绥化市中考数学模拟7（含答案）
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绥化市中考数学模拟7
一．选择题
1．﹣2024的倒数是（ ）
A．﹣2024 B．2024 C． D．
2．在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，如果将一个长方形纸条折成如图的形状，那么∠1与∠2的数量关系是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1+∠2＝180° C．∠1＝2∠2 D．∠1＝∠2+90°
5．下列命题中，正确的是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等
C．正五边形的外角和为720° D．直角三角形是轴对称图形
6．若关于x的方程x2﹣2ax+5+2a＝0的两根的平方和为14，则a的值为（ ）
A．3 B．﹣2 C．3或﹣2 D．无法确定
7．某校九年级学生去距学校20km的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，5min后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为x km/h，根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
8．某校篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制作如下表格：对于不同的x，下列统计量中不会发生改变的是（ ）
年龄（岁） 16 15 14 13 12
人数 2 9 8﹣x x 1
A．中位数，众数 B．平均数，方差 C．平均数，中位数 D．众数，方差
9．将矩形纸片OABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，P为BC边上一动点（不与点B，C重合），连接OP，将△OCP折叠，得到△OC′P．经过点P再次折叠纸片，使点B的对应点B′落在直线PC′上，折痕交AB于点E．已知点B（4，3），当四边形PB′EB是正方形时，点E的坐标为（ ）
A．（4，2.5） B．（4，1.5） C．（4，2） D．（4，1）
10．如图，在矩形ABCD中，E，F是边BC上两点，且BE＝EF＝FC，连接DE，AF，DE与AF相交于点G，连接BG．若AB＝4，BC＝6，则sin∠GBF的值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD，垂足为Q．设点P的运动路程为x，PQ﹣DQ为y，y与x的函数图象如图2，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
第4题图 第9题图 第10题图 第11题图
12．如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，AF＝BE，CE，BF交于点H，BF交AC于点M，O为AC的中点，OB交CE于点N，连接OH．下列结论：①BF⊥CE；②BM＝CN；③∠FHO＝45°；④CH﹣BH＝OH，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题
13．2024年1月1日晚，经文化和旅游部数据中心测算，元旦假期3天，全国国内旅游出游约135000000人次．135000000用科学记数法表示为 ．
14．若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
15．因式分解：x3﹣2x2+x＝ ．
16．“五一”期间，光明中学文学社的小明和小亮准备现场感受唐诗文化，现有三个地点可供选择：诗圣杜甫故里，诗魔白居易故里，诗豪刘禹锡故里．小明和小亮分别从中随机选择一个地点，则小明和小亮恰好选中同一个地点的概率为 ．
17．计算：＝ ．
18．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝3．当AD+BC的值最小时，点C的坐标为 ．
19．如图，AB是半圆O的直径，且AB＝10，点P为半圆上一点．将此半圆沿AP所在的直线折叠，若恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
20．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，则＝ ．
21．在矩形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE所在直线折叠后得到△AFE，点B的对应点为点F．延长AF交直线CD于点P，若AB＝2，PD＝1，则AD的长为 ．
22．如图，直线y＝x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A2025的坐标为 ．
第18题图 第19题图 第20题图 第22题图
三．解答题
23．（1）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E，使AE+EP＝AC；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若E在∠ABC的平分线上，猜想∠APE和∠ACB的数量关系并证明．
24．某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查．家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次被抽取的学生人数为 人：
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是 °；
（4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数．
25．2024年，郑州市中招体育考试的总分值提高到100分，考试项目增加至5项，其中技能类考试项目除篮球和足球外增加了排球垫球．某校为更好开展排球课程，计划购买一批排球，郑州市两家体育用品商店分别推出了自己的优惠方案：
A商店：若购买超过20个，超过部分按每个排球标价的八折出售．
B商店：若购买超过15个，超过部分按每个排球标价的九折出售，然后每个再优惠10元．
若用字母x表示购买排球的数量，字母y表示购买排球的价格，其函数图象如图所示．
（1）求每个排球的标价是多少元．
（2）当x＞20时，A商店的应付总价yA与数量x之间的函数关系式为 ；当x＞15时，B商店的应付总价yB与数量x之间的函数关系式为 ．
（3）请求出图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义．
（4）根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更优惠．
26．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，AE⊥OC，垂足为E，BE的延长线交于点F．
（1）求的值；
（2）求证：△AEB∽△BEC；
（3）求证：AD与EF互相平分．
27．【探究】
（1）已知△ABC和△ADE都是等边三角形．
①如图1，当点D在BC上时，连接CE．请探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理由；
②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接CE．请再次探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理由．【运用】
（2）如图3，等边三角形ABC中，AB＝6，点E在AC上，．点D是直线BC上的动点，连接DE，以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF，连接CF．当△CEF为直角三角形时，请直接写出BD的长．
28．已知二次函数y＝﹣x2+c的图象经过点A（﹣2，5），点P（x1，y1），Q（x2，y2）是此二次函数的图象上的两个动点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC，DQ，PQ．若x2＝x1+3，求证：的值为定值；
（3）如图2，点P在第二象限，x2＝﹣2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1﹣1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值．
参考答案
一．选择题
1．C．2．B．3．B．4．C．5．A．6．B．7．D．8．A．9．C．10．A．11．B．12．D．
二．填空题
13．1.35×108．14．x≥﹣1且x≠3．15．x（x﹣1）2．16．．17．．18．（4，1）．
19．π．20．．21．2或2．22．（22024，0）．
三．解答题
23．解：（1）如图，点E即为所求；
（2）结论：∠APE＝∠ACB．
理由：过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N．
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝EN，
在Rt△EMP和Rt△ENC中，
，
∴△EMP≌△ENC（HL），
∴∠EPM＝∠ECN，即∠APE＝∠ACB．
24．解：（1）100；
（2）补全条形统计图略：
（3）36；
（4）1200×＝300（人），
答：估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数大约为300人．
25．解：（1）A商店：购买20个排球的总价为2400元，
∴标价为：2400÷20＝120（元/个）；
B商店：购买15个排球的总价为1800元，
∴标价为：1800÷15＝120（元/个）；
则两个商店排球的标价是一样的，
∴每个排球的标价是120元；
（2）yA＝96x+480；yB＝98x+330；
（3）由图象可知，点M是两个函数图象的交点，此时这两个图象的横、纵坐标分别相等，
则96x+480＝98x+330，
解得：x＝75，
此时y＝96×75+480＝7680，
∴点M的坐标为（75，7680），
∴点M表示的实际意义为当购买75个排球时，在A、B两家商店所付的钱数相同，均为7680元；
（4）观察图象可知：
当0≤x≤15或x＝75时，在A、B两家商店所付的钱数相同；
当15＜x＜75时，选择B商店更合算；
当x＞75时，选择A商店更合算．
26．解：（1）∵AB＝AC，且AB是⊙O的直径，
∴AC＝2AO，
∵∠BAC＝90°，
在Rt△AOC 中，，
∵AE⊥OC，
在Rt△AOE 中，，
∴，
∴；
（2）证明：过点B作 BM∥AE，交EO延长线于点M，如图1，
∴∠BAE＝∠ABM，∠AEO＝∠BMO＝90°．
∵AO＝BO，
∴△AOE≌△BOM（AAS），
∴AE＝BM，OE＝OM，
∵，
∴BM＝2OE＝EM，
∴∠MEB＝∠MBE＝45°，
∠AEB＝∠AEO+∠MEB＝135°，
∠BEC＝180°﹣∠MEB＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABM＝∠CBE，
∴∠BAE＝∠CBE，
∴△AEB∽△BEC；
（3）连接DE，DF．如图2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AFB＝90°，AB＝2AO．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴BC＝2BD，∠DAB＝45°，
由（2）知，△AEB∽△BEC，
，∠EAO＝∠EBD，
∴△AOE∽△BDE，
∴∠BED＝∠AEO＝90°，
∴∠DEF＝90°，
∴∠AFB＝∠DEF，
∴AF∥DE，
由（2）知，∠AEB＝135°，
∴∠AEF＝180°﹣∠AEB＝45°．
∵∠DFB＝∠DAB＝45°，
∴∠DFB＝∠AEF，
∴AE∥FD，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AD与EF互相平分．
27．解：（1）①CE+CD＝CA．理由如下，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，AD＝AE＝DE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE＝BD
∵BD+CD＝BC，
∴CE+CD＝CA．
②CA+CD＝CE．理由如下，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，AD＝AE＝DE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE＝BD，
∵CB+CD＝BD，
∴CA+CD＝CE．
（2）BD的长为6﹣或6+2．
28．（1）解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：5＝﹣4+c，
则c＝9，
即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+9；
（2）证明：令y＝﹣x2+9，则x＝±3，则点B（3，0），
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+3，
设点P、Q、D的表达式分别为：（x1，﹣+9）、（x2，﹣+9）、（x1，﹣x1+3），
则S△PDQ＝PD×（xQ﹣xP）＝（﹣+9+x1﹣3）（x2﹣x1）＝（﹣+x1+6），
同理可得：S△ADC＝CD×（xD﹣xA）＝（﹣+x1+6），
则＝3为定值；
（3）解：点P、Q的表达式分别为：（x1，﹣+9）、（﹣2x1，﹣4+9），
由点P、Q的坐标得，直线PQ的表达式为：y＝x1（x﹣x1）﹣+9＝xx1﹣2+9，
则MN＝yM＝（x1﹣1）x1﹣2+9＝﹣（x1+）2+≤，
故MN的最大值为：．
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绥化市中考数学模拟7
一．选择题
1．﹣2024的倒数是（ ）
A．﹣2024 B．2024 C． D．
2．在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，如果将一个长方形纸条折成如图的形状，那么∠1与∠2的数量关系是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1+∠2＝180° C．∠1＝2∠2 D．∠1＝∠2+90°
5．下列命题中，正确的是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等
C．正五边形的外角和为720° D．直角三角形是轴对称图形
6．若关于x的方程x2﹣2ax+5+2a＝0的两根的平方和为14，则a的值为（ ）
A．3 B．﹣2 C．3或﹣2 D．无法确定
7．某校九年级学生去距学校20km的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发，5min后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为x km/h，根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
8．某校篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制作如下表格：对于不同的x，下列统计量中不会发生改变的是（ ）
年龄（岁） 16 15 14 13 12
人数 2 9 8﹣x x 1
A．中位数，众数 B．平均数，方差 C．平均数，中位数 D．众数，方差
9．将矩形纸片OABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，P为BC边上一动点（不与点B，C重合），连接OP，将△OCP折叠，得到△OC′P．经过点P再次折叠纸片，使点B的对应点B′落在直线PC′上，折痕交AB于点E．已知点B（4，3），当四边形PB′EB是正方形时，点E的坐标为（ ）
A．（4，2.5） B．（4，1.5） C．（4，2） D．（4，1）
10．如图，在矩形ABCD中，E，F是边BC上两点，且BE＝EF＝FC，连接DE，AF，DE与AF相交于点G，连接BG．若AB＝4，BC＝6，则sin∠GBF的值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD，垂足为Q．设点P的运动路程为x，PQ﹣DQ为y，y与x的函数图象如图2，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
第4题图 第9题图 第10题图 第11题图
12．如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，AF＝BE，CE，BF交于点H，BF交AC于点M，O为AC的中点，OB交CE于点N，连接OH．下列结论：①BF⊥CE；②BM＝CN；③∠FHO＝45°；④CH﹣BH＝OH，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题
13．2024年1月1日晚，经文化和旅游部数据中心测算，元旦假期3天，全国国内旅游出游约135000000人次．135000000用科学记数法表示为 ．
14．若代数式有意义，则x的取值范围是 ．
15．因式分解：x3﹣2x2+x＝ ．
16．“五一”期间，光明中学文学社的小明和小亮准备现场感受唐诗文化，现有三个地点可供选择：诗圣杜甫故里，诗魔白居易故里，诗豪刘禹锡故里．小明和小亮分别从中随机选择一个地点，则小明和小亮恰好选中同一个地点的概率为 ．
17．计算：＝ ．
18．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝3．当AD+BC的值最小时，点C的坐标为 ．
19．如图，AB是半圆O的直径，且AB＝10，点P为半圆上一点．将此半圆沿AP所在的直线折叠，若恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
20．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，则＝ ．
21．在矩形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE所在直线折叠后得到△AFE，点B的对应点为点F．延长AF交直线CD于点P，若AB＝2，PD＝1，则AD的长为 ．
22．如图，直线y＝x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A2025的坐标为 ．
第18题图 第19题图 第20题图 第22题图
三．解答题
23．（1）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E，使AE+EP＝AC；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若E在∠ABC的平分线上，猜想∠APE和∠ACB的数量关系并证明．
24．某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查．家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次被抽取的学生人数为 人：
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是 °；
（4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数．
25．2024年，郑州市中招体育考试的总分值提高到100分，考试项目增加至5项，其中技能类考试项目除篮球和足球外增加了排球垫球．某校为更好开展排球课程，计划购买一批排球，郑州市两家体育用品商店分别推出了自己的优惠方案：
A商店：若购买超过20个，超过部分按每个排球标价的八折出售．
B商店：若购买超过15个，超过部分按每个排球标价的九折出售，然后每个再优惠10元．
若用字母x表示购买排球的数量，字母y表示购买排球的价格，其函数图象如图所示．
（1）求每个排球的标价是多少元．
（2）当x＞20时，A商店的应付总价yA与数量x之间的函数关系式为 ；当x＞15时，B商店的应付总价yB与数量x之间的函数关系式为 ．
（3）请求出图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义．
（4）根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更优惠．
26．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，AE⊥OC，垂足为E，BE的延长线交于点F．
（1）求的值；
（2）求证：△AEB∽△BEC；
（3）求证：AD与EF互相平分．
27．【探究】
（1）已知△ABC和△ADE都是等边三角形．
①如图1，当点D在BC上时，连接CE．请探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理由；
②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接CE．请再次探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理由．【运用】
（2）如图3，等边三角形ABC中，AB＝6，点E在AC上，．点D是直线BC上的动点，连接DE，以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF，连接CF．当△CEF为直角三角形时，请直接写出BD的长．
28．已知二次函数y＝﹣x2+c的图象经过点A（﹣2，5），点P（x1，y1），Q（x2，y2）是此二次函数的图象上的两个动点．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC，DQ，PQ．若x2＝x1+3，求证：的值为定值；
（3）如图2，点P在第二象限，x2＝﹣2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1﹣1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值．
参考答案
一．选择题
1．C．2．B．3．B．4．C．5．A．6．B．7．D．8．A．9．C．10．A．11．B．12．D．
二．填空题
13．1.35×108．14．x≥﹣1且x≠3．15．x（x﹣1）2．16．．17．．18．（4，1）．
19．π．20．．21．2或2．22．（22024，0）．
三．解答题
23．解：（1）如图，点E即为所求；
（2）结论：∠APE＝∠ACB．
理由：过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N．
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝EN，
在Rt△EMP和Rt△ENC中，
，
∴△EMP≌△ENC（HL），
∴∠EPM＝∠ECN，即∠APE＝∠ACB．
24．解：（1）100；
（2）补全条形统计图略：
（3）36；
（4）1200×＝300（人），
答：估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数大约为300人．
25．解：（1）A商店：购买20个排球的总价为2400元，
∴标价为：2400÷20＝120（元/个）；
B商店：购买15个排球的总价为1800元，
∴标价为：1800÷15＝120（元/个）；
则两个商店排球的标价是一样的，
∴每个排球的标价是120元；
（2）yA＝96x+480；yB＝98x+330；
（3）由图象可知，点M是两个函数图象的交点，此时这两个图象的横、纵坐标分别相等，
则96x+480＝98x+330，
解得：x＝75，
此时y＝96×75+480＝7680，
∴点M的坐标为（75，7680），
∴点M表示的实际意义为当购买75个排球时，在A、B两家商店所付的钱数相同，均为7680元；
（4）观察图象可知：
当0≤x≤15或x＝75时，在A、B两家商店所付的钱数相同；
当15＜x＜75时，选择B商店更合算；
当x＞75时，选择A商店更合算．
26．解：（1）∵AB＝AC，且AB是⊙O的直径，
∴AC＝2AO，
∵∠BAC＝90°，
在Rt△AOC 中，，
∵AE⊥OC，
在Rt△AOE 中，，
∴，
∴；
（2）证明：过点B作 BM∥AE，交EO延长线于点M，如图1，
∴∠BAE＝∠ABM，∠AEO＝∠BMO＝90°．
∵AO＝BO，
∴△AOE≌△BOM（AAS），
∴AE＝BM，OE＝OM，
∵，
∴BM＝2OE＝EM，
∴∠MEB＝∠MBE＝45°，
∠AEB＝∠AEO+∠MEB＝135°，
∠BEC＝180°﹣∠MEB＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABM＝∠CBE，
∴∠BAE＝∠CBE，
∴△AEB∽△BEC；
（3）连接DE，DF．如图2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AFB＝90°，AB＝2AO．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴BC＝2BD，∠DAB＝45°，
由（2）知，△AEB∽△BEC，
，∠EAO＝∠EBD，
∴△AOE∽△BDE，
∴∠BED＝∠AEO＝90°，
∴∠DEF＝90°，
∴∠AFB＝∠DEF，
∴AF∥DE，
由（2）知，∠AEB＝135°，
∴∠AEF＝180°﹣∠AEB＝45°．
∵∠DFB＝∠DAB＝45°，
∴∠DFB＝∠AEF，
∴AE∥FD，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AD与EF互相平分．
27．解：（1）①CE+CD＝CA．理由如下，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，AD＝AE＝DE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE＝BD
∵BD+CD＝BC，
∴CE+CD＝CA．
②CA+CD＝CE．理由如下，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，AD＝AE＝DE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE＝BD，
∵CB+CD＝BD，
∴CA+CD＝CE．
（2）BD的长为6﹣或6+2．
28．（1）解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：5＝﹣4+c，
则c＝9，
即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+9；
（2）证明：令y＝﹣x2+9，则x＝±3，则点B（3，0），
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+3，
设点P、Q、D的表达式分别为：（x1，﹣+9）、（x2，﹣+9）、（x1，﹣x1+3），
则S△PDQ＝PD×（xQ﹣xP）＝（﹣+9+x1﹣3）（x2﹣x1）＝（﹣+x1+6），
同理可得：S△ADC＝CD×（xD﹣xA）＝（﹣+x1+6），
则＝3为定值；
（3）解：点P、Q的表达式分别为：（x1，﹣+9）、（﹣2x1，﹣4+9），
由点P、Q的坐标得，直线PQ的表达式为：y＝x1（x﹣x1）﹣+9＝xx1﹣2+9，
则MN＝yM＝（x1﹣1）x1﹣2+9＝﹣（x1+）2+≤，
故MN的最大值为：．
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