠C＝45°，
解图③
解图④
在Rt△ADM中，DM＝AM＝???????? AD＝3，
∵AP＝5，
∴在Rt△APM中，PM＝????????????????????????? ＝????????????????? ＝4，
∵PF⊥CD，EP⊥AP，∴∠DPF＝∠APE＝90°，
∴∠DPA＝∠FPE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠C＝45°，AD＝BC，
?
解图③
解图④
又∵AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA＝∠C＝∠CDB＝45°，
∴∠ADB＝∠DBC＝∠FPD＝90°，
∴∠PFD＝∠PDF＝45°，
∴PD＝PF，∠PDA＝∠PFE，
∴△ADP≌△EFP(ASA)，∴AD＝EF，
在Rt△FDP中，∠PDF＝45°，
∴DF＝???? DP，
?
解图③
解图④
分类讨论：分点P在线段CD上和点P在CD的延长线上两种情况
①当点P在线段CD上时，如解图③，
∴DP＝PM－DM＝4－3＝1，
∵AD＝3???? ，
?
∴DE＝DF＋EF＝???? DP＋AD＝???? ×1＋3???? ＝4???? ，
?
∵BD＝AD＝3???? ，
?
∴BE＝DE－BD＝4???? －3???? ＝???? ；
?
解图③
②当点P在CD的延长线上时，如解图④，
∴DP＝PM＋DM＝4＋3＝7，
∵AD＝3???? ，
?
∴DE＝DF－EF＝???? DP－AD
＝???? ×7－3???? ＝4???? ，
?
∵BD＝AD＝3???? ，
?
∴BE＝DE＋BD＝4???? ＋3???? ＝7???? .
?
综上所述，线段BE的长为???? 或7???? .
?
解图④
拓展类型　新考法“课题活动”综合与实践
13. 综合与实践
三等分角是古希腊三大几何问题之一.贾老师受到教材材料中借助
“鲁班尺”三等分直角方法的启发，联想是否可以通过折叠矩形纸片
三等分一个直角、锐角或钝角.于是贾老师带领综合与实践小组完成
了以下探究任务.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}探究
活动
一
折出一个直角的三等分线.
如图①，折叠纸片，使AD与BC重合，展开后得到折痕
EF. 沿过点A的直线折叠纸片，使点B落在折痕EF上，展
开后得到折痕AM，点B，E的对应点分别为点B'，E'，
连接AB'，BB'，BE'.
观察图①中的∠1，∠2和∠3，
试猜想这三个角的大小关系，
并说明理由；
图①
探究活动一：
解：∠1＝∠2＝∠3，理由如下：
由折叠的性质，得AB＝AB'，EF垂直平分AB，
∴AB'＝BB'，AE＝BE，
∴△ABB'是等边三角形.点E'是AB'的中点，
∴∠1＝∠2＝30°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，∴∠3＝90°－60°＝30°，
∴∠1＝∠2＝∠3；
图①
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}探究
活动
二
折出一个锐角的三等分线.
如图②，先在AD上任取一点N，连接BN，使∠NBC是一
个锐角，再在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重
合，展开后得到折痕EF. 再折叠纸片，使点B，P分别落
在EF，BN上，展开后得到折痕l，点A，B，P的对应点
分别为A'，B'，P'，连接BB'；
(1)试猜想图②中△BB'P'的形状，
并说明理由；
图②
探究活动二：
(1)解：△BB'P'是等腰三角形，理由如下：
如解图①，设折痕EF与直线l交于点O，延长BO
交B'P'于点Q，
由折叠的性质，得∠ABB'＝∠P'B'B，EF垂直平
分PB，直线l垂直平分BB'，∴OB＝OB'，
∴∠OBB'＝∠OB'B.
∵BB'＝BB'，∴△EBB'≌△QB'B(ASA)，
∴∠B'QB＝∠BEB'＝90°，QB'＝EB.
解图①
∵PB＝P'B'，点E是BP的中点，
∴点Q是B'P'的中点，
∴BQ垂直平分B'P'，
∴BB'＝BP'，
∴△BB'P'是等腰三角形；
解图①
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}探究
活动
二
折出一个锐角的三等分线.
如图②，先在AD上任取一点N，连接BN，使∠NBC是一
个锐角，再在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重
合，展开后得到折痕EF. 再折叠纸片，使点B，P分别落
在EF，BN上，展开后得到折痕l，点A，B，P的对应点
分别为A'，B'，P'，连接BB'；
(2)证明：BB'是∠NBC的一条三等分线；
图②
(2)证明：由(1)得，BQ垂直平分B'P'，
∴∠P'BQ＝∠B'BQ.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.
∵EF垂直平分PB，
∴EF∥BC，∴∠EB'B＝∠B'BC.
∵∠EB'B＝∠OBB'，
∴∠B'BC＝∠OBB'＝∠P'BQ，
∴BB'是∠NBC的一条三等分线；
图②
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}探究
活动
三
折出一个钝角的三等分线.
如图③，先分别在BC，AD上任取一点G，C'(要求：点C'
在点G的左侧)，沿过点G的直线折叠纸片，使点C与点C'
重合，展开后得到折痕GH…
提示：要想折出钝角∠CGC'的三等分线，我们只需折出折
痕GI，使得∠CGI＝???????? ∠CGH.
(1)证明：∠CGI＝???????? ∠C'GC；
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}探究
活动
三
图③
探究活动三：
(1)证明：由折叠的性质，得
∠C'GH＝∠CGH，
即∠CGH＝???????? ∠CGC'，
∵∠CGI＝???????? ∠CGH，
∴∠CGI＝???????? ×???????? ∠CGC'＝???????? ∠C'GC；
?
图③
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}探究
活动
三
折出一个钝角的三等分线.
如图③，先分别在BC，AD上任取一点G，C'(要求：点C'
在点G的左侧)，沿过点G的直线折叠纸片，使点C与点C'
重合，展开后得到折痕GH…
提示：要想折出钝角∠CGC'的三等分线，我们只需折出折
痕GI，使得∠CGI＝???????? ∠CGH.
(2)通过上述探究活动，请你写出探究
活动三中剩余的操作步骤.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}探究
活动
三
图③
(2)解：如解图②，过点G作GJ⊥BC，将纸片
沿GJ对折，使A，B分别落在AD，BC上，在
GJ上取一点K，折叠纸片，使G，K两点重
合，展开得到折痕OP，再折叠纸片，使点G，
K分别落在OP，GH上，对应点分别为G'，
K'，展开得到折痕l'，折痕l'与OP的交点记为
R，连接GR并延长交CD于点I，GI即为所求.
解图②
14. 综合与实践
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}问题
情境
在综合与实践课上，老师将一个正方形纸片ABCD，沿对边
AB，CD的中点所在的直线EF剪开如图①，得到矩形
AE'F'D和矩形EBCF.
图①
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}操作发
现一
如图②，乐学小组将图①中的矩形EBCF进行适当的平移，使
得点E，B分别与AD，E'F的中点重合，若点P是AE上的一
个动点，连接PE'，EF'，过点P作PG⊥PE'，交EF'于点G，
连接E'G，H是E'G的中点，连接EH，并提出以下问题：
①求证：EH＝???????? E'G；
②求证：PE'＝PG；
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}操作发
现一
图②
操作发现一：
①证明：如解图①，连接E'E，由题意得AE'＝EB＝DF'＝FC＝???????? AD，
?
∵四边形AE'F'D和四边形EBCF都是矩形，
∴∠A＝∠AE'F'＝∠ADF'＝∠EBC＝∠DEB＝90°，
∵AE＝DE＝???????? AD，E'B＝BF'＝???????? E'F'，∴AE＝DE＝BE，
?
∴四边形AE'BE和四边形EBF'D都是正方形，
∴∠AEE'＝∠DEF'＝45°，∴∠E'EG＝180°－∠AEE'－∠DEF'＝90°，
∴△E'EG是直角三角形，
又∵H是E'G的中点，∴EH＝???????? E'G；
?
解图①
②证明：∵PG⊥PE'，
∴∠E'PG＝90°，
∴∠E'EG＝∠E'PG＝90°，
∴P，E'，G，E四点共圆，
∴∠PGE'＝∠PEE'＝45°，
∴△PE'G是等腰直角三角形，
∴PE'＝PG；
图②
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}操作发
现二
如图③，勤奋小组将图①中的矩形EBCF向上平移与矩形
AE'F'D重合后，又将矩形EBCF绕点C顺时针旋转使得点B
落在线段AD上，连接E'F交BC于点H，他们通过连接
E'B，过点E'作E'G⊥BC于点G，证得E'H＝FH.
请你按照勤奋小组的思路，
求证：H为E'F的中点；
图③
操作发现二：
证明：由题意得矩形AE'F'D和矩形EBCF全等，
∴∠A＝∠BCF＝90°，AE'＝FC，
AD∥E'C，CE'＝BC，
∴∠BE'C＝∠ABE'，
∠BE'C＝∠E'BC，
∴∠ABE'＝∠E'BC，
又∵∠A＝∠BGE'＝90°，BE'＝BE'，
∴△ABE'≌△GBE'，
图③
∴AE'＝GE'，
∵AE'＝FC，∴GE'＝FC，
∵∠E'GC＝∠BCF＝90°，
∠E'HG＝∠FHC，
∴△E'GH≌△FCH，
∴E'H＝FH，
∴H为E'F的中点；
图③
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}变式
探究
求知小组又发现，将矩形EBCF绕点C继续顺时针旋转使得点
B落在AD的延长线上，然后连接E'F交BC的延长线于点H得
到图④，试判断操作发现二中的结论是否成立？若成立，请写
出证明过程；若不成立，请说明理由.
图④
变式探究：
解：成立.
证明如下：如解图②，过点E'作E'G⊥BH交BH
的延长线于点G，连接BE'，
∴∠E'GH＝90°，
由操作发现二得∠A＝∠BCF＝90°，
AE'＝FC，AD∥E'C，CE'＝BC，
∴∠BE'C＝∠E'BC，∠BE'C＝∠E'BA，
∴∠E'BC＝∠E'BA，∴BE'平分∠ABG，
解图②
又∵AE'⊥AB，E'G⊥BH，
∴AE'＝GE'，
又∵AE'＝CF，∴GE'＝CF，
∵∠G＝∠FCH＝90°，
∠E'HG＝∠FHC，
∴△E'GH≌△FCH，
∴E'H＝FH，
∴H为E'F的中点.
解图②
15. 综合与探究
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}问题
背景
数学活动课上，老师要求同学们以特殊四边形为背景，探究几何
图形运动变化中的数学结论，如图，在?ABCD中，E是BC边
上一点，将四边形沿过点E的直线折叠，点B的对应点为B'.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}猜想
证明
如图①，将?ABCD沿直线AE折叠，点B的对应点B'落在AD边
上，猜想四边形B'ECD也是平行四边形，请你证明这一猜想；

图①
猜想证明：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AEB＝∠B'AE，
由折叠的性质，得∠BAE＝∠B'AE，AB'＝AB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，∴AB'＝BE，
∴AD－AB'＝BC－BE，∴B'D＝EC，
又∵B'D∥EC，∴四边形B'ECD是平行四边形；
图①
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}深入
探究
如图②，当四边形ABCD是菱形时，沿直线EF折叠，点B的对
应点B'落在AD边上，且B'F⊥AC，若∠BAD＝120°，AB＝
6，求CE的长；

图②
深入探究：
解：如解图①，过点A作AM⊥BC于点M，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AB＝BC，AD∥BC，∠BAC＝∠DAC＝60°，
∠B＝180°－∠BAD＝60°.
由折叠的性质，得EB＝EB'，∠EB'F＝∠B＝60°.
∵B'F⊥AC，
∴∠AB'F＝90°－∠DAC＝30°，
∴∠AB'E＝∠AB'F＋∠EB'F＝90°，
解图①
∴EB'⊥AD，
∴EB'＝AM，
∵AM＝AB· sin 60°＝3???? ，
∴EB＝EB'＝AM＝3???? ，
∴CE＝BC－EB＝6－3???? ；
?
解图①
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}拓展
延伸
如图③，当四边形ABCD是边长为6的正方形时，沿直线EF折
叠，点A的对应点为A'，点B的对应点B'恰好落在CD边上，且
DB'＝2CB'，求四边形A'FEB'的面积.

图③
拓展延伸：
解：如解图②，过点F作FG⊥BC于点G，连接BB'交EF于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FGE＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD＝FG＝6，
∴∠EFG＋∠GEF＝90°，由折叠的性质，
得BE＝B'E，BB'⊥EF，A'B'＝AB＝6，
∴∠B'BC＋∠GEF＝90°，
∴∠EFG＋∠GEF＝90°，
∴∠EFG＝∠B'BC，
解图②
∴△EFG≌△B'BC，∴EG＝B'C，
∵DB'＝2CB'，∴EG＝B'C＝2，
在Rt△B'CE中，B'C2＋EC2＝B'E2，
即22＋(6－B'E)2＝B'E2，解得B'E＝???????????? ，
∴BG＝BE－EG＝B'E－EG＝???????? ，
易得四边形ABGF是矩形，
∴A'F＝AF＝BG＝???????? ，
∴S四边形A'FEB'＝???????? (A'F＋B'E)·A'B'＝14.
?
解图②
Thanks!
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