【2026中考人教数学二轮复习（讲本）】52 题型突破五 “项目式学习”综合与实践 课件 (共49张PPT)
文档属性
| 名称 | 【2026中考人教数学二轮复习（讲本）】52 题型突破五 “项目式学习”综合与实践 课件 (共49张PPT) |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-27 00:00:00 | ||
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文档简介
(共49张PPT)
2026中考人教数学一轮复习 新考向情景题 讲解课件
2026中考人教数学一轮复习 考点突破 分层讲练
精讲本 导图梳理 考点精讲 针对训练
题型五 “项目式学习”综合与践
分层精讲本
2026湖北数学
1. (2025山东省卷)
【问题情境】
2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新
篇章.某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部
件使用3D打印完成，如图①.
【问题提出】
部件主视图如图②所示，由于l的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以
得到l的长度的方案，以检测该部件中l的长度是否符合要求.
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法.
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱(圆柱).
操作步骤：如图③，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部
件紧密贴合.示意图如图④，☉O分别与AC，AD相切于点B，D. 用游
标卡尺测量出CC'的长度y.
【问题解决】
已知∠CAD＝∠C'A'D'＝60°，l的长度要求是1.9 cm～2.1 cm.
(1)求∠BAO的度数；
解：(1)∵☉O分别与AC，AD相切于点B，D，
∴∠BAO＝∠DAO＝ ∠CAD＝30°；
已知∠CAD＝∠C'A'D'＝60°，l的长度要求是1.9 cm～2.1 cm.
(2)已知钢柱的底面圆半径为1 cm，现测得y＝7.52 cm.根据以上信息，通
过计算说明该部件l的长度是否符合要求；(参考数据： ≈1.73)
解：(2)∵OB⊥AC，OB＝1 cm，∠BAO＝30°，
∴OA＝2OB＝2 cm，
∴AB＝ ＝ ＝ (cm)，
∴AC＝BC＋AB＝1＋ ≈2.73(cm)，
易得A'C'＝AC，
∴l＝y－2AC≈7.52－2×2.73＝2.06(cm)，
∵1.9＜2.06＜2.1，
∴该部件l的长度符合要求；
【结果反思】
(3)本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将
圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由.
解：(3)能将圆柱换成其他几何体，可以换成正三棱柱.(答案不唯一)
2. (2025长春)数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆.
【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆(即该平面图形上所有的点均
在圆内或圆上)为该平面图形的覆盖圆.其中，能完全覆盖平面图形的最小
的圆(即直径最小)称为该平面图形的最小覆盖圆.
【探究一】线段的最小覆盖圆
线段AB的覆盖圆有无数个，其中，以AB为直径的圆是其最小覆盖圆.
理由如下：易知线段AB的最小覆盖圆一定经过点A，点B. 如图①，以
AB为直径作☉O，再过A，B两点作☉O'(O'与O不重合)，连接O'A，
O'B. 在△O'AB中，有O'A＋O'B＞AB( ▲ ).
∵O'A＝O'B，
∴2O'A＞AB，即☉O'的直径大于☉O的直径.
∴☉O是线段AB的最小覆盖圆.
“▲”处应填写的推理依据为 .
三角形的任意两边之和大于第三边
【探究二】直角三角形的最小覆盖圆
要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线
段的最小覆盖圆问题.这样就可以先确定直角三角形最长边(斜边)的最小
覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的
最小覆盖圆.
如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.
☉O是以AB为直径的圆.
请你判断点C与☉O的位置关系，并说明理由.
又由【探究一】可知，☉O是Rt△ABC最长边AB的最小覆盖圆，所以，
☉O是Rt△ABC的最小覆盖圆.
解：探究二：
点C在☉上，理由如下：
∵∠ACB＝90°，O为AB的中点，
∴OC＝OA＝OB，
∴点C在☉O上；
【拓展应用】矩形的最小覆盖圆
如图③，在矩形ABCD中，AB＝1 cm，BC＝2 cm.
(1)用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形ABCD的最小覆盖圆；(不写做
法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑)
图③
解：如解图①，☉O即为矩形ABCD的最小覆盖圆；
解图①
(2)该矩形ABCD的最小覆盖圆的直径为 cm；
【解法提示】∵在矩形ABCD中，AB＝1 cm，BC＝2 cm，∴∠ABC＝
90°，∴BD＝AC＝ ＝ (cm)，即该矩形ABCD的最小覆盖圆
的直径为 cm.
图③
(3)若用两个等圆完全覆盖矩形ABCD，则这样的两个等圆的最小直径
为 cm.
图③
【解法提示】如解图②，作AD的垂直平分线L J，
交AD于点L，交BC于点J，∴四边形ABJL和四边
形DCJL是两个全等的矩形，∴AL＝DL＝BJ＝
CJ＝1，∵用两个等圆完全覆盖矩形ABCD，
∴两圆一定过点L，J，连接AJ，BL交于点Q，连接
CL，DJ交于点K，∴这样的两个等圆的最小直径
分别为AJ(或BL)，CL(或DJ)，∴两个等圆的最小
直径为 ＝ ；
解图②
如解图③，作AB的垂直平分线分别交AB，CD
于点V，W，此时四边形ADWV和四边形
BCWV是两个全等的矩形，同法作☉Q，☉K，
易得此时两个等圆不是直径最小的两个等圆.综
上所述，用两个等圆完全覆盖矩形ABCD，则这
样的两个等圆的最小直径为 cm.
解图③
3. (2025安徽)综合与实践
【项目主题】
某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园
室内活动场地.
【项目准备】
(1)密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼
接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺.
(2)密铺方式构建：运用密铺知识得到图①、图②所示的两种拼接方式，
其中正六边形和正三角形组件的边长均为20 cm.
(3)密铺规律探究：为方便研究，称图③、图④分别为图①、图②的“拼
接单元”.
观察发现：自左向右拼接图①时，每增加一个图③所示的拼接单元，则
增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加40 cm，从而x个这样的拼接
单元拼成一行的长度为(40x＋10)cm.
自左向右拼接图②时，每增加一个图④所示的拼接单元，则增加 ①
个正六边形和 ② 个正三角形，长度增加 ③ cm，从而y个这样的
拼接单元拼成一行的长度为 ④ cm.
【项目分析】
(1)项目条件：场地为长7.4 m、宽6 m的矩形；正三角形和正六边形组件
的单价分别为1元和5元.
(2)基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用.
(3)方式确定：
(ⅰ)考虑成本因素，采用图①方式进行密铺；
(ⅱ)每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个
正三角形组件按图①所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行
拼接结束；
(ⅲ)第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接
为止.
(4)方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案.
方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接(如图⑤).
图⑤
根据规律，令40x＋10≤600，解得x≤14.75，所以每行可以先拼14块拼
接单元，即共用去14个正六边形和28个正三角形组件，由40×14＋10＝
570知，所拼长度为570 cm，剩余30 cm恰好还可以摆放一个正六边形组
件(如图⑤所示的阴影正六边形).最终需用15个正六边形和28个正三角形
组件，由5×15＋1×28＝103知，方案一每行的成本为103元.
由于每行宽度为20 cm(按 ＝1.73计算)，设拼成s行，则20
s≤740，解得s≤ ≈21.34，故需铺21行.由103×21＝2 163知，方案
一所需的总成本为2 163元.
图⑤
方案二：第一行沿着长度为7.4 m的墙自左向右拼接.
类似于方案一的成本计算，令40x＋10≤740…
方案二每行的成本为 ⑤ 元，总成本为 ⑥ 元.
【项目实施】
根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动(略).
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
⑥ .
1
6
60
(60y＋10)
126
2 142
【解法提示】令40x＋10≤740，解得x≤18.25，∴每行可以先拼18块拼
接单元，由40×18＋10＝730知，所拼长度为730 cm，剩余10 cm，但剩
余10 cm无法继续铺设，∴需用18个正六边形和36个正三角形组件，故每
一行的成本为18×5＋36×1＝126(元)，设拼成s行，则20 s≤600，解
得s≤17.3，取s＝17，∴总成本为126×17＝2 142(元).
4. (2025河北)综合与实践
【情境】要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板(如图①)，
需找到合适的切割线.
【模型】已知矩形ABCD(数据如图②所示).作一条直线MN，使MN与
BC所夹的锐角为45°，且将矩形ABCD分成周长相等的两部分.
【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题.
如图③，嘉嘉的思路如下：
①连接AC，BD交于点O；
②过点O作EF⊥BC，
分别交BC，
AD于点E，F；
…
如图④，淇淇的方法如下：
①在边BC上截取BG＝AB，连接AG；
②作线段GC的垂直平分线l，交BC于点M；
③在边AD上截取AN＝GM，作直线MN.
图④
图③
【探究】根据以上描述，解决下列问题.
(1)图②中，矩形ABCD的周长为 ；
【解法提示】∵四边形ABCD是矩形，AB＝1，AD＝4，∴矩形ABCD
的周长为2(AB＋AD)＝2×(1＋4)＝10.
10
(2)在图③的基础上，用尺规作图作出直线MN(作出一条即可，保留作图
痕迹，不写作法)；
解：(2)如解图①，直线MN即为所求(作法不唯一)；
解图①
【作法提示】如解图①，以点E为圆心，EO长为半径画弧，交BC于点
M，作直线MO，交AD于点N，则直线MN即为所求.
图③
(3)根据淇淇的作图过程，请说明图④中的直线MN符合要求；
解：(3)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AB＝CD.
∵BG＝AB，∴∠AGB＝45°.
∵AN＝MG，
∴四边形AGMN是平行四边形，
∴MN∥AG，
∴∠NMG＝∠AGB＝45°.
∵直线l是线段GC的垂直平分线，
图④
∴GM＝CM，∴GM＝CM＝AN，
∵BM＝BC－CM，DN＝AD－AN，
∴BM＝DN，
∴AN＋AB＋BM＝CM＋CD＋DN，
∴直线MN将矩形ABCD分成了周长相等的两部分，
∴直线MN符合要求；
图④
【拓展】操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题.
(4)如图⑤，若直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，分别交边
AD，BC于点P，Q，过点B作BH⊥PQ于点H，连接CH.
①当∠PQC＝45°时，求tan ∠BCH的值；
图⑤
解：(4)①如解图②，过点H作HG⊥BC于点G，连接AC交PQ于点O，
过点O作OT⊥BC于点T，
∵四边形ABCD是矩形，且直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，
∴∠B＝90°，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴OT∥AB，
∴OT是△ABC的中位线，
∴OT＝ AB＝ ，BT＝CT＝ BC＝2，
∵∠PQC＝45°，
解图②
∴QT＝OT＝ ，∴CQ＝CT＋QT＝2＋ ＝ ，
∴BQ＝BC－CQ＝ ，
∵∠BQH＝∠PQC＝45°，∠BHQ＝90°，
∴△BHQ是等腰直角三角形，
∴HG＝GQ＝ BQ＝ ，∴CG＝CQ＋GQ＝ ，
∴tan∠BCH＝ ＝ ＝ ；
解图②
②当∠BCH最大时，直接写出CH的长.
解：②2 .
【拓展】操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题.
(4)如图⑤，若直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，分别交边
AD，BC于点P，Q，过点B作BH⊥PQ于点H，连接CH.
图⑤
【解法提示】如解图③，连接BD交PQ于点O，取BO的中点L，以点L为圆心，BL为半径作☉L，∵直线PQ将矩形ABCD分成了周长相等的两部分，∴O为BD和PQ的中点.∵BH⊥PQ，∴点H在以BO为直径的☉L上运动，连接LH，CL，当CH与☉L相切时，∠BCH最大.
∵在矩形ABCD中，∠A＝90°，AB＝1，AD＝4，
∴BD＝ ＝ ，
∴BO＝ BD＝ ，
解图③
∴LH＝ BO＝ .过点L作LT⊥BC于点T，∴∠BTL＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴TL∥CD，∴△BLT∽△BDC，∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
∴LT＝ ，BT＝1，∴CT＝BC－BT＝4－1＝3，
∴CL2＝LT2＋CT2＝ ，
∵CH是☉L的切线，∴∠CHL＝90°，
∴CH＝ ＝ ＝2 .
解图③
5. (2024吉林省卷)综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究.第一小组
负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学
知识；第三小组负责汇报和交流.下面是第三小组汇报的部分内容，请你
阅读相关信息，并解答【建立模型】中的问题.
【背景调查】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现
了古人含蓄内敛的审美观.榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳
面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位
置，如图②所示.板凳的结构设计体现了数学的对称美.
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量.设以对称轴为基准向两边各取相同的
长度为x mm，凳面的宽度为y mm，记录如下：
以对称轴为基准向两边 各取相同的长度x/mm 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7
凳面的宽度y/mm 115.5 132 148.5 165 181.5
【分析数据】
如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点.
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题：
(1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由.
解：(1)这些点在同一条直线上，设这条直线所对应的函数解析式为y＝
kx＋b(k≠0)，
将x＝16.5，y＝115.5和x＝23.1，y＝148.5代入，
得 ，解得 ，
∴该直线l的函数解析式为y＝5x＋33，
经检验，其余点均在直线y＝5x＋33上，
∴这些点在同一条直线上，这条直线所对应的函数
解析式为y＝5x＋33；
(2)当凳面宽度为213 mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度
是多少？
解：(2)把y＝213代入y＝5x＋33，
得5x＋33＝213，
解得x＝36，
∴当凳面宽度为213 mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为36
mm.
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine
2026中考人教数学一轮复习 新考向情景题 讲解课件
2026中考人教数学一轮复习 考点突破 分层讲练
精讲本 导图梳理 考点精讲 针对训练
题型五 “项目式学习”综合与践
分层精讲本
2026湖北数学
1. (2025山东省卷)
【问题情境】
2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新
篇章.某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部
件使用3D打印完成，如图①.
【问题提出】
部件主视图如图②所示，由于l的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以
得到l的长度的方案，以检测该部件中l的长度是否符合要求.
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法.
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱(圆柱).
操作步骤：如图③，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部
件紧密贴合.示意图如图④，☉O分别与AC，AD相切于点B，D. 用游
标卡尺测量出CC'的长度y.
【问题解决】
已知∠CAD＝∠C'A'D'＝60°，l的长度要求是1.9 cm～2.1 cm.
(1)求∠BAO的度数；
解：(1)∵☉O分别与AC，AD相切于点B，D，
∴∠BAO＝∠DAO＝ ∠CAD＝30°；
已知∠CAD＝∠C'A'D'＝60°，l的长度要求是1.9 cm～2.1 cm.
(2)已知钢柱的底面圆半径为1 cm，现测得y＝7.52 cm.根据以上信息，通
过计算说明该部件l的长度是否符合要求；(参考数据： ≈1.73)
解：(2)∵OB⊥AC，OB＝1 cm，∠BAO＝30°，
∴OA＝2OB＝2 cm，
∴AB＝ ＝ ＝ (cm)，
∴AC＝BC＋AB＝1＋ ≈2.73(cm)，
易得A'C'＝AC，
∴l＝y－2AC≈7.52－2×2.73＝2.06(cm)，
∵1.9＜2.06＜2.1，
∴该部件l的长度符合要求；
【结果反思】
(3)本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将
圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由.
解：(3)能将圆柱换成其他几何体，可以换成正三棱柱.(答案不唯一)
2. (2025长春)数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆.
【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆(即该平面图形上所有的点均
在圆内或圆上)为该平面图形的覆盖圆.其中，能完全覆盖平面图形的最小
的圆(即直径最小)称为该平面图形的最小覆盖圆.
【探究一】线段的最小覆盖圆
线段AB的覆盖圆有无数个，其中，以AB为直径的圆是其最小覆盖圆.
理由如下：易知线段AB的最小覆盖圆一定经过点A，点B. 如图①，以
AB为直径作☉O，再过A，B两点作☉O'(O'与O不重合)，连接O'A，
O'B. 在△O'AB中，有O'A＋O'B＞AB( ▲ ).
∵O'A＝O'B，
∴2O'A＞AB，即☉O'的直径大于☉O的直径.
∴☉O是线段AB的最小覆盖圆.
“▲”处应填写的推理依据为 .
三角形的任意两边之和大于第三边
【探究二】直角三角形的最小覆盖圆
要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线
段的最小覆盖圆问题.这样就可以先确定直角三角形最长边(斜边)的最小
覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的
最小覆盖圆.
如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.
☉O是以AB为直径的圆.
请你判断点C与☉O的位置关系，并说明理由.
又由【探究一】可知，☉O是Rt△ABC最长边AB的最小覆盖圆，所以，
☉O是Rt△ABC的最小覆盖圆.
解：探究二：
点C在☉上，理由如下：
∵∠ACB＝90°，O为AB的中点，
∴OC＝OA＝OB，
∴点C在☉O上；
【拓展应用】矩形的最小覆盖圆
如图③，在矩形ABCD中，AB＝1 cm，BC＝2 cm.
(1)用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形ABCD的最小覆盖圆；(不写做
法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑)
图③
解：如解图①，☉O即为矩形ABCD的最小覆盖圆；
解图①
(2)该矩形ABCD的最小覆盖圆的直径为 cm；
【解法提示】∵在矩形ABCD中，AB＝1 cm，BC＝2 cm，∴∠ABC＝
90°，∴BD＝AC＝ ＝ (cm)，即该矩形ABCD的最小覆盖圆
的直径为 cm.
图③
(3)若用两个等圆完全覆盖矩形ABCD，则这样的两个等圆的最小直径
为 cm.
图③
【解法提示】如解图②，作AD的垂直平分线L J，
交AD于点L，交BC于点J，∴四边形ABJL和四边
形DCJL是两个全等的矩形，∴AL＝DL＝BJ＝
CJ＝1，∵用两个等圆完全覆盖矩形ABCD，
∴两圆一定过点L，J，连接AJ，BL交于点Q，连接
CL，DJ交于点K，∴这样的两个等圆的最小直径
分别为AJ(或BL)，CL(或DJ)，∴两个等圆的最小
直径为 ＝ ；
解图②
如解图③，作AB的垂直平分线分别交AB，CD
于点V，W，此时四边形ADWV和四边形
BCWV是两个全等的矩形，同法作☉Q，☉K，
易得此时两个等圆不是直径最小的两个等圆.综
上所述，用两个等圆完全覆盖矩形ABCD，则这
样的两个等圆的最小直径为 cm.
解图③
3. (2025安徽)综合与实践
【项目主题】
某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园
室内活动场地.
【项目准备】
(1)密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼
接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺.
(2)密铺方式构建：运用密铺知识得到图①、图②所示的两种拼接方式，
其中正六边形和正三角形组件的边长均为20 cm.
(3)密铺规律探究：为方便研究，称图③、图④分别为图①、图②的“拼
接单元”.
观察发现：自左向右拼接图①时，每增加一个图③所示的拼接单元，则
增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加40 cm，从而x个这样的拼接
单元拼成一行的长度为(40x＋10)cm.
自左向右拼接图②时，每增加一个图④所示的拼接单元，则增加 ①
个正六边形和 ② 个正三角形，长度增加 ③ cm，从而y个这样的
拼接单元拼成一行的长度为 ④ cm.
【项目分析】
(1)项目条件：场地为长7.4 m、宽6 m的矩形；正三角形和正六边形组件
的单价分别为1元和5元.
(2)基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用.
(3)方式确定：
(ⅰ)考虑成本因素，采用图①方式进行密铺；
(ⅱ)每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六边形与两个
正三角形组件按图①所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行
拼接结束；
(ⅲ)第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能拼接
为止.
(4)方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案.
方案一：第一行沿着长度为6 m的墙自左向右拼接(如图⑤).
图⑤
根据规律，令40x＋10≤600，解得x≤14.75，所以每行可以先拼14块拼
接单元，即共用去14个正六边形和28个正三角形组件，由40×14＋10＝
570知，所拼长度为570 cm，剩余30 cm恰好还可以摆放一个正六边形组
件(如图⑤所示的阴影正六边形).最终需用15个正六边形和28个正三角形
组件，由5×15＋1×28＝103知，方案一每行的成本为103元.
由于每行宽度为20 cm(按 ＝1.73计算)，设拼成s行，则20
s≤740，解得s≤ ≈21.34，故需铺21行.由103×21＝2 163知，方案
一所需的总成本为2 163元.
图⑤
方案二：第一行沿着长度为7.4 m的墙自左向右拼接.
类似于方案一的成本计算，令40x＋10≤740…
方案二每行的成本为 ⑤ 元，总成本为 ⑥ 元.
【项目实施】
根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动(略).
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
⑥ .
1
6
60
(60y＋10)
126
2 142
【解法提示】令40x＋10≤740，解得x≤18.25，∴每行可以先拼18块拼
接单元，由40×18＋10＝730知，所拼长度为730 cm，剩余10 cm，但剩
余10 cm无法继续铺设，∴需用18个正六边形和36个正三角形组件，故每
一行的成本为18×5＋36×1＝126(元)，设拼成s行，则20 s≤600，解
得s≤17.3，取s＝17，∴总成本为126×17＝2 142(元).
4. (2025河北)综合与实践
【情境】要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板(如图①)，
需找到合适的切割线.
【模型】已知矩形ABCD(数据如图②所示).作一条直线MN，使MN与
BC所夹的锐角为45°，且将矩形ABCD分成周长相等的两部分.
【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题.
如图③，嘉嘉的思路如下：
①连接AC，BD交于点O；
②过点O作EF⊥BC，
分别交BC，
AD于点E，F；
…
如图④，淇淇的方法如下：
①在边BC上截取BG＝AB，连接AG；
②作线段GC的垂直平分线l，交BC于点M；
③在边AD上截取AN＝GM，作直线MN.
图④
图③
【探究】根据以上描述，解决下列问题.
(1)图②中，矩形ABCD的周长为 ；
【解法提示】∵四边形ABCD是矩形，AB＝1，AD＝4，∴矩形ABCD
的周长为2(AB＋AD)＝2×(1＋4)＝10.
10
(2)在图③的基础上，用尺规作图作出直线MN(作出一条即可，保留作图
痕迹，不写作法)；
解：(2)如解图①，直线MN即为所求(作法不唯一)；
解图①
【作法提示】如解图①，以点E为圆心，EO长为半径画弧，交BC于点
M，作直线MO，交AD于点N，则直线MN即为所求.
图③
(3)根据淇淇的作图过程，请说明图④中的直线MN符合要求；
解：(3)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，BC＝AD，AB＝CD.
∵BG＝AB，∴∠AGB＝45°.
∵AN＝MG，
∴四边形AGMN是平行四边形，
∴MN∥AG，
∴∠NMG＝∠AGB＝45°.
∵直线l是线段GC的垂直平分线，
图④
∴GM＝CM，∴GM＝CM＝AN，
∵BM＝BC－CM，DN＝AD－AN，
∴BM＝DN，
∴AN＋AB＋BM＝CM＋CD＋DN，
∴直线MN将矩形ABCD分成了周长相等的两部分，
∴直线MN符合要求；
图④
【拓展】操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题.
(4)如图⑤，若直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，分别交边
AD，BC于点P，Q，过点B作BH⊥PQ于点H，连接CH.
①当∠PQC＝45°时，求tan ∠BCH的值；
图⑤
解：(4)①如解图②，过点H作HG⊥BC于点G，连接AC交PQ于点O，
过点O作OT⊥BC于点T，
∵四边形ABCD是矩形，且直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，
∴∠B＝90°，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴OT∥AB，
∴OT是△ABC的中位线，
∴OT＝ AB＝ ，BT＝CT＝ BC＝2，
∵∠PQC＝45°，
解图②
∴QT＝OT＝ ，∴CQ＝CT＋QT＝2＋ ＝ ，
∴BQ＝BC－CQ＝ ，
∵∠BQH＝∠PQC＝45°，∠BHQ＝90°，
∴△BHQ是等腰直角三角形，
∴HG＝GQ＝ BQ＝ ，∴CG＝CQ＋GQ＝ ，
∴tan∠BCH＝ ＝ ＝ ；
解图②
②当∠BCH最大时，直接写出CH的长.
解：②2 .
【拓展】操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题.
(4)如图⑤，若直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，分别交边
AD，BC于点P，Q，过点B作BH⊥PQ于点H，连接CH.
图⑤
【解法提示】如解图③，连接BD交PQ于点O，取BO的中点L，以点L为圆心，BL为半径作☉L，∵直线PQ将矩形ABCD分成了周长相等的两部分，∴O为BD和PQ的中点.∵BH⊥PQ，∴点H在以BO为直径的☉L上运动，连接LH，CL，当CH与☉L相切时，∠BCH最大.
∵在矩形ABCD中，∠A＝90°，AB＝1，AD＝4，
∴BD＝ ＝ ，
∴BO＝ BD＝ ，
解图③
∴LH＝ BO＝ .过点L作LT⊥BC于点T，∴∠BTL＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴TL∥CD，∴△BLT∽△BDC，∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
∴LT＝ ，BT＝1，∴CT＝BC－BT＝4－1＝3，
∴CL2＝LT2＋CT2＝ ，
∵CH是☉L的切线，∴∠CHL＝90°，
∴CH＝ ＝ ＝2 .
解图③
5. (2024吉林省卷)综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究.第一小组
负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学
知识；第三小组负责汇报和交流.下面是第三小组汇报的部分内容，请你
阅读相关信息，并解答【建立模型】中的问题.
【背景调查】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现
了古人含蓄内敛的审美观.榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳
面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位
置，如图②所示.板凳的结构设计体现了数学的对称美.
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量.设以对称轴为基准向两边各取相同的
长度为x mm，凳面的宽度为y mm，记录如下：
以对称轴为基准向两边 各取相同的长度x/mm 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7
凳面的宽度y/mm 115.5 132 148.5 165 181.5
【分析数据】
如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点.
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题：
(1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由.
解：(1)这些点在同一条直线上，设这条直线所对应的函数解析式为y＝
kx＋b(k≠0)，
将x＝16.5，y＝115.5和x＝23.1，y＝148.5代入，
得 ，解得 ，
∴该直线l的函数解析式为y＝5x＋33，
经检验，其余点均在直线y＝5x＋33上，
∴这些点在同一条直线上，这条直线所对应的函数
解析式为y＝5x＋33；
(2)当凳面宽度为213 mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度
是多少？
解：(2)把y＝213代入y＝5x＋33，
得5x＋33＝213，
解得x＝36，
∴当凳面宽度为213 mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为36
mm.
Thanks!
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