1.2.2 单项式与多项式、多项式与多项式相乘同步练习（含答案）2025-2026学年北师大版数学七年级下册

1.2 整式的乘法
第2课时 单项式与多项式、多项式与多项式相乘
一、选择题
1．计算：2a(a－1)－2a2＝( )
A．a B．－a C．2a D．－2a
2．下列算式计算结果为x2－4x－12的是( )
A．(x＋2)(x－6) B．(x－2)(x＋6) C．(x＋3)(x－4) D．(x－3)(x＋4)
3．若2x(x－2)＝ax2＋bx，则a，b的值为( )
A．a＝1，b＝2 B．a＝2，b＝－2
C．a＝2，b＝4 D．a＝2，b＝－4
4．若x＋m与2－x的乘积中不含x的一次项，则有理数m的值为( )
A．－2 B．2 C．－1 D．1
5．李老师做了一个长方形教具，其中一边长为2a＋b，另一边长为a－b，则该长方形的面积为( )
A．6a＋b B．2a2－ab－b2 C．3a D．10a－b
6．若P＝(x－3)(x－4)，Q＝(x－2)(x－5)，则P与Q的大小关系是( )
A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．由x的取值而定
7．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为3a＋2b，宽为a＋b的长方形，需要B类卡片( )
A．3张 B．4张 C．5张 D．6张
8．下列运算中不正确的是( )
A．3xy－(x2－2xy)＝5xy－x2
B．5x(2x2－y)＝10x3－5xy
C．5mn(2m＋3n－1)＝10m2n＋15mn2－1
D．(ab)2(2ab2－c)＝2a3b4－a2b2c
9．已知x(x－a)＋b(x＋a)＝x2＋5x－6，当x为任意数时该等式都成立，则a(b－1)＋b(a＋1)的值为(　　)
A．17　 　B．－7　　 C．－1　 　D．－17
10．已知9x＝25y＝15，那么代数式(x－1)(y－1)＋xy＋3的值是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．计算：
(1)x(x－2)＝_______________；
(2)(ab2－2ab)·ab＝____________________；
(3)2m2n·(m2＋n－1)＝________________________．
(4)(x＋1)(x＋2)＝__________________；
(5)(a＋3)(2a－1)＝__________________．
12．已知a＋b＝4，ab＝3，则代数式(a＋2)(b＋2)的值是__________．
13．(－2x2)3(x2＋x2y2＋y2)的结果中次数是10的项的系数是________．
14．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如=1+2+3+.+(n-1)+n,(x+k)=(x+3)+(x+4)+…+(x+n).已知[(x＋k＋2)·(x－k－1)]＝4x2＋4x＋m，则m＋n的值是________．
三、解答题
15．计算：
(1)3a3b·(－2ab)＋(－3a2b)2；
(2)(3x＋4)(2x＋1)；
(3)(4x＋3y)(3x－y)；
(4)(－2x＋1)2；
(5)(－1－2x)(2x－1).
16．解方程：
(1)2x(x－1)－x(2x＋3)＝15；
(2)2x(x＋1)－(3x－2)x＝1－x2.
17．先化简，再求值：(1)(－2xy)2(－xy)3－(4x2y－3x)(－x3y4)＋x5y5，其中x＝－1，y＝3.
(2)(x＋2)(x－3)－x(2x－1)，其中x＝2.
18．某居民小区为改善业主的宜居环境，准备在小区内一个长为(4a＋3b)米，宽为(2a＋3b)米的长方形休闲广场上修建宽度均为b米的健身跑道．
(1)如图①，若修建一纵一横的两条健身跑道，求健身跑道的面积共有多少平方米；
(2)如图②，若修建两纵一横的三条健身跑道，且剩余部分的面积为216平方米．当a＝2b时，求b的值．
19．观察以下等式：
(x＋1)(x2－x＋1)＝x3＋1；
(x＋3)(x2－3x＋9)＝x3＋27；
(x＋6)(x2－6x＋36)＝x3＋216；
…
(1)按以上等式的规律，填空：(a＋b)·(________________)＝a3＋b3；
(2)利用多项式的乘法法则，说明(1)中的等式成立；
(3)利用(1)中的公式化简：(x＋y)(x2－xy＋y2)－(x＋2y)(x2－2xy＋4y2).
20．有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题．
例：若x＝6789×6786，y＝6788×6787，试比较x，y的大小．
解：设6788＝a，
则x＝(a＋1)(a－2)＝a2－a－2，y＝a(a－1)＝a2－a.
因为x－y＝(a2－a－2)－(a2－a)＝－2<0，所以x＜y.
问题：若x＝2026×2030－2027×2029，y＝2027×2031－2028×2030，试比较x，y的大小．
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参考答案
1．计算：2a(a－1)－2a2＝( )
A．a B．－a C．2a D．－2a
【答案】D
2．下列算式计算结果为x2－4x－12的是( )
A．(x＋2)(x－6) B．(x－2)(x＋6) C．(x＋3)(x－4) D．(x－3)(x＋4)
【答案】A
3．若2x(x－2)＝ax2＋bx，则a，b的值为( )
A．a＝1，b＝2 B．a＝2，b＝－2
C．a＝2，b＝4 D．a＝2，b＝－4
【答案】D
4．若x＋m与2－x的乘积中不含x的一次项，则有理数m的值为( )
A．－2 B．2 C．－1 D．1
【答案】B
5．李老师做了一个长方形教具，其中一边长为2a＋b，另一边长为a－b，则该长方形的面积为( )
A．6a＋b B．2a2－ab－b2 C．3a D．10a－b
【答案】B
6．若P＝(x－3)(x－4)，Q＝(x－2)(x－5)，则P与Q的大小关系是( )
A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．由x的取值而定
【答案】A
7．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个长为3a＋2b，宽为a＋b的长方形，需要B类卡片( )
A．3张 B．4张 C．5张 D．6张
【答案】C
8．下列运算中不正确的是( )
A．3xy－(x2－2xy)＝5xy－x2
B．5x(2x2－y)＝10x3－5xy
C．5mn(2m＋3n－1)＝10m2n＋15mn2－1
D．(ab)2(2ab2－c)＝2a3b4－a2b2c
【答案】C
9．已知x(x－a)＋b(x＋a)＝x2＋5x－6，当x为任意数时该等式都成立，则a(b－1)＋b(a＋1)的值为(　　)
A．17　 　B．－7　　 C．－1　 　D．－17
【答案】B
10．已知9x＝25y＝15，那么代数式(x－1)(y－1)＋xy＋3的值是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】因为9x＝25y＝15，所以9xy＝15y，25xy＝15x.所以15x＋y＝(9×25)xy＝(3×5)2xy＝152xy.所以x＋y＝2xy.所以(x－1)(y－1)＋xy＋3＝xy－(x＋y)＋1＋xy＋3＝2xy－(x＋y)＋4＝4.
二、填空题
11．计算：
(1)x(x－2)＝_______________；
(2)(ab2－2ab)·ab＝____________________；
(3)2m2n·(m2＋n－1)＝________________________．
(4)(x＋1)(x＋2)＝__________________；
(5)(a＋3)(2a－1)＝__________________．
【答案】x2－2x a2b3－a2b2 2m4n＋2m2n2－2m2n x2＋3x＋2 2a2＋5a－3
12．已知a＋b＝4，ab＝3，则代数式(a＋2)(b＋2)的值是__________．
【答案】15
13．(－2x2)3(x2＋x2y2＋y2)的结果中次数是10的项的系数是________．
【答案】－8
【解析】(－2x2)3(x2＋x2y2＋y2)＝－8x6(x2＋x2y2＋y2)＝－8x8－8x8y2－8x6y2，所以次数是10的项是－8x8y2，其系数是－8.
14．在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如=1+2+3+.+(n-1)+n,(x+k)=(x+3)+(x+4)+…+(x+n).已知[(x＋k＋2)·(x－k－1)]＝4x2＋4x＋m，则m＋n的值是________．
【答案】－99
【解析】因为[(x＋k＋2)·(x－k－1)]＝4x2＋4x＋m，(x＋k＋2)(x－k－1)＝x2＋x－(k＋2)(k＋1)，所以n＝5，所以(x＋2＋2)(x－2－1)＋(x＋3＋2)(x－3－1)＋(x＋4＋2)(x－4－1)＋(x＋5＋2)(x－5－1)＝4x2＋4x＋m，所以x2＋x－12＋x2＋x－20＋x2＋x－30＋x2＋x－42＝4x2＋4x＋m，即4x2＋4x－104＝4x2＋4x＋m，所以m＝－104，所以m＋n＝－104＋5＝－99.
三、解答题
15．计算：
(1)3a3b·(－2ab)＋(－3a2b)2；
解：原式＝－6a4b2＋9a4b2＝3a4b2
(2)(3x＋4)(2x＋1)；
解：原式＝6x2＋11x＋4
(3)(4x＋3y)(3x－y)；
解：原式＝12x2－4xy＋9xy－3y2＝12x2＋5xy－3y2
(4)(－2x＋1)2；
解：原式＝4x2－4x＋1
(5)(－1－2x)(2x－1).
解：原式＝－2x＋1－4x2＋2x＝1－4x2
16．解方程：
(1)2x(x－1)－x(2x＋3)＝15；
解：2x2－2x－2x2－3x＝15，－5x＝15，x＝－3
(2)2x(x＋1)－(3x－2)x＝1－x2.
解：2x2＋2x－3x2＋2x＝1－x2，4x＝1，x＝
17．先化简，再求值：(1)(－2xy)2(－xy)3－(4x2y－3x)(－x3y4)＋x5y5，其中x＝－1，y＝3.
解：原式＝x5y5－3x4y4＝－486
(2)(x＋2)(x－3)－x(2x－1)，其中x＝2.
解：原式＝x2－3x＋2x－6－2x2＋x＝－x2－6.当x＝2时，原式＝－22－6＝－10
18．某居民小区为改善业主的宜居环境，准备在小区内一个长为(4a＋3b)米，宽为(2a＋3b)米的长方形休闲广场上修建宽度均为b米的健身跑道．
(1)如图①，若修建一纵一横的两条健身跑道，求健身跑道的面积共有多少平方米；
解：由题意知，S健身跑道＝b(2a＋3b)＋b(4a＋3b)－b2＝2ab＋3b2＋4ab＋3b2－b2＝(6ab＋5b2)平方米．
(2)如图②，若修建两纵一横的三条健身跑道，且剩余部分的面积为216平方米．当a＝2b时，求b的值．
解：由题意知，S剩余部分＝(4a＋3b)(2a＋3b)－[2b(2a＋3b)＋b(4a＋3b)－2b2]＝8a2＋18ab＋9b2－(4ab＋6b2＋4ab＋3b2－2b2)＝8a2＋18ab＋9b2－8ab－7b2＝(8a2＋10ab＋2b2)平方米．
因为a＝2b，S剩余部分＝216平方米，所以8×(2b)2＋10×2b·b＋2b2＝32b2＋20b2＋2b2＝54b2＝216.所以b2＝4.又因为b>0，所以b＝2.
19．观察以下等式：
(x＋1)(x2－x＋1)＝x3＋1；
(x＋3)(x2－3x＋9)＝x3＋27；
(x＋6)(x2－6x＋36)＝x3＋216；
…
(1)按以上等式的规律，填空：(a＋b)·(________________)＝a3＋b3；
(2)利用多项式的乘法法则，说明(1)中的等式成立；
(3)利用(1)中的公式化简：(x＋y)(x2－xy＋y2)－(x＋2y)(x2－2xy＋4y2).
解：(1)a2－ab＋b2
(2)(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3＝a3＋b3.
(3)原式＝(x3＋y3)－(x3＋8y3)＝－7y3.
20．有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题．
例：若x＝6789×6786，y＝6788×6787，试比较x，y的大小．
解：设6788＝a，
则x＝(a＋1)(a－2)＝a2－a－2，y＝a(a－1)＝a2－a.
因为x－y＝(a2－a－2)－(a2－a)＝－2<0，所以x＜y.
问题：若x＝2026×2030－2027×2029，y＝2027×2031－2028×2030，试比较x，y的大小．
解:设2 026＝a，
则x＝a(a＋4)－(a＋1)(a＋3)＝a2＋4a－(a2＋3a＋a＋3)＝a2＋4a－a2－3a－a－3＝－3，y＝(a＋1)(a＋5)－(a＋2)(a＋4)＝(a2＋5a＋a＋5)－(a2＋4a＋2a＋8)＝a2＋5a＋a＋5－a2－4a－2a－8＝－3.所以x＝y.
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