罗湖区“新质课堂”同课异构北师大九上《综合与实践》猜想、证明与拓广课件【戴德明】

(共20张PPT)
罗湖区新质课堂同课异构交流课
综合与实践
猜想、证明与拓广
罗湖外语初中学校：戴德明
雷总：小帅，我们近年小米的业绩持续攀升，现在世界500强都积极在深圳南山超级总部基地建设自己的超级总部，我们也不能落后。我想再建一个新的小米总部大厦，占地面积是现在的2倍，周长也要是现在的2倍，资金不是问题，现在马上给我一个高大上的设计方案。
迷之自信的雷总
瑟瑟发抖的小帅
雷总，我现在就让罗湖外语初中学校的同学们进行实践与探究，40分钟后给你方案。
任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍 你是怎么做的 你有哪些解决方法
探究活动一 ：正方形的“倍增”问题
周长、面积倍增2倍？
知识回顾：拼图实践
将两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形
1
1
1
1
①
②
③
④
①
②
③
④
剪、拼
结论：正方形的面积扩大2倍，周长扩大倍，所以，不存在面积和周长同时扩大为原2倍的正方形。
任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍
你是如何解决的？请与你的同伴交流。
探究活动二 ：矩形的“倍增”问题
探究1
【特殊】如果已知矩形的长和宽分别为2和1，你能找到满足上页要求的矩形吗 你有哪些解决方法
周长、面积倍增2倍？
2
1
周长=6
面积=
面积=2
周长=


12
4
方法一：
解：设所求矩形的长为x，那么它的宽为，周长是2(x+).根据题意，得 2(x+)=12. 经检验，解得x1=3+x2=3-.
先固定所求矩形的面积为4的，这样矩形也有很多，观察其中是否有周长为12的矩形
周长、面积倍增2倍？
2
1
周长=6
面积=4
面积=2
周长=12
x
2(x+)
方法二：
先固定所求矩形的周长为12，这样的矩形有很多，观察其中是否有面积为4的矩形
解：设所求矩形的长为x，那么它的宽为6-x，面积是x(6-x).根据题意，得 x(6-x)=4.
解得x1=3+x2=3-.
周长、面积倍增2倍？
2
1
周长=6
面积=4
面积=2
周长=12
x
6-x
x(6-x)
方法三：
解：设所求矩形的长和宽分别为x和y，根据题意，得
x+y=6.
xy=4. 解得：
周长、面积倍增2倍？
2
1
周长=6
面积=4
面积=2
周长=12
x
y
如果只讨论存在性，是不是必须把解求出来？你能有其他办法吗？
结论：已知矩形的长和宽分别为2和1，存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍.
解：设所求矩形的长和宽分别为x和y，
根据题意，得
x+y=6.
xy=4.
y=-x
y=
一次函数
反比例函数
方程组求解的问题
求函数图象交点的问题
函数图象法
转化
y=-x
y=
【特殊到一般】当已知矩形的长和宽分别为m和n时，
是否还有相同的结论
猜想：任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍.
试着验证一下吧！
猜想环节
证明环节
猜想 任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍.
证明：设给定的矩形的长m和宽分别为和n.
设所求矩形的长为x，那么它的宽为2(m+n)-x.根据题意，
周长、面积倍增2倍？
m
n
面积=2mn
面积=mn
x
2(m+n)-x
请你小结？
得： x[2(m+n)-x]=2mn.
化简得： x2-2(m+n)x+2mn=0.
判别式：b2-4ac=4(m+n)2-4×2nm=4(m2+n2)
>0
结论
拓广环节
刚才研究的是矩形的“倍增”问题.接下来，我们研究矩形的“减半”问题：任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？
这个结论是肯定的.理由是：
既然任何一个矩形的周长和面积可以同时“加倍”,那么原矩形自然满足新矩形的“减半”要求，即原矩形的周长和面积分别是新矩形周长和面积的一半.
你同意小明的观点吗？
任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半
类比矩形的“倍增”问题的研究方法，我们来研究矩形的“减半”问题
探究活动三 ：矩形的“减半”问题
猜想环节
证明环节
猜想：“减半”矩形有的存在，有的不存在.
证明：设已知矩形的长和宽分别为m和n.
设所求矩形的长为x，那么它的宽为(m+n)-x.根据题意，
得： x[(m+n)-x]=mn.
化简得： 2x2-(m+n)x+mn=0.
判别式：b2-4ac=(m+n)2-4×2mn=m2+n2-6mn.
(1)当b2-4ac≥0，即m2+n2≥6mn时，方程有解.这说明，当已知矩形的长m、宽n满足m2+n2≥6mn时，存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.
(2)当b2-4ac<0，即m2+n2<6mn时，方程无解.这说明，当已知矩形的长m、宽n满足m2+n2<6mn时，不存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.
我们的最终结论是什么？
结论：对于任意一个矩形，不一定存在周长和面积都减半的矩形，需要分情况讨论.
解：设所求矩形的长和宽分别为x和y，根据题意，
x+y=(m+n)k
xy=kmn
（函数图象法）设已知矩形的长和宽分别为m和n.
y=-x(m+n)k
y=
拓广环节
任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的k倍？
y
矩形存在性的问题
方程组解的存在性问题
函数图象交点的存在性问题
转化
转化
[雷总问题解决]任意给定一个正方形，是否存在另一个长方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍 你是怎么做的 你有哪些解决方法
探究活动四 ：正方形与矩形的“倍增”问题
雷总，根据你的要求，罗湖外语初中学校的同学们给我们解决了。。。。
信心满满的小帅
满意的雷总
小米在深圳湾总部大厦，也称为小米“魔方”，占地约4.6万平方米，核心办公区超2万平方米。
发现规律
问题情境
初步猜想
验证
探究性问题的“数学化”研究过程：
证明
拓广
特殊到一般、数形结合的思想和方法