罗湖区“新质课堂”同课异构北师大九上《综合与实践》猜想、证明与拓广教案【戴德明】

猜想、证明与拓广教案
主讲人：罗湖外语初中学校 戴德明
1．经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的
体验．
2．在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的
整体性认识．[ ]
3．在探究过程中，感受由特殊到一般的思维规律和数形结合、函数与方程的思想方法，
体会证明的必要性．
4．在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力，培养团队合作精神．
重点
探究“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积，分别是已知矩形周
长和面积的 k倍”，从而获得解决问题的方法和途径．
难点
综合运用一元二次方程、方程组、函数图象等知识发现具有一般性的结论．
一、情境导入
【问题情境】
雷总：小帅，我们近年小米的业绩持续攀升，现在世界 500强都积极
在深圳南山超级总部基地建设自己的超级总部，我们也不能落后。我想再
建一个新的小米总部大厦，占地面积是现在的 2倍，周长也要是现在的 2
倍，资金不是问题，现在马上给我一个高大上的设计方案。
[问题提炼]探索一个面积和周长都是已知正方形“倍增”的矩形存在性问题。
二、探究新知
探索活动一：正方形的“倍增”问题
教师：已知一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形
周长和面积的 2倍？
引导学生思考：(1)要对这个问题作出合理的猜想，首先应怎么做？
(2)你得出的猜想是什么？你的猜想对任意正方形一定适用吗？
学生讨论交流后回答，教师点评，并进一步讲解
(引导学生从无理数的引例和利用相似多边形的知识进行证明 )
探索活动二：矩形的“倍增”问题
任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积
的 2倍？面对矩形倍增问题，你有怎样的研究过程和步骤？请说出你的研究步骤．
学生小组合作研讨解决此问题的主体步骤．每组可任选一种矩形的长和宽进行研究．然
后得出确定的结论，注意解题策略的多样性，小组活动后展示本组的思维成果．
第一步：【从特殊情况开始验证】
如果已知矩形的长和宽分别为 2 和 1，你能找到满足上页要求的矩形吗 你有哪些解决
方法
教师：引导学生从多方面解决，如一元二次方程、方程组、函数图象等
学生：充分的进行小组讨论，得出存在性的根本问题是一元二次方程判别式的取值相对
应问题。
【学生方法展示】
方法一：先固定所求矩形的面积为 4 的，这样矩形也有很多，观察其中是否有周长为
12的矩形
解：设所求矩形的长为 x，那么它的宽为 4/x，周长是 2(x+4/x).根据题意，
得 2(x+4/x)=12. 经检验，解得 x1=3+√5，x2=3-√5
方法二：先固定所求矩形的周长为 12，这样的矩形有很多，观察其中是否有面积为 4
的矩形
解：设所求矩形的长为 x，那么它的宽为 6-x，面积是 x(6-x).根据题意，
得 x(6-x)=4. 解得. x1=3+√5，x2=3-√5
方法三：利用方程组求解
解：设所求矩形的长和宽分别为 x和 y，根据题意，得
x+y=6. x=3+√5
xy=4. 解得： ，y=3-√5
教师提问：这个方程组的解是不是一定要求出来？如果不求出来，又如何解决？引导学
生思考，方程组解的存在性问题与化简后的一元二次方程的判别式的符号有关联，同时也与
对应函数图象的交点有关联。
【图象方法展示】
第二步：【从特殊到一般】
猜想：任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面
积的 2倍。
【学生小组讨论展示证明】
（学生）证明：设给定的矩形的长 m和宽分别为和 n.
设所求矩形的长为 x，那么它的宽为 2(m+n)-x.根据题意，
得： x[2(m+n)-x]=2mn.
化简得： x2-2(m+n)x+2mn=0.
判别式：b2-4ac=4(m+n)2-4×2nm=4(m2+n2)>0
(学生)结论：猜想正确！
探索活动三：矩形的“减半”问题
【拓广环节】刚才研究的是矩形的“倍增”问题.接下来，我们研究矩形的“减半”问
题：任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和
面积的一半？
（小明观点）【初步猜想】这个结论是肯定的.理由是：
既然任何一个矩形的周长和面积可以同时“加倍”,那么原矩形自然满足新矩形的“减半”
要求，即原矩形的周长和面积分别是新矩形周长和面积的一半.
【学生小组讨论展示证明】
证明：设已知矩形的长和宽分别为 m和 n.
设所求矩形的长为 x，那么它的宽为 1/2(m+n)-x.根据题意，
得： x[1/2(m+n)-x]=1/2mn.
化简得： 2x2-(m+n)x+mn=0.
判别式：b2-4ac=(m+n)2-4×2mn=m2+n2-6mn.
(1)当 b2-4ac≥0，即 m2+n2≥6mn 时，方程有解.这说明，当已知矩形的长 m、宽 n满足
m2+n2≥6mn时，存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.
(2)当 b2-4ac<0，即 m2+n2<6mn 时，方程无解.这说明，当已知矩形的长 m、宽 n 满足
m2+n2<6mn 时，不存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半.
结论：对于任意一个矩形，不一定存在周长和面积都减半的矩形，需要分情况讨论.（初步
猜想错误）
【几何画板展示
系数为 K 的情况】
探索活动四：解决问题情境
是否一定能找一个矩形是原正方形周长和面积的 2倍？请小组讨论，并说明你的猜想和
证明过程。
【学生小组讨论展示证明】
（学生）证明：设给定的正方形的边长为 m
设所求矩形的长为 x，那么它的宽为 4m-x.根据题意，
得： x[4m-x]=2m2.
化简得： x2-4mx+2m2=0.
判别式：b2-4ac=(4m)2-4×2m2=8m2>0
(学生)结论：一定存在。
【呼应引入】雷总的新办公大楼是可以实现。
三．课堂小结
课题：《综合与实践》猜想、证明与拓广学案
探究活动一 ：正方形的“倍增”问题
周长、面积同时倍增？
任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已
知正方形周长和面积的 2倍 你是怎么做的 你有哪些解决方法
结论：正方形的面积扩大 2 倍，则周长扩大___倍，所以，_______(存在/不存
在)面积和周长同时扩大为原 2倍的正方形。
探究活动二 ：猜想矩形的“倍增”问题
任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩
形周长和面积的 2 倍
【特殊值】如果已知矩形的长和宽分别为 2 和 1，你能找到满足上述要求的
矩形吗 你是如何解决的
周长、面积同时倍增？
1
2
【一般地】如果已知矩形的长和宽分别为 m 和 n，你一定能找到满足上述要
求的矩形吗 你是如何解决的
结论：
探究活动二（联系拓广）：猜想矩形的“减半”问题
任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已
知矩形周长和面积的一半？你是如何解决的？
周长、面积同时减半？
结论：
探究活动三（解决实际问题） ：正方形与矩形的“倍增”和“减半”问题
任意给定一个正方形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积均是已知正方
形周长和面积的 2 倍 你是怎么做的 你有哪些解决方法
结论：
课堂小结：